Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 1, с. 28-34
© 2009 г. 10 июля
Устойчивость и неоднозначное представление ударноволнового разрыва в термодинамически неидеальных средах
А. В. Конюхов, А. П. Лихачевг\ В. Е. Фортов, С. И. Анисимов*, А. М. Опарин +
Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия * Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Московская обл., Россия + Институт автоматизации проектирования РАН, 123056 Москва, Россия Поступила в редакцию 8 мая 2009 г.
Проводится нелинейный анализ поведения ударной волны на фрагменте ударной адиабаты, допускающем неоднозначное представление ударноволнового разрыва. Рассматриваемый фрагмент включает участок, на котором выполняется условие Ь > 1 + 2М - один из полученных в линейном приближении критериев неустойчивости ударной волны в средах с произвольным уравнением состояния. Расчеты в модели вязкого теплопроводящего газа показали, что решения с неустойчивой ударной волной не реализуются. В одномерной модели ударная волна распадается на две ударные волны или ударную волну и волну разрежения, распространяющиеся в противоположных направлениях, либо (в области устойчивости) может остаться в исходном состоянии. Выбор решения зависит от параметров ударной волны (положения на ударной адиабате), а также формы и интенсивности ее возмущения. В многомерных 2В и ЗВ расчетах с периодическим возмущением ударной волны на ее фронте формируется "ячеистая" структура с конечной по величине амплитудой возмущений, не убывающей и не растущей во времени. Такое поведение ударной волны обусловлено возникновением на наклонных участках возмущенной ударной волны тройных конфигураций, взаимодействующих друг с другом в процессе распространения вдоль ее фронта.
А. М. Опарин
PACS: 47.40. —х, 64.10.+h
Введение. В [1] был проведен линейный анализ устойчивости плоской ударной волны (УВ) относительно малых двумерных возмущений ее фронта для сред с произвольным уравнением состояния. В работе было показано, что в рамках используемой постановки возможны три варианта эволюции возмущенной УВ, и были получены условия, при которых эти варианты реализуются:
абсолютная устойчивость--1 < Ь < /1 д, (1)
нейтральная устойчивость - /1 д < Ь < 1 + 2М,(2) ' £ < -1 (За)
ч Ь > 1 + 2М2) ' (36)
Те же результаты были получены в работах [3-5], отличавшихся от [1] особенностями линеаризованной постановки и/или используемого математического аппарата. В работе [1] была выявлена принципиаль-
неустоичивость
Ч e-mail: apieihed.ras.ru Использованы следующие обозначения: L = j2(dV/dp)u -введенный в [1] параметр устойчивости УВ, j - плотность потока вещества через поверхность УВ, индекс Н означает дифференцирование вдоль ударной адиабаты (УА), М - число Маха за фронтом УВ в связанной с ней системе координат, 9 - степень сжатия вещества в УВ, точное выражение для границы области нейтральной устойчивости La = (1 — М2 — вМ2)/{ 1 — - М2 + вМ2) было получено в [2].
ная роль термодинамической неидеальности среды в проблеме устойчивости ударной волны (напомним, что в идеальном газе плоская УВ абсолютно устойчива всегда [6]).
Позже (см., в частности, [7-11]) было обнаружено, что участки УА, на которых, в соответствии с [1], УВ является неустойчивой, перекрываются участками с неоднозначным представлением ударноволнового разрыва. В этой связи в [11] было высказано предположение, что в реальных условиях неустойчивость УВ не реализуется в силу ее необратимого распада на некоторую совокупность волновых элементов. Допустимые схемы расщепления исходной УВ для каждого из двух условий ее неустойчивости приведены в обзоре [12].
К настоящему времени наиболее полно исследовано поведение УВ при выполнении условия (За). Это условие отвечает перегибу (в предельном случае -излому) на УА при отрицательном наклоне касательной (др/д~¥)н и выполняется в реальных веществах в области фазового перехода 1-го рода или при переходе из упругого состояния в пластическое [13]. Из этого условия непосредственно следует, что число Маха в потоке за фронтом УВ (в связанной с ней системе координат) М > 1, и, следовательно, на-
рушается одно из условий эволюционности УВ [14]. Более того, в начале участка УА с I < -1 производная (д2р/дУ2)з отрицательна, то есть существование ударных волн сжатия с конечным состоянием в этой области невозможно. Очевидно, что такая УВ, возникнув по естественным причинам или будучи созданной искусственно, должна мгновенно распасться. Сложнее прогнозировать поведение УВ в области неоднозначного представления, выходящей за пределы участка I < в сторону больших давлений, на котором выбор между исходной УВ и рас-падной конфигурацией не связан с термодинамическими ограничениями. Эксперименты, проведенные в основном для УА с изломом [13], и численные расчеты [15-18] показывают, что выбирается именно рас-падное решение, представляющее собой, по терминологии [19], комбинированную волну сжатия (КВС). Если УА является гладкой, а конечное состояние исходной УВ находится в области термодинамической аномальности (д2р/дУ2)з < 0, то при распаде формируется неполная КВС, состоящая из УВ, отвечающей начальной точке участка неустойчивости (За), и примыкающей к ней изэнтропической ("расходящейся") волны сжатия. При выходе из этой области формируется вторая (замыкающая) УВ, движущаяся в том же направлении, что и первая, но с большей скоростью (полная КВС). В случае УА с изломом участок Ь < стягивается в точку, а волна сжатия вырождается в участок однородного течения (так называемая двухволновая структура) [12,13,17]. С приближением к границе участка неоднозначности скорости ударных волн в КВС выравниваются, и за ее пределами может существовать только исходная УВ.
