ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 2, с. 40-49
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ^^^^^^^^ СИСТЕМАХ
УДК 517.977
УСПОКОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ С МНОГИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ ПОСРЕДСТВОМ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ © 2015 г. А. В. Метельский, О. И. Урбан, В. Е. Хартовский
Белоруссия, Минск, Белорусский национальный технический ун-т, Гродно, Гродненский государственный ун-т им. Я. Купалы Поступила в редакцию 29.04.14 г., после доработки 22.10.14 г.
Для линейных автономных дифференциально-разностных систем с соизмеримыми запаздываниями решена задача успокоения решения посредством линейного дифференциально-разностного регулятора типа обратной связи по состоянию. Предложено обобщение этих результатов на линейные автономные дифференциально-разностные системы с соизмеримыми запаздываниями нейтрального типа в случае непрерывного решения. Отличительная черта работы — отсутствие у исходной системы свойства полной управляемости.
DOI: 10.7868/S0002338815020109
Введение. Одним из ключевых вопросов теории автоматического регулирования является конструирование регуляторов, обеспечивающих системе заданные свойства. Это приводит к необходимости исследования задач стабилизации [1—4], модальной управляемости [5, 6], спектральной приводимости [7, 8], полной управляемости обратной связью [9—11]. На последней остановимся подробнее.
Проблема полной управляемости (полного успокоения) впервые была поставлена Н.Н. Кра-совским [12] для систем запаздывающего типа и затем изучалась многими авторами (исторические сведения приведены в [13, 14], поэтому в настоящей статье не обсуждаются). В [13—15] предложено обобщение этой задачи в смысле успокоения решения системы постоянно действующим управлением. В большинстве случаев результаты исследований задачи полной управляемости и ее обобщения [13—15] представляют собой, как правило, критерии разрешимости и методы формирования программных управлений. В качестве исключения укажем [9—11], в которых успокоение одновходной линейной дифференциально-разностной системы осуществляется при помощи обратной связи. Основная идея — за счет регулятора полного успокоения обеспечить точечную вырожденность замкнутой системы в направлениях, отвечающих фазовым переменным исходной системы. При этом необходимым и достаточным условием существования регулятора является условие полной управляемости [16], которое совпадает с условием спектральной управляемости [17] — полной управляемости конечномерной подсистемы, соответствующей всякому спектральному значению исходной системы.
В случае многовходных систем с многими запаздываниями в управлении условия полной (спектральной) управляемости являются избыточными для существования программного управления, успокаивающего решение [13—15]. Соответственно возникает вопрос: можно ли в случае системы, не обладающей свойством полной управляемости, замкнуть ее линейной обратной связью так, чтобы обеспечить решению исходной системы равенство x(t) = 0, t > t1, каково бы ни было начальное состояние системы? В настоящей статье получены условия на параметры системы с соизмеримыми запаздываниями, при которых дается положительный ответ на поставленный вопрос. Достаточные условия существования такой обратной связи совпадают с критерием успокоения решения не полностью управляемых систем [14, 15].
Охарактеризуем структуру статьи. В разд. 1—3 для многовходной линейной дифференциально-разностной системы строится линейный регулятор, обеспечивающий успокоение решения в случае, когда нарушается условие полной управляемости. В разд. 4 предложенная методика обобщается на случай системы нейтрального типа с непрерывным решением.
1. Структура регулятора для систем запаздывающего типа. Предположим, что объект управления описывается линейной автономной дифференциально-разностной системой с соизмеримыми запаздываниями
т т
х(г) = X А^(г - к) + X в "(г - щ, г > о, (1.1)
I = о I = о
и начальным условием
х(г) = п(г), "(г) = и°(г), г е [-тк, о], (1.2)
где х е Кп — решение уравнения (1.1), и е Кг — кусочно-непрерывное управляющее воздействие (управление), А1 е Кпхп, В1 е К^, I = 0, т, — постоянные матрицы, к > 0 — постоянное запаздывание. Считаем, что в начальном условии (1.2) функция п е С([-тк,0], Кп), где С([-тк,0], Кп) — пространство непрерывных на отрезке [-тк,0] вектор-функций со значениями в Кп, и0(г), г е [-тк,0] — произвольная кусочно-непрерывная функция.
Если определить полиномиальные матрицы
т т
А (г) = X Аг', В (г) = X
I = 0 г = 0
и считать, что г — оператор сдвига (т.е. ^(г) = /(г - к)), то систему (1.1) можно переписать в операторном виде х(г) = А(г )х(г) + В(г )и(г). Далее, для удобства изложения, будем придерживаться подобной формы записи.
Критерий полной управляемости (полного успокоения) системы (1.1) имеет вид [16]
гапк[ХЕ„ - А(е), В(е_ящ)] = п V X е С, (1.3)
где Ек е Ккхк — единичная матрица, С — множество комплексных чисел. Напомним, что система (1.1) называется полностью управляемой, если для любого указанного выше начального условия (1.2) существуют момент времени г1 > 0 и управление и(г), г е (0, г1 - тк], и(г) = 0, г > г1 - тк, такие, что
х(г) = 0, г > г1. (1.4)
В [9—11] показано, что для случая систем (1.1) со скалярным управлением без запаздывания при условии полной управляемости (1.3) тождество (1.4) можно обеспечить регулятором типа обратной связи по состоянию. Однако регуляторы работ [9—11] на общий случай систем (1.1) автоматически не переносятся. Это связано с двумя причинами. Во-первых, для систем общего вида (1.1) условие (1.3) не является необходимым для существования программного управления без требования и(г) = 0, г > г1 - тк, реализующего (1.4) [14, 15]. Во-вторых, входное воздействие типа обратной связи в случае нарушения условия (1.3) должно менять свою структуру, согласно некоторому разностному уравнению, более подробно этот вопрос рассмотрен ниже (см. утверждение 1).
