Автоматика и телемеханика, Л- 6, 2007
РАС Б 02.30.Yy
© 2007 г. А.Х. ГЕЛИГ, д-р физ.-мат. наук, И.Е. ЗУВЕР, д-р техн. наук (Санкт-Петербургский государственный университет)
УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1
Рассматриваются классы систем с медленно меняющимися коэффициентами. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости линейных нестационарных систем, устойчивости в целом дискретных систем и устойчивости в большом нелинейных непрерывных и импульсных систем.
1. Введение
Поскольку необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости линейных стационарных систем (как алгебраические, так и частотные) хорошо известны. то давно предпринимались попытки выделить классы нелинейных систем, исследование глобальной асимптотической устойчивости (устойчивости в целом) которых можно свести к исследованию асимптотической устойчивости линейных стационарных систем. В 1949 г. М.А. Айзерман [1] высказал гипотезу о том. что нелинейная система
(1) Х = Ax + Ь^(а), а = c x
(A - постоянная mx m-матрица, ^^^^^отянные m-мерные столбцы, все величины вещественные, * — знак транспонирования) устойчива в целом, если коэффициент усиления к(а) = р(а)/а при всех а принадлежит интервалу k\ < к (а) < к2 и линейные системы, получающиеся из (1) при р(а) = ка асимптотически устойчивы при ki < к < к2-
H.H. Красовский [2] построил пример системы (1) второго порядка, опровергающий гипотезу Айзермаиа. Однако неустойчивость нелинейной системы в этом примере была доказана за счет специального поведения функции <^>(а) при |а| Поэтому с точки зрения практиков, имеющих дело с системами, функционирующими в ограниченной области фазового пространства, гипотеза Айзермаиа опровергнута не была. Затем В.А. Плисс [3] построил пример удовлетворяющей условиям гипотезы Айзермаиа системы (1) третьего порядка, имеющей периодический режим и, следовательно, не являющейся устойчивой в целом. Поскольку рассуждения в [3] существенно использовали немонотонность функции а), то Р. Калман [4] высказал гипотезу о том, что проблема Айзермаиа имеет положительное решение для системы (1) с монотонной нелинейностью р(а). Хотя при m < 4 гипотеза Калмана оказалась справедливой, при m = 4 она была опровергнута Н.Е. Барабановым [5, 6].
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 05-01-00290 и 05-01-00238).
В данной статье исследуется устойчивость систем с зависящими от времени либо от фазовых координат коэффициентами. Предполагается, что коэффициенты меняются достаточно медленно, а спектр отделен от мнимой оси (от единичной окружности в дискретном случае). Рассматриваются непрерывные линейные нестационарные и нелинейные системы, дискретные и импульсные системы.
2. Линейные нестационарные системы
Рассмотрим систему
(2) x = A(t)x, t > t0
с непрерывно дифференцируемой при t ^ to вещественной матрицей A(t) G Rmxm. Пусть Aj(t) - собственные числа матрицы A(t), Aj(t) = Aj(i^a i = jut > t0, gi(t) — собственные векторы сопряженной матрицы A*(t),
G(t) = ||gi(t),...,gm(t)||.
Предполагается, что
(3) inf | det G(t)| > 0,
i^io
а собственные числа обладают свойством
(4) max sup Re Ai(t) = —a,
j i^io
a
Теорема 1. Пусть выполнены предположения (3), (4) и существует такое в G [0, а), что при t > t0 справедливо неравенство2
(5) GG* < e2GG *.
Тогда любое решение системы (2) обладает свойством
(6) ||x(t)|| < 7(x(to))exp[—(a — в)], где j(-) - непрерывная функция, y(0) = 0.
Замечание. Если матрица A постоянна, то G = 0 и неравенство (5) выполня-в=0
линейной стационарной системы, спектр которой удовлетворяет условию Re Ai ^ —a (i = 1,...,m) при различпых Ai.
