ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 3, с. 269-276
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8
устойчивость квазижелобковои моды в тороидальных системах при выполнении условия
бернштейна-кадомцева
© 2004 г. А. В. Звонков, А. А. Сковорода
РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза Поступила в редакцию 05.02.2003 г.
Окончательный вариант получен 17.09.2003 г.
Выполнение условия Бернштейна-Кадомцева в условиях нарушения критерия Мерсье приводит к понижению инкремента МГД-неустойчивости в тороидальных конфигурациях. При выполнении условия Бернштейна-Кадомцева альфвеновские моды Мерсье заменяются квазижелобковыми звуковыми модами Мерсье. В системах с замкнутыми силовыми линиями выполнение критерия Бернштейна-Кадомцева обеспечивает МГД-устойчивость, но появление небольшого вращательного преобразования из-за магнитных возмущений может вызвать развитие квазижелобковой звуковой неустойчивости с инкрементом, пропорциональным величине возмущения. При этом наибольший инкремент имеют наиболее коротковолновые колебания.
ВВЕДЕНИЕ
В тороидальных системах с замкнутыми силовыми линиями без вращательного преобразования для устойчивости желобковых (продольное волновое число к = 0) колебаний необходимо и достаточно выполнить условие [1, 2], далее называемое условием Бернштейна-Кадомцева (БК),
Bdl)
U 2
< V p • V U <
Y о p( VU)2 |U |
(1)
Здесь p - равновесное давление плазмы, у0 - показатель адиабаты, U = B = const - метка равновесной магнитной поверхности. Для магнитных конфигураций с "ямой", vU > 0, правое неравенство (1) выполняется при спадающем профиле давления плазмы, vp < 0, и значение имеет левое неравенство. Наоборот, для магнитных систем с "бугром", vU < 0, левое неравенство выполнено, и значение приобретает правое неравенство. Существует нейтрально устойчивый спадающий
профиль давления p ~ U То, при котором правое неравенство (1) превращается в равенство. Именно такая возможность МГД-стабилизации сжимаемостью плазмы применяется в ряде инновационных систем [3-6] и является основным предметом исследования в настоящей статье.
Замкнутость силовых линий во всем объеме ловушки является теоретической идеализацией. Возможны возмущения магнитного поля, приводящие к их размыканию. Так, в ловушках с поло-идально замкнутыми линиями [3-5] тороидальное магнитное поле приводит к их размыканию. В
ловушке с тороидально замкнутыми линиями [6] вертикальное магнитное поле может "разматывать" силовые линии. В то же время дрейфовое движение заряженных частиц в полоидальном направлении обеспечивает топологическую устойчивость поверхностей постоянного давления плазмы. Поэтому при конечном давлении плазмы топологическая устойчивость магнитной конфигурации при вертикальном возмущении магнитного поля может быть обеспечена плазменными токами, приводящими к появлению небольшого вращательного преобразования. Эксперимент подтверждает такую возможность [7].
При анализе устойчивости систем с замкнутыми силовыми линиями логично рассмотреть, как на нее влияет малое размыкание силовых линий. В замкнутых системах с вращательным преобразованием известен необходимый критерий Мерсье устойчивости локальных идеальных мод (ку = 0 на рациональных поверхностях). Критерий Мер-сье не содержит сжимаемости и при малом шире предсказывает неустойчивость в системах без магнитной ямы. Как показано в [8], учет сжимаемости может сильно повлиять на инкремент МГД-неустойчивости, возникающей при нарушении критерия Мерсье. При выполнении условия, сходного с правым неравенством (1) (см. Приложение), "альфвеновский" инкремент (у ~ сА/Ц) сменяется "звуковым" инкрементом (у ~ с /Ц), который существенно меньше при малом давлении
плазмы (малом в). Здесь сА = В/,Ур - альфвенов-
ская скорость, с = оР/Р - скорость звука, Ц -"шировая длина", р - массовая плотность. Именно в этом смысле использовались слова "подавле-
ние желобковых альфвеновских возмущений и раскачка квазижелобковых звуковых возмущений" в [9]. Заметим, что подобные условия встречались в работах Кадомцева и Соловьева [10, 11].