Задачу выбора управления и(г), г > 0, обеспечивающего тождество (1.4) без требования и(г) = 0, г > г1 - тк, будем называть, в отличие от задачи полного успокоения системы [9—12, 14, 16], задачей успокоения решения системы.
В настоящей работе успокоение решения системы предлагается осуществить линейным дифференциально-разностным регулятором вида
и(г) = Кг(г)х(г) + е&^Ц) + 7>(0, г > 0, (1.5)
у(0 = Szy(t) + К2(г)х(г), г > 0, (1.6)
хп+1(0 = ^(г)х(г) + ^(гК+^О + ^(гЖО, г > 0, (1.7)
Кг) = ?12(г)х(г) + ^(гК+^О + ^2(гМ0, г > 0, (1.8)
где K1(z) е Rrх" [z], K2(z) е RГтх" [z] (R[z] — множество матриц размера к1 х к2, элементы которых являются полиномами переменной z), T е RrxrT, S е RГтХГт, rT — некоторое натуральное число, e = col [1,0,..., 0] Rr, F/(z) e R1xn [z], F2(z) 6 R1x1 [z], F3\z) e R1xí [z ], F11(z) e RsXn [z ], F22(z) e Rsx1 [z], F32(z) e RsXs [z]; xn+1 e R, ye RrT, y = col [y1,..., ys ] e Rs — дополнительные переменные. Функции x(t), t < -mh, и xn+1(t), y(t), y(t), t < 0, могут быть любыми непрерывными.
Замечание 1. Уточним, как формируется управляющее воздействие посредством регулятора (1.5)—(1.8). На каждом фиксированном полуинтервале (lh, (l + 1)h], l = 0,1,..., управление u(t), t > 0, на основании равенства (1.5) и разностного уравнения (1.6) линейно выражается через x, xn+1 и y. Подставив это управление в (1.1) и дополнив полученное соотношение уравнениями (1.7), (1.8), получим на полуинтервале (lh, (l + 1)h], l = 0,1,..., линейную автономную дифференциальную систему с решением col[x, xn+1, y].
Сформулируем условия разрешимости задачи успокоения решения системы, а также опишем матрицы T и S, входящие в структуру регулятора (1.5)—(1.8). Для этого по аналогии с [13—15] рассмотрим последовательность векторов 8к, к = m, m + 1,..., которая является решением разностного уравнения
m
Д)§к + XД-Su-i = 0, к = m, m +1,..., (1.9)
i = 1
порождаемого начальным условием 8¡ = 8¡, i = 0,m -1. Последовательность 8к, к = m, m + 1,..., существует в том и только в том случае [13—15], когда 8m_¡ = T¡c, i = 1, m, где T¡ e RrxrT — некоторые матрицы, c e RrT — произвольный постоянный вектор (один и тот же для всех матриц T¡). Процедура построения матриц T¡ приведена в работах [13—15], поэтому здесь не описывается. Отметим, что ее реализация всегда возможна и заключается в решении конечного числа однородных алгебраических систем. В (1.5) и далее полагаем T = Tm.
Найдем произвольную матрицу S е RrTxrT, удовлетворяющую уравнениям
к
B0T1S + X BT = 0, TkS = Tu-1, к = 2^.
i = 1
Существование матрицы S следует из определения матриц T¡. Заметим, что будет выполняться равенство
m
X BTTSm-i = 0. (.10)
i = 0
Определим матрицы G0 = B0T, G¡ = G¡_1S + B¡T, i = 1, m. Обратим внимание, что
m
Gm = X BTSmi = 0 .
i = 0
Обозначим
m -1
G(z) = X Gizi.
i = 0
Справедливо следующее утверждение [14].
Теорема 1 (критерий успокоения решения системы). Для того чтобы для любого начального условия (1.2) системы (1.1) существовало управление u(t), t > 0, обеспечивающее (1.4), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
rank[XEn - A(e~Xh), B(e~Xh),G(e~Xh)] = n V X e C. (1.11)
Далее будем считать, что имеет место условие (1.11). Перейдем к построению регулятора (1.5)—(1.8), обеспечивающего тождество (1.4).
2. Процедура построения регулятора. Прежде всего разъясним влияние на динамику замкнутой системы функции у, входящей в структуру регулятора (1.5)—(1.8). Для этого докажем следующее утверждение, в котором попутно укажем точный вид системы, которой удовлетворяют функции х, хп+1, у в случае регулятора (1.5)—(1.8).
Лемма. Пусть К,(г), г = 1,2 и , г = 1,3, у = 1,2, — любые полиномиальные матрицы указанных выше размеров. При любых у(?), х(г), х„+1(г), у(0, г ^ 0, функции х(г), х„+1(г), у(г) при г > шк удовлетворяют линейной автономной дифференциально-разностной системе с соизмеримыми запаздываниями вида
"x(() " ' A(z) + B(zK(z) + hGfe^fe) B(z)e, 0nxs - "x(() "
Xn+1(t) = Fl(z) $(z) F\z) xn+1(t)
y(t) _ X(z) Fkz) F\z)_ _y(t) _
где 0nxs е [R"XÍ — нулевая матрица.
Доказательство. Пусть y(t),t > 0, определяется уравнением (1.6). Используя определение матриц G¡
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.