ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2014, том 52, № 1, с. 78-83
УДК 536.24
ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ВЯЗКОСТНО-ТЕРМОГРАВИТАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ТЕПЛООБМЕН В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ ПРИ АСИММЕТРИЧНЫХ
ТЕПЛОВЫХ УСЛОВИЯХ © 2014 г. А. Ф. Поляков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Поступила в редакцию 28.12.2012 г.
Аналитически решена задача о совместной вынужденной и свободной ламинарной конвекции и теплообмене жидкости с переменной вязкостью при линейном распределении температуры между поверхностями вертикального плоского канала. Полученные зависимости показывают при относительно небольшом изменении вязкости сильное отличие распределений скорости, сопротивления трения и теплоотдачи от случая полного приближения по Буссинеску при решении задач смешанной конвекции.
DOI: 10.7868/S0040364414010177
ВВЕДЕНИЕ
Ранее выполнено численное решение задачи о свободной конвекции жидкости в горизонтальной квадратной полости при различных постоянных граничных условиях первого рода, а именно при подводе тепла на одной вертикальной стенке (th = const) и отводе на противоположной (tc < th) [1].
В данной статье представлены результаты аналитического решения задачи о стабилизированной по длине вертикального плоского канала вязкостно-термогравитационной конвекции капельной жидкости при тепловых граничных условиях, аналогичных использованным в работе [1]. Такая постановка задачи позволяет аналитически описать деформацию установившихся распределений скорости и температуры в зависимости от чисел Рей-нольдса и Грасгофа, чего невозможно сделать при задании на обеих поверхностях однородных температур [2]. В монографии [3] излагаются результаты решения задачи неустойчивости развитой ламинарной смешанной конвекции в вертикальном плоском канале при приближении Буссинеска для тепловых граничных условий первого рода, аналогичных используемым в представляемой работе. В [3] для стационарного состояния приведены данные о распределениях скорости и температуры.
В данной работе проанализированы аналитические зависимости для сопротивления трения и теплоотдачи. Основная часть работы связана с исследованием влияния переменной вязкости на вязкостно-термогравитационное течение и теплообмен капельной жидкости (воды).
ПОСТОЯННЫЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА (ПРИБЛИЖЕНИЕ БУССИНЕСКА)
Решается одномерная задача в предположении установившегося течения и теплообмена, описываемая следующими уравнениями в безразмерном виде:
.dP + d (NdU) + Gr d = 0, dX dR dY) Re
d
= 0
(1)
Re dYL
и граничными условиями
Y = 0, U = 0, -& = 1; Y = h, U = 0, -& = 0. (2)
Здесь — = const, P = ——
dX
pu
2
X = ^^ - безраз-h Re
мерная продольная координата, Y - — — безразмер-
h
ная поперечная координата, U = u, & = t
Re = uh, Gr = gP(th ~ tc)h , h — ширина
uh
Vc
th tc
канала,
h №
и = - I иау — средняя расходная через канал ско-Н
рость, V с — коэффициент кинематической вязкости при температуре холодной стенки tc = 20 °С, tН — температура горячей стенки (У = 0), N = v|v с.
Уравнение (1) записано с учетом переменной вязкости. Результаты его решения будут обсуждаться в следующих разделах. В этом же разделе рассмотрим результаты решения для постоянных физических свойств жидкости N = 1), кроме учета линейного изменения плотности только в чле-
u
V
c
не, отражающем влияние подъемных сил (строгое приближение Буссинеска).
Используя условие постоянства расхода
и
ШйУ = 1,
(3)
решение уравнений (1) с граничными условиями (2) при N = 1 представим в следующем виде:
0 =
t - Хс
= 1 - У,
и = = = 6У (1 - У) и
1 +
Ог
(1 - 2У)
(4)
72 Яе
Решение (4) аналогично полученному в [3]. Отличие записи зависимостей (4) и [3] состоит лишь в разных величинах, выбранных в качестве масштабных, таких, как масштабы скорости и (4)
и gp(th - ts)Л2/V [3], масштабы давления ри2¡2 (4) и pgp(th -1,)Л [3]. Здесь ts = (^ + 1С)/2. Это связано с тем, что в монографии [3] исследуются устойчивость "плоскопараллельного течения" при свободной конвекции в вертикальном слое и различные воздействия на него, включая влияние "вынужденного течения, обусловленного внешним продольным градиентом давления". В данном же случае рассматривается вынужденное течение при влиянии на него свободной конвекции.
Как следует из (4), заметное влияние термогравитации на вынужденное течение наблюдается уже со значений числа Грасгофа Ог = 6 Яе. Это показано на рис. 1 кривой 2, отличающейся от параболического распределения скорости при вынужденном течении (кривая 1).
Очевидно, что при смешанной конвекции режимы с возвратным течением на холодной стенке будут неустойчивыми. Из решения (4) можно провести оценку границы таких режимов, принимая значение производной скорости на холодной стенке равным нулю. Проделав это, получим
Огит = 72 Яе. (5)
Кривая 3 на рис. 1 показывает распределение скорости по сечению канала для данного режима.
Коэффициенты сопротивления трения на горячей (У = 0) и на холодной (У = 1) поверхностях в соответствии с (4) описываются следующими зависимостями:
= ТУ,л!(Ри 72) = 7Т"йи
= 1211 +
_2_ йЩ_ Яе йУ
Яе йУ у=о Яе
=л (1 --Ог_).
Яе\ 72 Яе/
72 Яе/
У=1
(6)
1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
Рис. 1. Распределение безразмерной скорости в поперечном сечении канала: 1 - Ог = 0, N = 1; 2 - Ог = 6 Яе, N = 1; 3 - Ог = ОгЦт = 72 Яе, N = 1; 4- Ог = 0, N = 0.5; 5 - Ог = 0, N = 0.26; 6 - Ог = 72 Яе, N = 0.5.