Поскольку в рассматриваемых нами системах, стабилизированных сжимаемостью, возможно появление малого вращательного преобразования, то возникает вопрос об устойчивости "звуковых" колебаний при появлении малой разомкну-тости силовых линий и о величине ожидаемого инкремента. Заметим, что при малом отклонении от условия Мерсье инкремент оказывается экспоненциально малым [8, 12, 13].
Влияние размыкания тороидально замкнутых силовых линий будем рассматривать на примере прямого цилиндра с отождествленными торцами, Вф <§ Вг, а полоидально замкнутых - на примере цилиндра с В1 < Вф. В Приложении показано, что полученные выводы распространяются и на тороидальную геометрию.
2 2
ми, 5ф <§ Bz. Рассмотрим случай ß <§ 1, kzr < m2,
Y2 cA/r2, m > 1, когда C12 —m2, %r2 <§ 1 и уравнение (2) приводится к виду
1,
- -
- (r3 p(Y 2 + k 2 cA )-' )'-
, 2 ,2 ^ 2^.2, 4rk2zY0PY2 Л P(Y + kN cA )m +2 rkzp +-f——
R (Y + ki|Cs ))
(3)
= 0,
здесь штрих означает производную по r, слагаемым с производной плотности для простоты пре-небрегается.
Умножая (3) на r-(Y2 + k2 c]) и интегрируя по радиусу с учетом граничного условия -(а) = 0, получаем квадратное уравнение для Y2
4 2
S Y4 + Ty + P = 0,
1. КВАЗИЖЕЛОБКОВАЯ ЗВУКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В цилиндрической геометрии известно точное уравнение для малых радиальных смещений [12, 14, 15]. Его можно представить в следующем виде:
3 2 2 2
CW (r P(Y + k| | cA )d))
r dr\ C
12
dr
- W- = 0,
W = p(Y 2 + k|2 cA2)(m2-1 + k2 r2- x r2) +
2 2 2 + 2 k dP + -Y_
Y (1 + ß) + k,, c
2 d p — Y r — -
22
dr
d(rBфX) , r dC12(p(Y2 2 2 ) ) -2Вф-г3-— + ---—(p(Y + k|| ca) - C11), (2)
ф dr C12 dr
2,22 2
C12 = -m -kzr + r x,
(mBф 2 Л
C11 = 2( — kB - Вфxl,
4 2 _2 X = - 2 ) Y_ , ß = Ц 1 B
cA (Y2 (1 + ß) + k 2 cs2) cA
ß = П 1 = DU. , ß ^ R rB2'
(4)
Здесь R 1 - кривизна силовых линий, kz - волновое число вдоль оси цилиндра, m - азимутальный номер моды, Bz ф - компоненты магнитного поля. При такой записи в явном виде выделен основной член, обусловленный сжимаемостью - третье слагаемое в W.
В качестве простой модели ловушки с тороидально замкнутыми силовыми линиями рассмотрим прямой цилиндр с отождествленными торца-
S = Jp( r2-'2 + m2-2) rdr,
0
a
= J( k 2 B2 (r2-'2 + m2 -2) +
+ 2 rkz( p' + 2 y 0 p / R)-2 )rdr,
= J (rk,2 cs2 (k|2 B2( r2-'2 + m2-2) + 2 -2 rkz2 p )
-1 -2 (r3k,2 B2( k2 cs2)')' )dr.
