ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2011, № 5, с. 73-77
УДК 550.38
УСТАНОВЛЕНИЕ КОНВЕКЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С НАЛОЖЕННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ: ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ЧИСЕЛ ПРАНДТЛЯ © 2011 г. О. М. Подвигина
Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, г. Москва
Поступила в редакцию 15.02.2010 г.
Изучено установление конвекции в горизонтальном слое проводящей несжимаемой жидкости с жесткими диэлектрическими границами, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси, с наложенным вертикальным магнитным полем в приближении Буссинеска. В зависимости от величин параметров задачи (чисел Тейлора, Чандрасекара, кинематического и магнитного чисел Прандтля) потеря устойчивости состояния покоя при увеличении числа Рэлея может происходить с развитием монотонной или колебательной неустойчивости. Конвективные валы, появляющиеся при монотонной неустойчивости, сами также неустойчивы, если число Тейлора достаточно велико (имеет место так называемая неустойчивость Кюпперса-Лорца). В данной работе исследовано, как критическое значение числа Рэлея, тип неустойчивости состояния покоя и критическое значение числа Тейлора для неустойчивости Кюпперса-Лорца зависят от кинематического и магнитного чисел Прандтля. Рассмотрены числа Прандтля не превосходящие 1, характерные для внешнего ядра Земли.
Ключевые слова: конвекция, числа Прандтля, магнитное поле, монотонная и колебательная неустойчивости, неустойчивость Кюпперса-Лорца.
Согласно современным научным представлениям, источником магнитного поля Земли является конвективное движение во внешнем ядре. Подтверждением этой гипотезы служат, например, результаты серии работ Глатцмайера с соавторами (см. [Glatzmaier et al., 1997; Christensen et al., 1999] и приведенные там ссылки), которые численно решали систему уравнений, описывающую конвективные гидромагнитные явления. В этих расчетах удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии. Однако значения некоторых параметров, использованных в этих работах, на несколько порядков отличаются от их значений для ядра Земли, поэтому такое качественное соответствие результатов расчетов с реальным геодинамо следует "считать удивительным" [Jones, 2000]. В частности, расчеты проводили для значения чисел Прандтля порядка единицы, в то время как в расплавленном ядре кинематическое число Прандтля имеет порядок 10-3, а магнитное — 10-8 [Aurnou, Olson, 2001]. Отметим также, что разные авторы дают различные оценки этих величин для ядра Земли, отличающиеся на несколько порядков (см. обсуждение этого вопроса в гл. 7 монографии [Merril et al., 1996]). Тем самым, представляет интерес исследовать, как изменяется характер поведения конвективных течений при изменении значений чисел Прандтля.
В настоящей статье задача о зависимости конвективных течений от кинематического и магнитного чисел Прандтля рассмотрена в наиболее простой постановке. Мы изучаем установление конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси, с жесткими диэлектрическими горизонтальными границами, поддерживаемыми при фиксированных температурах, и с наложенным вертикальным магнитным полем. В безразмерной форме система характеризуется числами Рэлея Я (относительная величина сил плавучести), Прандтля Р (отношение кинематической вязкости к коэффициенту тепловой диффузии), магнитного Прандтля Рт (отношение кинематической вязкости к коэффициенту магнитной диффузии), Тейлора Та (квадратный корень из которого пропорционален скорости вращения) и Чандрасекара О (пропорциональном квадрату интенсивности магнитного поля).
При малых числах Рэлея жидкость неподвижна. При увеличении числа Рэлея выше некоторой критической величины возникает течение жидкости. При отсутствии и вращения, и магнитного поля имеет место монотонная неустойчивость состояния покоя жидкости [Chandrasekhar, 1961; Гершуни, Жуховицкий, 1972; Гетлинг, 1991], возникающее течение двумерно и имеет вид валов. При наличии магнитного поля, в зависимости от величины отношения Рт/Р, возможен качественно различный ха-
рактер возникающей неустойчивости [Подвигина, 2009; Podvigina, 2010]. Если Рт < Р (это соотношение выполнено для величин параметров во внешнем земном ядре, и в данной статье рассмотрен этот случай), при малых значениях Та при установлении конвекции возникают устойчивые валы. При больших значениях числа Тейлора, возникающие валы неустойчивы относительно возмущений, представляющих собой такое же течение, повернутое на некоторый угол относительно вертикальной оси. При отсутствии магнитного поля эту неустойчивость (ее называют неустойчивостью Кюпперса-Лорца) исследовали Küppers, Lortz [1969] и Clune, Knobloch [1993]. При дальнейшем увеличении скорости вращения монотонная неустойчивость состояния покоя сменяется колебательной.
