КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 6, с. 500-511
УДК 521.1;521.15
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СТРАННЫХ АТТРАКТОРОВ ВО ВРАЩАТЕЛЬНОЙ ДИНАМИКЕ МАЛЫХ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ
© 2014 г. А. В. Мельников
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, г. Санкт-Петербург
melnikov@gao.spb.ru Поступила в редакцию 16.03.2013 г.
Проведено численное исследование условий возникновения странных аттракторов во вращательной динамике малых спутников планет при достижении окрестности сепаратрисы синхронного резонанса в ходе приливной эволюции вращательного движения. Предполагается, что спутник имеет произвольную форму и движется по фиксированной орбите в гравитационном поле точечной массы; ось вращения ортогональна плоскости орбиты. Посредством вычисления показателей Ляпунова найдены области значений параметров задачи, где существует странный аттрактор. Рассмотрена возможность возникновения странных аттракторов во вращательной динамике реальных малых спутников планет.
БОТ: 10.7868/80023420614060041
1. ВВЕДЕНИЕ
Значительную часть из известных в настоящее время естественных спутников планет представляют собой тела небольшого размера (радиус фигуры менее 300 км) и неправильной геометрической формы — малые спутники планет. Вращательная динамика относительно собственной оси малых спутников весьма разнообразна [3, 13, 20, 26, 27, 29, 37—40]: синхронное с орбитальным вращение — например, Фобос (М1), Деймос (М2), быстрое несинхронное вращение — Гималия (Ю6), Элара (Ю7), Феба (С9), Калибан (У16), Сикоракса (У17), Просперо (У18), Нереида (Н2) и хаотическое вращение — Гиперион (С7).
Поскольку наиболее вероятной конфигурацией в конце хода приливной эволюции вращательного движения спутника является плоское вращение (ось вращения спутника ортогональна плоскости орбиты) синхронное с движением по орбите [19, 30, 31], то исследование всех возможных режимов плоского синхронного вращения наиболее важно. Проведенные ранее исследования [7, 8, 28, 29] вращательного движения малых спутников планет показали, что существует несколько различных режимов плоского синхронного вращательного движения. При одних и тех же значениях параметров задачи могут одновременно существовать до трех режимов плоского синхронного вращения. Приливное взаимодействие между планетой и спутником в работах [7, 8, 28, 29] не учитывалось.
Подробное исследование плоского поступательно-вращательного движения спутника несферической формы проведено в работе [22]. Вращательная динамика рассмотрена как для
консервативного случая, так и для случая наличия диссипации разного типа. Для различных значений параметров и начальных данных в [22] построены сечения фазового пространства относительного движения (сечениях Пуанкаре), вычислен максимальный характеристический показатель Ляпунова (МХПЛ). В работе [22] показано, что при наличии диссипации, в фазовом пространстве вращательного движения могут существовать как обычный аттрактор, так и странный аттрактор.
Напомним определение странного аттрактора [4, 5]. Уменьшение фазового объема диссипатив-ной системы приводит к тому, что все ее траектории притягиваются к поверхности меньшей размерности, чем у исходного фазового пространства. Эта поверхность называется аттрактором. Выделяют два типа аттракторов — обычный (регулярный) и странный (хаотический). На странном аттракторе близкие траектории фазового пространства расходятся экспоненциально, т.е. движение является хаотическим, хотя траектории при этом ограничены.
Проведенное в [23] исследование динамики плоского движения спутника под действием гравитационного приливного момента показало, что при определенных значениях параметров задачи на сечениях фазового пространства появляется структура, характерная для странного аттрактора. На возникновение странного аттрактора в данной задаче было указано и в книге [2], вывод был сделан на основе анализа сечения фазового пространства. Странный аттрактор возникает в том месте на сечении, где располагается хаотический слой в окрестности сепаратрисы синхронного ре-
зонанса при отсутствии приливного взаимодействия. Кроме того, в работе [23] для малых значений эксцентриситета орбиты была получена аналитическая оценка величины параметра, характеризующего диссипацию, при которой в диссипативной системе возможно возникновение хаотического движения, т.е. возможно образование странного аттрактора.
Хотя обнаруженная в работах [2, 23] на сечении фазового пространства структура действительно имеет вид странного аттрактора (примеры фазовых портретов аттракторов см., например, в [4]), четких критериев для ее классификации авторы не использовали. Вычисление МХПЛ в работе [22], напротив, позволило сделать определенный вывод о том, что возникающий аттрактор действительно является странным — в случае хаотического движения на странном аттракторе величина МХПЛ является положительной. Оценки величины фрактальной размерности, для странного аттрактора эта величина является дробной, подтвердили этот вывод.