Доказательство этой теоремы, как и последующих теорем, приведено в Приложении. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Рассмотрим при условии
(7) sup e(t) = —a< 0
t^to
систему
xi = —(£2(t)+^2(t))x2, x,i = xi — 2e(t)x2.
- Здесь и в дальнейшем матричные неравенства понимаются в смысле неравенств соответствующих квадратичных форм.
G(t)
G(t) =
1 1
—e(t) + iw(t) —e(t) — iw(t)
и условие (5) сводится к неравенству е2 + ^ в2^2, которое выполняется при всех £ ^ ¿о, если
(9)
e2(t) + w2(t) 2 sup — п/.ч < a2.
i>io
(t)
По теореме 1 для асимптотической устойчивости системы (8) достаточно выполнения условий (7). (9).
Пример 2. Рассмотрим при условиях (10) Ai(t) <A2(t), sup A2(t) = —a < 0
t^to
систему
(H)
Здесь
xi = —Ai(t)A2(t)x2,
x2 = xi — (Ai(t) + A2 (t))x2.
G(t)
1 1 Ai(t) A2(t)
и условие (5) сводится к неравенству 2(А2(t) + A2(t)) < e2(Ai(t) — A2(t))2, которое выполняется при всех t ^ to, если
2(А 2(t)+A2(t)) (12) sup (A iy . 2t))2 < a.
t>to (Ai (t) — A2 (t))2
Согласно теореме 1 условия (10), (12) достаточны для асимптотической устойчивости системы (11).
3. Нелинейные системы
Рассмотрим систему (13) х = А(х)х
с непрерывно дифференцируемой при х € Мт вещественной матрицей А(х) € Ктхт. Пусть АДх) - собственные числа матрицы А(х), прпчем АДх) = Ац (х^и г = ] к х € Мт. Обозначим через §г (х) собственные векторы матрицы А*(х), через О(х) -матрицу ||д1 (х),..., дт(х) || с элементами д^ц (х) (г,] = 1,...,то), через О(х) - матрицу
ддц ддц
с элементами -дхА(х)х,тр$ - градиент-строка функции дц(х).
Предполагается, что при всех х € Мт имеет место неравенство
(14) G(x)G*(x) > в1,
ш
где .Т — единичная т х т-матрица, в ~ положительная постоянная, а собственные числа Хг(х) обладают свойством
(15) тах вир НвЛг(х) = —а,
где а > 0.
Рассмотрим матрицу Р(х) = С-1 (х)С(х) и ее эвклидову норму (х)||. Очевидно, что ||Р(0)|| = 0. Пусть V - такое связное множество в Мт, включающее точку х=0
(16) вир ||Р(х)Ц2 <а2. хеТ
Введем обозначения: ц2 = вир ||^^(х)||2, Т- граница области V, V(х) = х*С(х)С*(х)х,
хеТ
V = М V(х), VI] - множество всех векторов из V, удовлетворяющих неравенству
хет
V (х) < V. В следующей теореме утверждается устойчивость в большом системы (13)
х=0
Теорема 2. Если выполнены свойства (14)—(16), то любое решение х(Ь) системы (13), удовлетворяющее условию х(0) е V0, обладает свойством
(17) Цх(г)Ц < 7(||х(0)||)ехр[-(а —
где 7(■) - непрерывная функция, 7(0) = 0.
Замечание. Если матрица А постоянная, то Р = 0, ц = 0, условие (16) выполнено при V = Мт и оценка (17) совпадает с известной оценкой решений линейной стационарной системы.
4. Дискретные системы
Рассмотрим систему
(18) хи+1 = Акхк, к = 0,1, 2,...,
где Ак - т х т-матрицы, которые либо заданы (линейная нестационарная система), либо определяются по х^ (г ^ к) (нелинейная система). Пусть Лк (г = 1,...,т) -собственные числа матрицы Ак, причем Лк = Лк (г = ^ и выполнено свойство
(19) ц = maxsup |Лк| < 1.
1 к
Введем матрицы Ск = Цдк,... ,д!^||, где дк - собственный вектор матрицы А*к, соответствующий собственному числу Лк. Предполагается наличие свойства
(20) Ы | det Ск I > 0.
