ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2015
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 534.1
© 2015 г. Бутова С.В.1, Герасимов С.И.2, Ерофеев В.И.3, Камчатный В.Г.2
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО НАПРАВЛЯЮЩИМ РАКЕТНОГО ТРЕКА
1 Филиал Национального исследовательского ядерного университета МИФИ, г. Саров
2 Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, г. Саров 3 Институт проблем машиностроения РАН, г. Нижний Новгород
На примере простейшей модели объекта, представляющего собой двухмассовый осциллятор, движущийся по одномерной упругой направляющей, рассмотрена устойчивость поперечного движения высокоскоростных объектов по рельсовой направляющей ракетного трека. Показана зависимость динамической жесткости рельсовой направляющей в движущемся контакте от скорости движения объекта и частоты возмущения. Определены области неустойчивости поперечного движения двухмассовых осцилляторов, моделирующих движение реальных объектов. Проведено сопоставление с результатами экспериментов.
При постановке экспериментов на ракетном треке Российского федерального ядерного центра — Всероссийского НИИ экспериментальной физики по отработке новых перспективных видов изделий — требуются все более высокие скорости разгона полезной нагрузки. Для разгона полезной нагрузки на ракетном треке используются ракетные поезда, состоящие из нескольких ступеней (таблица).
На рис. 1 представлен внешний вид ракетного двигателя при установке на рельсовую направляющую.
В некоторых случаях движение высокоскоростных ступеней ракетных поездов сопряжено с развитием колебаний в их поперечном движении, приводящих к износу рабочих поверхностей и разрушению опорных башмаков ступени, повреждению рельсовых направляющих ракетного трека [1]. Аналогичные проблемы имеют место и при проведении испытаний на ракетных треках США [2].
Возникновение таких колебаний обусловлено возмущениями, вызываемыми объектом, движущимся по упругой направляющей. Динамическое воздействие движущегося объекта на направляющую вызывает в ней колебания в виде бегущих волн [3, 4].
Рассматриваемые колебания могут быть неустойчивы вследствие аномального эффекта Доплера [5—7], который имеет место при движении объекта со скоростью, превышающей фазовую скорость возбуждаемой им волны. В этом случае излучаемая волна увеличивает энергию поперечных колебаний объекта, уменьшая при этом энергию, обеспечивающую движение его вдоль направляющей.
Масса, кг Параметры внутрибаллистических характеристик (для температуры заряда +20°)
РДТТ двигателя в сборе полное время работы,с средняя тяга, кг • с полный импульс, кг • с максимально допустимая продольная перегрузка, ед. Жесткость РДТТ, Н/м
тип 1 815 1,45 61000 88400 120 1,19 • 108
тип 2 345 0,6 61000 36500 175 3,06 • 108
тип 3 49 0,95 4400 4190 160 3,8 • 107
тип 4 50 0,5 12000 6000 300 2,5 • 106
Существенное влияние на развитие поперечных колебаний высокоскоростных объектов оказывает динамическая жесткость в движущемся контакте рельсовых направляющих ракетного трека. В настоящее время разработаны методы определения динамической жесткости в движущемся контакте для распределенных упругих систем [5, 8].
В качестве простейшей модели движущегося объекта рассмотрим двухмассовый осциллятор, равномерно движущийся вдоль упругой направляющей, расположенной на вязкоупругом основании. Малая масса т находится в безотрывном контакте с головкой рельсовой направляющей. Большая масса М связана с малой массой т упругой связью и вязким демпфером е г (рис. 2).
Уравнения малых изгибно-крутильных колебаний направляющей и горизонтальных колебаний двухмассового осциллятора, движущегося по ней, имеют вид [1]
э4 э2
Е1у ¿4 + Ц
У дх 4
дг
= -5(х - VI)
2
тт гд у
дг2
дг дг
й2г01 ,г / 01 02, , й , 01 02, т—V- + К (г - г ) + £ (г - г )
йГ
йг
т-т д4ш д2ш г д2ш „ гд2 г дш
Е1у тт - -т + р/р тт + н уш-урр тт + v V тг
дх дх дг дг дг
= -Ъ(х - Щ)уь
й2г01 ,г / 01 02, , й , 01 02ч т—V- + К (г - г ) + £ г — (г - г )
Л"
йг
л2 02 ,
ъжй 7 , г / 02 01, , й , 02 01, п
М—V- + К (г - г ) + £ г — (г - г ) = 0,
йг2
йг
г01(г) = г(х - п, г) + уьу(х - Vг,г), Ншг(х, г) = 0, Ишш(х,г) = 0,
(х
(х-И)^ю
(1)
Рис. 1
1т К
N = 2 Яе К
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 2. Равномерное безотрывное движение двухмассового осциллятора вдоль направляющей, лежащей на вязкоупругом основании
Рис. 3. ^-разбиение по комплексному параметру : а — скорость осциллятора не превышает минимальную фазовую скорость волн в направляющей; б — скорость осциллятора больше минимальной фазовой скорости волн в направляющей
У
г
где г(х, 0 — горизонтальное отклонение направляющей; у(х, 0 — угол поворота поперечного сечения направляющей вокруг оси х; 1у — момент инерции сечения направляющей вокруг оси у; 1Ч — секториальный момент инерции сечения направляющей; 1к — момент инерции сечения направляющей на кручение; I р — полярный момент инерции сечения направляющей относительно центра изгиба; , Vг — погонные жесткость и вязкость основания в направлении оси г; Ич, ^ — погонные жесткость и вязкость основания в направлении угла у; у^ — расстояние между центром тяжести и центром изгиба сечения направляющей; уь — расстояние между центром тяжести сечения направляющей и точкой приложения силы в направлении оси г; М — большая масса осциллятора, представляющая массу движущегося объекта; т — малая масса осциллятора, представляющая массу опорного башмака; кг — жесткость упругой связи движущейся массы с опорным башмаком; е г — вязкость упругой связи движущейся
массы с опорным башмаком; г01(?) — горизонтальное отклонение массы т; гО2(0 — горизонтальное отклонение массы М.