В статье рассмотрены числа Прандтля на интервалах 10-3 х Р < 1 и 10-8 х Рт < 1. Тем самым, минимальные значения приблизительно отвечают значениям параметров во внешнем ядре Земли, а максимальные — используемым при численном моделировании происходящих там процессов. Наши расчеты проведены для чисел Тейлора и Чанд-расекара не превышающих 1010 и 2 х 104 соответственно, а в земном ядре эти величины ~1024 и ~1010 [Aurnou, Olson, 2001]. Однако, как отмечал еще Chandrasekhar [1961], при Та —► да и Q —► да поведение системы носит асимптотический характер, и потому экстремально большие значения этих параметров не представляют интереса. Численно исследована зависимость критического числа Рэлея типа неустойчивости состояния покоя, критических значений числа Тейлора и угла неустойчивости Кюп-перса-Лорца от чисел Прандтля. Для большого числа рассмотренных случаев изменение одного из чисел Прандтля на порядок или несколько порядков приводит к незначительным изменениям рассматриваемых критических значений. Тем самым, система несущественно зависит от чисел Прандтля, что, возможно, объясняет качественное сходство магнитного поля, полученного в упомянутых численных экспериментах, с магнитным полем Земли. (Отметим принципиальные сложности, связанные с тем, что, с одной стороны, проводить расчеты с достаточным разрешением при значениях параметров, соответствующих условиям во внешнем ядре Земли, существующий уровень развития вычислительной техники не позволяет, а с другой, достаточно детальное сравнение результатов расчетов с геомагнитным полем невозможно из-за недостаточности информации о структуре магнитного поля.) Наши результаты показывают, что ошибки в оценках этих параметров могут быть несущественными.
1. УРАВНЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ
Эволюция конвективного течения и магнитного поля описывается уравнениями Навье-Стокса, теплопроводности и магнитной индукции. В безразмерном виде они имеют вид
^ = V х(Ух V) + PАv + РЯ0еТ - Vр + д (1)
+ РТау\ х е, + РР^0(V х В) х В;
^ = -(vV)0 + v, + А0; dt z
^ = V х(vхB) + PP-AB.
dt
(2)
(3)
Поле скорости и магнитное поле бездивергентны: А V = 0, V Ь = 0. (4)
В этих уравнениях V — скорость потока, 0 — разность между температурой и ее линейным профилем, устанавливающемся в слое в состоянии покоя, Ь — разность между магнитным полем и его постоянной вертикальной составляющей, В = ег + Ь, ег — единичный вектор вдоль вертикальной оси г. На горизонтальных границах выполнено условие прилипания и фиксированы температуры:
vx = vv = v, = 0, 0 = 0 I , = ±i].
(5)
Считаем, что внешняя среда за пределами слоя — изолятор, т.е. магнитное поле на границе равно градиенту гармонической функции, определенной в соответствующем полупространстве [СЬапёгазекЪаг, 1961]:
ь(,) = -V(K,), I* = ±2J;
2 (6) Аф = о(|, > 1), ф —0, (|— да).
Безразмерные параметры определяются следую-
щими соотношениями:
P = V р = v
R
_ a gd'
к
Ta =
2nd
VK
ST,
Q =
a Д0 d2 PV
Здесь V — кинематическая вязкость, к — коэффициент термической диффузии, ц — коэффициент магнитной диффузии, а — коэффициент термического расширения, g — ускорение свободного падения, d — толщина слоя, Т — разность температур между верхней и нижней границами, О — скорость вращения, а — коэффициент электропроводности, В0 — интенсивность внешнего магнитного поля, р — плотность жидкости.
УСТАНОВЛЕНИЕ КОНВЕКЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ
75
Рис. 1. Зависимость критического числа Рэлея Яс от горизонтального волнового числа нейтральной моды к при Та = = 106, О = 100: (а) Р = 0.01, Рт = 0.1 (штриховая линия), Рт = 10-3 (пунктир), Рт = 10-8 (штрих-пунктир); (б) Рт = = 10-4, Р = 0.1 (штриховая линия), Р = 0.01 (пунктир), Р = 10 (штрихпунктир). Сплошная линия — стационарная мода, пунктир, штриховая линия и штрихпунктир — осциллирующая.
2. УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ
Устойчивость стационарного состояния (v = 0, b = 0, 0 = 0) (жидкость неподвижна) определяется собственными значениями оператора линеаризации (1)—(3). Стационарное состояние становится неустойчивым, когда собственное значение этого оператора пересекает мнимую ось.
Вычисление критических значений следует методу, впервые использованному в [Pellew, Southwell, 1940] для расчета критических значений Рэлея состояния равновесия жидкости в горизонтальном слое без вращения и магнитного поля и примененного в [Clune, Knobloch, 1993; Weeks, Zhang, 2002; Zhang etal., 2004] для конвективной системы с вращением и/или магнитным полем. Для фиксированных параметров (Р, Рт, Та и Q) критическую моду ищем в виде конечной суммы произведений тригонометрических функций и экспонент с неизвестными коэффициентами. Подставляя эту сумму в линеаризованные уравнения конвекции, теплопроводности и магнитной индукции и в граничные условия, получим систему уравнений (она выведена в [Podvigina, 2010]), из которой находим критическое число Рэлея Rc(k) и частоту (для колебательной неустойчивости), зависящие от к — горизонтального волнового числа критической моды. Из-за сложности этих уравнений, систему решаем численно. Определяя минимум Rc(k) по к и сравнивая значения для разных типов неустойчивости, находим тип критической моды, частота юс (для колебательной неустойчивости) и критиче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.