к
Теорема 3. Если выполнены условия (19), (20) и существует 5 е (0,1), при котором справедливы неравенства
(21) 1?Ск С*к <5Ск-1С;_1 (к =1,2,...),
то для любого решения системы (18) справедлива оценка
(22) Цхк||2 < 5к1(Ы),
где 7 (■) - непрерывная фун кция, 7(0) = 0.
5. Импульсные системы
В этом раздело будет показано, что предложенный выше подход к исследованию устойчивости непрерывных систем применим и к импульсным системам с достаточно высокой частотой импульсации. Рассмотрим систему
(23) х = В(х)х + Ь(х)£, £ = Ма, а = с*х,
где В(х) € Ктхт, Ь(х) € Ктх1, с € Ктх1. Здесь а - сигнал на входе импульсного модулятора, £(г) - сигнал та его выходе, М - нелинейный оператор, описывающий
В(х)
дифференцируемы в Кт и ограничены там вместе со своими производными, элементы столбца Ь(х) непрерывны и ограничены в Кт.
Оператор М отображает каждую непрерывную па [¿о, функцию а (г) в функцию £(£) и последовательность моментов времени {гп} (п = 0,1, 2,...), удовлетворяющих условию
(24) 6оТ < ¿п+1 - ¿п < Т,
которое означает ограниченность частоты импульсации сверху и снизу. Предполагается, что
(25) £(г) = ч>(а(Ьп)) при гп < г< ¿п+1
и гп зависит от значений а(г) лишь при г ^ гп. Предполагается также, что функция ¥>(а) ограничена и удовлетворяет условию Липшица
а коэффициент усиления к(а) = ц>(а)/а имеет производную к'(а), ограниченную при а € К1. Описанными свойствами обладает, например, комбинированная амплитудно-частотная модуляция.
Наряду с (23) рассмотрим "эквивалентную" нелинейную непрерывную систему
которую можно записать в виде
(27) х = А(х)х,
где А(х) = В(х) + к(с*х)Ь(х)с*х.
Покажем, что если система (27) удовлетворяет условиям теоремы 2, то при достаточно высокой частоте импульсации будет устойчива в большом и импульсная система (23). Для системы (27) воспользуемся теми же обозначениями О(х), V, Во, /2, V, что и для системы (13). Кроме того, введем величины
(26) У(а') - у>(а'')\ < 1\а' - а''\ при всех а',а'' € К1,
х = В(х)х + к(а)Ь(х)с* х,
к1 = вир ||с*А(х)||2, к2 = 8ир(с*Ь(х))2/2.
¿1 = вир ||^(х)С*(х)х||, ¿2 = вир ЦС(х)С*(х)Ь(х)||, ¿3
8к1
Q(x) - матрица с элементами
х^
п2 - 8Т2к2 :
Теорема 4. Пусть выполнены, свойства (14) (16), а также неравенства
(28) Т2 < —,
(29) Т2 < ■
Тогда любое решение импульсной системы (23), удовлетворяющее условию х(Ь0) £ £ Д0, обладает свойствами
(30) \\х(г)\\ ^ 0 при Ь ^
(31) вир \\х(Ь)\\ ^ 0 при \\х(Ь0)\\^0.
6. Заключение
Рассмотрены непрерывные линейные нестационарные и нелинейные системы, дискретные и импульсные системы с медленно меняющимися коэффициентами в предположении, что собственные значения матрицы коэффициентов различны и отделены от мнимой оси (от единичной окружности в дискретном случае). Предложен новый вид функций Ляпунова, определяемых по собственным векторам сопряженной матрицы коэффициентов системы. Путем анализа таких функций получены достаточные условия устойчивости в целом и в большом, которые в случае постоянства коэффициентов совпадают с известными необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости линейных стационарных систем.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы 1. Обозначим через (г = 1,...,т) соб-
ственные векторы матрицы А(Ь), нормированные таким образом, что выполнены соотношения
(п.1) ¿* (г)д0 (*)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.