с/к/с/Ъ,
С/сЛ/с
Будем рассматривать относительные изменения
С/Л^СА,, С° = С°С = 12/Яе. Зависимость (6) представляется на рис. 2 линиями 1, 2. При граничном значении ОгЦт (5) с= 0, а с, увеличивается в два
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
Ог/Яе
Рис. 2. Изменение относительных коэффициентов сопротивлений трения на горячей с, с(1, 3, 5, 7) и
холодной с с с0, (2, 4, 6, 8) поверхностях и полного коэффициента сопротивления трения С/Дуо (9, 10): 1, 2 - = 1, а = 0; 3, 4 - а = 1, а = 2.8; 5, 6 - а = 1; 7, 8 - а = 2.8; 9 - а = 1; 10 - а = 2.8.
раза. В случае малого значения Ог = 6 Яе соответствующего малому отклонению профиля скорости (рис. 1, кривая 2), изменения коэффициентов сопротивления трения составляют заметную величину около 8%.
Как отмечалось выше, положительное значение скорости по всему сечению канала определяется величиной ОгИт (5), соответствующей нулевому значению сопротивления трения на холодной поверхности (6). Еще раз отметим, что этот предел является границей рассматриваемых в данной работе режимов. Влияние свободной конвекции приводит к перераспределению по по-
о
верхностям сопротивления трения, однако суммарное сопротивление трения потоку жидкости через канал остается тем же, что и при вынужденном течении без влияния свободной конвекции, а именно су = 24/Re.
Числа Нуссельта на горячей (У = 0) и холодной (У = 1) поверхностях определяются из следующих соотношений:
^Н =
й»
ЧнН _ 1У У=0
Шс =
(Ч - и я
ЧсН
1 - »ь
ё»
с1У У=1
(7)
& - Ч Я »ь где Хь — средняя массовая температура жидкости в поперечном сечении канала, которая в безразмерном виде после интегрирования с использованием зависимостей (4) определяется следующим выражением:
3 = \и +
t Н С
йУ -■
Хн ХС
= 0.5-■
Ог
720Re
Таким образом, из (7), (8) получаем 1 1
Шн =•
0.5 --
Ог ' 720 Re
Шс =■
0.5 + ■
Ог '
720 Re
(8)
(9)
v с
1 +
где а = 1 для Хс = 20°С, Хн = 60°С (режим 1) и а = 2.8 для Хс = 10°С, Хн = 90°С (режим 2).
Зависимость (10) описывает опытные (табличные) данные [4] в указанном диапазоне температур с точностью ±5%.
Величину наибольшего изменения вязкости в рассматриваемом режиме будем определять по значению NН = V Н/V с, т.е. при & = 1.
С использованием зависимости (10) решение системы (1)—(3) получено в общем виде, т.е. при произвольном значении параметра а:
и =-—-^У{[(1 + а)(3 + а) - (3 + 6а + 2а2)У +
6(1 + а) + а а(2 + а)У2] +
Ог
(240(2 + а^)
[2(1 + а)(10 + 13а +
ТЕЧЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТИ
В рассматриваемом диапазоне температур воды 10—90°С коэффициент кинематической вязкости, убывая с ростом температуры, изменяется существенно в диапазоне (1.306—0.326) х 10-6 м2/с, в то время как коэффициент теплопроводности увеличивается в пределах 15% (57.9—67.7) х 10-2 Вт/(мК). Несмотря на то, что плотность изменяется в пределах только 4%, коэффициент термического расширения меняется существенно (0.95—7.0) х 10-4 1/К. При рассмотрении влияния свободной конвекции в рамках приближения Буссинеска принимается среднее значение коэффициента термического
расширения, а именно р = 4 х 10-4 1/К. Сосредоточим основное внимание на влиянии переменной вязкости. Определенным основанием для такого подхода является анализ влияния переменных свойств "для капельных жидкостей (нефтепродуктов, воды)" на конвективный теплообмен, представленный в классической монографии [2].
Для решения уравнения (1) с учетом изменения вязкости в диапазонах температур воды 20— 60°С (режим 1) и 10—90°С (режим 2) при атмосферном давлении задается следующая зависимость для коэффициента кинематической вязкости:
+ 5а + 0.5а3) -(60 + 156а + 135а2 + 45а' + (11) + 4.5а4)У + 2(2 + а)(10 + 30а + 21а2 + 3а3)У2 -
- 2.5а(2 + а)(6(1 + а) + а2)У3]}. Вынужденная конвекция. Самостоятельный интерес представляет анализ влияния переменной вязкости на вынужденное течение и теплообмен в каналах. При двукратном изменении вязкости в поперечном сечении потока воды от 10-6 м2/с при 20°С на холодной стенке до 0.48 х 10-6 м2/с на горячей стенке при 60°С (режим 1) в случае вынужденного течения без влияния массовых сил распределение скорости описывается первым членом в уравнении (9) при а = 1
и = 12У(8 - 11У + 3У2). 13
(12)
Рассчитанное по (12) распределение скорости (рис. 1, кривая 4) показывает существенное отличие от параболического профиля скорости при изотермическом течении (рис. 1, кривая 1). Профиль скорости для вынужденного течения (Ог = 0) в режиме 2 демонстрирует еще большее отклонение (кривая 5).
Обращает на себя внимание тот факт, что как влияние термогравитации, так и переменной вязкости приводят к одному и тому же эффекту, а именно, торможению потока ка
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.