Для нахождения инкремента необходимо знать собственную функцию -, однако некоторые качественные суждения можно получить уже из этих
соотношений. Из-за малости ß = c]/cA корни этого уравнения сильно различаются по величине, при этом больший, "альфвеновский", корень определяется равенством y2 = -T/S, а меньший, "звуковой" - y2 = -P/T. При большой величине kц все коэффициенты уравнения (4) положительны, а
оба корня отрицательны, что означает устойчи-
2
вость плазмы. При малом kм коэффициент P может стать отрицательным, и это будет означать, что один из корней неустойчив. Какой из корней, "альфвеновский" или "звуковой", будет неустойчив, определяется условием Кадомцева (1). При его выполнении неустойчивость будет иметь малый, "звуковой" инкремент.
Когда силовые линии замкнуты и нет шира, могут существовать возмущения с ky(r) = 0 (же-
a
0
a
0
s
лобковая мода), при этом один корень уравнения (4) обращается в нуль, а второй устойчив при условии (1). В случае замкнутых силовых линий решение (3) должно удовлетворять условию периодичности вдоль силовой линии, поэтому кц может принимать лишь дискретные значения. Тогда
при достаточно малом давлении в < к ^ т2а/к^г =
2
= к||ш1паЯ (где кцт1п - минимальное ненулевое значение кц) величина Р будет положительна, а плазма устойчива. Если давление превысит предельное, могут раскачиваться моды с инкрементом
у ~ л/в с,/ 4аЯ, который меньше обычного желоб-
кового из-за множителя /Ур . В реальных ловушках, когда существует неоднородность магнитного поля и кривизны силовых линий, предельное устойчивое давление определяется появлением первого решения уравнения для баллонных мод с кц ф 0 [1], т.е. фактически также величиной кцтЬ.
Таким образом, если устойчивость желобко-вых колебаний (кц = 0) обеспечена сжимаемостью, то плазма достаточно малого давления будет устойчива и относительно мод с кц ф 0 из-за дискретности спектра кц вследствие замкнутости силовых линий. При размыкании силовых линий и наличии шира ситуация кардинально меняется: в плазме существуют рациональные поверхности, на
которых кц(г0) =
к7В£ + тВф/ г0
В
= 0, и вблизи них,
вообще говоря, могут существовать локальные моды с малыми кц. Возможность существования неустойчивых локальных мод при этом определяется решением радиальной задачи.
Для рассмотрения локальных мод в поле с ши-ром используем линейную аппроксимацию вблизи рациональной поверхности кц = -х/Ь,, где х = т(г - г0)/г, а шировая длина Ц определена со-
-1 2
отношением Ц = [(Вф/гВВг )(гВг /Вф)' ]г = . При этом получаем уравнение
й ( 2 й ^ 2 . + х 2 й2 £ X хТх) -х х+ХАйг~
+ хА )Х =
йх и о +
(5)
22 1 + х / х,
22 здесь и0 = 2 Цр'/Я р сА
2 2 2 2 ис = 4Цс2/Я сА
А , хА =
= уЦ/сА, х5 = уЬ5/с5. Оно подробно анализировалось в [8]. Заметим, что после соответствующих переопределений уравнение (5) оказывается применимым и для тороидальной геометрии, см. Приложение и [8-10]. Краткий результат проведенного в [8] анализа (5) следующий: если выполнен критерий Мерсье и0 + 1/4 > 0, то неустойчиво-
сти нет, если же и0 + 1/4 < 0, но выполнено условие БК, то развивается квазижелобковая звуковая неустойчивость, в выражение для инкремента которой вместо альфвеновской скорости входит скорость звука.
Здесь мы лишь качественно поясним, почему оказывается возможным существование неустойчивых квазижелобковых локальных мод вблизи рациональных поверхностей. Рассмотрим локализованные возмущения с т > 1, не делая пока каких-либо предположений о характере зависимости кц = кц(х). Введем эффективные волновые
2 222222 2 числа кА = у /сА , к5 = у /с,, кц = -2р'/Яр сА ,
2 2 2 2 2 2 кс = 4с,/Я сА и параметр Q = кс/кц - 1, которы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.