Хотя выполнение второго условия неустойчивости УВ Ь > 1 + 2М не сталкивается с принципиальными термодинамическими ограничениями, примеров его выполнения в реальных средах пока не найдено (есть основания полагать, что оно может реализоваться в пористых средах типа аэрогелей). В то же время изучение поведения УВ в области ее неоднозначности, включающей участок УА с Ь > 1 + 2М, представляет безусловный фундаментальный интерес как часть проблемы устойчивости плоской УВ и может быть полезно для идентификации этого явления при его реализации в будущих экспериментах.
1. Построить УА с участком, удовлетворяющим условию (36), позволяет модельное уравнение состояния [15], но при его использовании в расчетах возникают вычислительные проблемы. В данной работе для анализа поведения УВ используется модификация этого уравнения состояния в виде
е.(Р,У) = (1 — ехр(^р2) + еУр2)(4 — ехр(^(4 — V)2)),
(4)
позволяющая в известной степени преодолеть упомянутые трудности (е - малый положительный параметр, варьирование которого позволяет моделировать 5-образный изгиб ударной адиабаты (в переменных р — и) и изменять протяженность участка Ь > 1 + 2М).
В последующем анализе рассматривается ударная адиабата с координатами начальной точки ро = 0.1, ~¥о = 5.49, построенная на основе (4) при е = Ю-3 (рис.1). На участке ЕР выполняется условие (36) не-
Р
- 1
:___________________а
/ /
- \ г
1 1 1 1 1 1 1 1 1 г
и (V)
Рис.1. Ударная адиабата с координатами начальной точки ро = 0.1, Уо = 5.49, построенная в р— V и р—и координатах на основе УРС (4) при е = Ю-3
устойчивости ударной волны по отношению к малым периодическим возмущениям. На границах этого участка Ь = 1 + 2М, из чего следует, что (ди/др)н = = (ди/др)ц, то есть точки Е и Р являются точками касания УА и соответствующих адиабат Пуассона. Точка Е характеризуется тем, что проведенная из нее ударная адиабата (на рисунке показана пунктиром) касается исходной УА в точке Р. Адиабата Пуассона, касающаяся исходной ударной адиабаты в точке Е, пересекает ее в точке <3. Следует отметить, что ударные адиабаты, имеющие начальные точки на участке 15(3, и изэнтропы в этой области геометрически близки, поэтому ударная адиабата, выходящая из точки Е, пересекает исходную ударную адиабату в окрестности точки <3, а изэнтропа, проходящая через точку Р, пересекает исходную ударную адиабату вблизи точки В.
Из анализа пересечений вторичных ударных адиабат и изэнтроп с рассматриваемой УА следует, что внутри фрагмента ударной адиабаты 15(3, включа-
4
3
2
1
0
ющего в себя участок ЕР неустойчивости УВ Ь > > 1 + 2М, решение задачи об ударноволновом разрыве является неоднозначным и, кроме одиночной УВ, может быть представлено в виде на участке
БЕ, или на участке ЕР и на
участке (здесь в - ударная волна, Т - контактный разрыв, Л - волна разрежения, срелкой указано направление движения волны относительно контактного разрыва).
2. Вопрос о реализуемости того или иного варианта решения в области его неединственности исследовался численно в рамках модели вязкого теплопрово-дящего газа с использованием уравнения состояния (4). Задача решалась в безразмерном виде в Ш, 2Б и ЗБ постановках. Тензор вязких напряжений и плотность теплового потока определялись выражениями
(V,
q =
-VI,
(5)
(6)
ЫеРг
где г - энтальпия. В (5) пренебрегается второй вязкостью, модельный характер выражения (6) связан с калорическим видом УРС (4).
Для определения невязких потоков через границы ячейки использовалась ТУТ) схема второго порядка точности с разностями против потока, построенная на основе [20] с расширением [21] на случай произвольного уравнения состояния. Аппроксимация членов уравнений, связанных с учетом вязкости и теплопроводности, проводилась в рамках стандартной симметричной схемы второго порядка точности. Введение физической диффузии и диссипации позволяет в известной степени подавить влияние на решение численных эффектов, связанных с перемещением УВ по сетке, но не определяет, как отмечалось в [22], выбор той или иной волновой конфигурации в области неединственности решения. В расчетах вне зависимости от размерности задачи использовались сетки с постоянным шагом к. Величина шага к = 0.002 и сеточное число Рейнольдса Не^ = 3.5 выбирались из условия разрешения структуры УВ (не менее 10 шагов сетки), число Прандтля Рг полагалось равным 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.