Отметим, что в упомянутых выше работах не рассматривалась возможность существования странного аттрактора во вращательной динамике спутников планет. Именно эти объекты, представляющие собой по большей части тела несферической формы, движущиеся по орбитам с существенным эксцентриситетом, являются одними из основных кандидатов на наличие в фазовом пространстве вращательного движения странного аттрактора. Учет приливного взаимодействия расширяет список возможных режимов плоского вращательного движения спутника в окрестности синхронного резонанса — в диссипативной системе возможно хаотическое движение на странном аттракторе.
В работе [16] рассмотрена динамика спин-орбитального взаимодействия как в консервативном случае, так и при наличии приливной диссипации. Подробно рассмотрены случаи приливной вращательной динамики Луны и Меркурия. Исследование проводилось с использованием частотного анализа и посредством оценки величины МХПЛ. Были рассмотрены две модели приливного трения — модель Дарвина и модель Мак-дональда. Построены представительные сечения фазового пространства для консервативного случая, в диссипативном случае на сечениях выделены области с разной величиной МХПЛ. Посредством оценки величины МХПЛ, на плоскости "угловая скорость вращения — параметр диссипации" выявлены области, где движение является хаотическим, т.е. существует странный аттрактор. Было отмечено, что результаты, полученные при использовании приливной модели Дарвина и модели Макдональда, схожи.
В работе [12], посвященной изучению возникновения хаоса в вековой орбитальной динамике планетных систем, установлено, что при действии диссипативных сил, в фазовом пространстве системы может возникать странный аттрактор. Были построены сечения фазового пространства, для движения на странном аттракторе получены оценки ляпуновского времени (времени предсказуемой динамики) и вычислена фрактальная размерность странного аттрактора.
Таким образом, при учете диссипативных сил, странный аттрактор в фазовом пространстве динамической системы может возникать как в случае вращательной динамики спутников планет, так и в случае орбитальной динамики планетных систем (спутниковых систем).
В настоящей работе рассматривается возможность возникновения странных аттракторов во вращательной динамике малых спутников планет при достижении окрестности сепаратрисы синхронного резонанса в ходе приливной эволюции вращательного движения. Для этого строятся представительные сечения фазового пространства относительного движения и вычисляются характеристические показатели Ляпунова (ХПЛ). Определяются области значений параметров задачи, при которых возможно существование странного аттрактора. Среди известных в настоящее время спутников планет рассматриваются кандидаты на возможное наличие странного аттрактора в фазовом пространстве вращательного движения при приливной эволюции.
2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И СИСТЕМА КООРДИНАТ
Далее предполагаем, что спутник движется по невозмущенной эллиптической орбите вокруг планеты, являющейся неподвижной гравитирую-щей точкой. Спутник имеет форму трехосного эллипсоида с главными центральными моментами инерции А < В < С. Ось вращения спутника ортогональна плоскости орбиты и совпадает с осью, соответствующей максимальному моменту инерции спутника.
Система координат является инерционной, она определена исходно в перицентре орбиты спутника — наибольшая ось фигуры спутника направлена по радиус-вектору планета — спутник. Ориентация спутника определяется углом 9 — углом между мгновенным радиус-вектором орбиты и осью, соответствующей наименьшему главному центральному моменту инерции спутника (см. рис. 1).
Уравнение плоского поступательно-вращательного движения спутника относительно цен-
d2ф ю0 GM ■ rj,
dt 2 r
- 3 GM 2R5, • T =---7— k2 sin20,
2 Cr6
k, =~
1
спутника С = 0.4тЯ (случай сфероида Маклоре-на), для приливного момента имеем [1, 17, 31]:
Т - -
15 GM2 R k2
4 m
r6 Q
(3)
Рис. 1. Система координат. S — спутник, Р — планета, г — радиус-вектор планета—спутник, / — истинная аномалия, 9 — угол, определяющий ориентацию спутника при плоском вращении.
тра масс с учетом приливного взаимодеиствия имеет вид [19, 23]:
(1)
(2)
Здесь Q — диссипативная (приливная) функция: Q « 1/(28) (см. подробнее [18, 19]).
Используя среднее значение приливного момента за период обращения спутника по орбите, полагая Q = const и k2 = const, путем замены независимой переменной t на истинную аномалию f, приведем уравнение (1) к виду [2]:
(1 + ecosf)+ Гр(1 + ecosf)5 - 2esin f +
df2 L Jdf (4)
+ Ю0 sin 0 cos 0 = 2e sin f,
где для параметра p > 0 (далее параметр диссипации), характеризующего величину приливного взаимодействия спутника и планеты, имеем
Р =
15
GM2R3 k2
4 m(1 - e2)9/2 Q '
(5)
где ф = 0 + f,r = a(1 - e 2)/(l + e cos f), a — большая полуось, e — эксцентриситет орбиты спутника, f—
истинная аномалия, ю0 = 43(B - A)/C е [0,л/3) -параметр, характеризующий динамическую асимметрию фигуры спутника, G — универсальная гравитационная постоянная, M — масса планеты.
В правой части уравнения (1) стоит приливной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.