Дисперсия упругих изгибно-крутильных волн исследовалась в работах [9, 10], влияние нелинейности на распространение таких волн изучалось в [11, 12].
Математическая постановка задачи о взаимодействии движущегося объекта с упругой направляющей (1) содержит уравнения в частных производных, описывающие из-гибно-крутильные колебания направляющей, и уравнение колебаний движущегося объекта. Эти уравнения динамически связаны в движущейся точке контакта. Для описания динамических условий в контакте в правую часть уравнений упругой направляющей введена обобщенная дельта-функция Дирака, описывающая положение движущегося объекта и зависящая как от времени, так и от пространственной переменной.
В [8] приведена методика исследования подобных уравнений, состоящая во введении движущейся системы отсчета, в которой дельта-функция перестает зависеть от времени, применении интегральных преобразований Фурье по пространственным переменным и Лапласа по времени, позволяющих перейти от системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений и в итоге получить характеристическое уравнение для колебаний объекта, движущегося по упругой направляющей.
Характеристическое уравнение рассматриваемой колебательной системы, полученное с помощью данной методики, имеет вид:
(-тП2 + к1 + ;егП + %г(П,,У))(-ИП2 + к1 + ;егО) - + ;егП)2 = 0, (2)
где х г (Q, V) = Do
i J
dk
2n J Dz (k, Q)
— горизонтальная динамическая жесткость направляющей в движущемся контакте; Q — частота возмущения; V — скорость движения осциллятора;
Dz = (AZBZ - ф/А - ybCz);
n __H,,, - pfpO2 + v^Qi + ybpFysn2_
Do --2-2-2-2;
Hv - pIpQ + vvQ; + yb (Hz - pFQ. + vzp.i) + 2pFybysD.
Az = -pIp(Q2 - 2VQ,k + V2k2) + EIvk4 + GIkk2 + Hv + vV(Q - Vk)i;
Вz = -pF(Q2 - 2VQk + V2k2) + EIyk4 + Hz + vz(Q - Vk)i;
Cz = -pFys(Q2 - 2VQ,k + V2k2).
Подынтегральная функция в выражении горизонтальной жесткости направляющей представляет собой дробь, в знаменателе которой стоит полином восьмой степени.
Динамическая жесткость направляющей, лежащей на вязкоупругом основании, эквивалентна реакции сосредоточенного элемента, динамическая жесткость которого является комплекснозначной функцией частоты возмущения и скорости движения объекта. Действительная часть динамической жесткости отражает упругоинерцион-ные свойства реакции направляющей, а мнимая — вязкостные. Положительная мнимая часть динамической жесткости отражает демпфирующие свойства реакции направляющей в движущемся контакте. Наличие отрицательной вязкости в движущемся контакте является необходимым условием возникновения неустойчивости колебаний движущегося по направляющей объекта [8].
Для выявления наличия необходимых и достаточных условий возникновения неустойчивости следует проанализировать корни характеристического уравнения (2). Горизонтальные колебания двухмассового осциллятора будут неустойчивыми, если хотя бы один из корней будет иметь положительную действительную часть. Однако уравнение (2) является интегральным по отношению к переменной Ю и найти его корни непросто. Поэтому для исследования корней таких уравнений используют метод ^-разбиения [13], идея которого состоит в отображении мнимой оси комплексной плоскости Ю. на плоскость системного параметра, который временно будет рассматриваться как комплексный. Закон отображения можно определить из характеристического уравнения, выразив выбранный параметр явно.
Наиболее существенное влияние на устойчивость поперечного движения двухмассового осциллятора оказывает жесткость упругой связи между массами hz, которую можно явно выразить из уравнения (2)
hz = «QVtf-M (3)
(M + m)(n2 - Xz)
Используя уравнение (4) как закон отображения, необходимо проварьировать Q от —да до +<» и построить зависимости Im х z (Re х z )• Полученная с помощью данного отображения линия разделяет пространство параметров на области с различным числом корней характеристического уравнения (2), имеющих положительную действительную часть. Взаимное расположение кривых ^-разбиения на комплексной плоскости (hz) показано на рис. 3.
Штриховка на линиях ^-разбиения показывает направление перехода из одной области комплексной плоскости hz в другую. При пересечении кривых ^-разбиения в
к, Н/м 9,00Е+08
7,00Е+08
5,00Е+08
3,00Е+08
1,00Е+08 0,00Е+00 -1,00Е+08
500
1500 Рис. 4
к, Н/м 1,Е+08
6,Е+08
2,Е+07 0,Е+00
-2,Е+07
~г /
V 3 / /
\ у /% У
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.