ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 1, 2015, стр. 24-29
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА =
УДК 539.3:534.1
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ТРУБЫ С ОСНОВОЙ ИЗ ПЕНИСТОГО МАТЕРИАЛА
© 2015 г. Д.Н. Шейдаков1, И.Б. Михайлова1
Поступила 23.10.2014
Настоящая работа посвящена изучению устойчивости нелинейно-упругих трехслойных труб с основой из металлической или полимерной пены. В рамках общей теории устойчивости трехмерных тел исследована проблема бифуркации равновесия сжатой цилиндрической трубы при внутреннем и внешнем гидростатическом давлении. Для описания поведения среднего слоя (основы) трубы, выполненного из пенистого материала, использована модель микрополярной среды. Внутренний и внешний слои (покрытия) полагали выполненными из классических неполярных материалов. Такой подход делает возможным более точное моделирование и подробное изучение явления потери устойчивости для конструкций из пенистых материалов. В случае модели физически-линейного материала получены линеаризованные уравнения равновесия, описывающие поведение трехслойной трубы в возмущенном состоянии. С использованием специальной подстановки исследование устойчивости сведено к решению линейной однородной краевой задачи для системы двенадцати обыкновенных дифференциальных уравнений. При заданных материалах основы и покрытий данная краевая задача может быть достаточно легко решена численно с использованием конечно-разностного метода.
Ключевые слова: нелинейная упругость, устойчивость деформируемых тел, пенистые материалы, микрополярная среда, трехслойная труба.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с увеличением числа новых конструкционных материалов все более актуальной становится пока еще малоизученная проблема анализа устойчивости тел с микроструктурой. Примером таких новых материалов являются металлические и полимерные пены [1-3], широко используемые в современной автопромышленности и авиастроении. Как правило, инженерные конструкции из пенистых материалов имеют составную структуру (металлическая или полимерная пена покрыта твердой и жесткой оболочкой), что необходимо для защиты от коррозии и воздействия высоких температур, а также для оптимизации механических свойств в процессе нагружения.
Согласно экспериментальным данным [4], поведение металлических и полимерных пен может существенно отличаться от ожидаемого в рамках классической теории упругости. В связи с этим для описания пенистых материалов более целесообраз-
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, тел. 8 (863) 250-98-10, e-mail: sheidakov@mail.ru
ным представляется использовать модель микрополярной среды [5-10], т.е. среды с моментными напряжениями и вращательными степенями свободы. В рамках этой модели микроповорот можно рассматривать как вращение узлов ребер в пене, а моментные напряжения - как средние изгибающие и крутящий моменты, передаваемые по ребрам пены. Сказанное выше учитывалось в настоящей работе при исследовании устойчивости нелинейно-упругой трехслойной трубы с основой из пенистого материала.
РАВНОВЕСИЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ ТРУБЫ
Рассмотрим трехслойную цилиндрическую трубу длиной I с внутренним радиусом т_ и внешним радиусом т+. Средний слой трубы (основа) толщиной И выполнен из металлической или полимерной пены, и для описания его поведения используется модель микрополярной сплошной среды. Внутренний и внешний слои (покрытия) имеют толщину И_ и И+ соответственно и полагаются выполненными из классических неполярных материалов. Здесь и далее индексами "-" и "+" будем обозначать величины, относящиеся к внутреннему и внешнему
покрытиям. Величины без этих индексов будут относиться к пенистой основе трехслойной трубы. При осевом сжатии цилиндрической трубы в условиях внутреннего и внешнего давления положение частицы среды в деформированном состоянии задается радиусами-векторами R-, R и R+ [11; 12] (с- = г_ + Ь_, с+ = г+ - Н+):
R =
/-(г), Г1 < г < с /(г), с - < г < с+, /+(г), с+< г < г+, R -= /-(г) е * + аге z, R = / (г) е * + аг е z, R + = /+(г) е * + аге 2,
Ф = {, 0 < { <2 г, Z = аг, 0< 2 < I,
г < г < с-,
(1)
с - < г < с+,
с+ < г < г+.
(2)
Здесь г, {, 2 - цилиндрические координаты в от-счетной конфигурации (лагранжевы координаты),
Ф, Z - эйлеровы цилиндрические координаты, {ег, е{, е2} и {е*, еФ, eZ} - ортонормированные векторные базисы лагранжевых и эйлеровых координат соответственно, а - заданный коэффициент сжатия вдоль оси трубы,/(г) и/±(г) - некоторые неизвестные функции, характеризующие радиальную деформацию трехслойной трубы.
Для микрополярной основы (с- < г < с+) задан собственно ортогональный тензор микроповорота Н, который характеризует поворот частицы среды:
Н = ег 7 е * + еф 7 еф + е2 7 ez. (3)
Согласно выражениям (1), (2), градиенты деформации С-, С и С+ (здесь и далее ' обозначает производную по г) суть
С - = grad R - = /- е г С = grad R = / 'е г(
/—е ф 7 е ф + а е 2 г
/
>е ф + ае г 7 е z, (4)
/+
С + = grad R + = /+е г 7 е * + — е { 7 е ф + ае г 7 е
z■>
где grad - градиент в лагранжевых координатах.
Из соотношений (3), (4) следует, что для микрополярной основы (с- < г < с+) трехслойной трубы мера деформации типа Коши У выражается следующим образом [13; 14]:
У = С ■ Н т = / е г
/
)е * + — е ф<
)е ф + ае г 7 е z, (5)
а тензор изгибной деформации Ь равен нулю: Ь X Е = -(grad Н) ■ Н т = 0.
Согласно (4), выражения мер искажения и-, и+ и тензоров макроповорота А-, А+ для внутреннего
(г- < г < с ) и внешнего (с+ < г < г+) неполярных покрытий имеют вид [15]
- /
и ± = (С ± ■ С т)2 = /±е г 7 е г + — е ф 7 е ф + ае г 7 е г,
г
А± = Щ1 ■ С± = ег 7 е * + еф 7 еф + е2 7 ez. (6)
Будем полагать, что упругие свойства трехслойной трубы описываются моделью физически линейного материала. В случае микрополярной основы удельная потенциальная энергия деформации является квадратичной формой тензоров У - Е и Ь [16; 17]:
Ж(У, Ь) =1Аtr2(У - Е) + -1 п №(У - Е)2 +
+|(ц + кМ(У - Е) ■ (У - Е)т) +
+|с ltr2 Ь +1С2 МЬ ■ Ьт) +1сз trL2, (7) П + к>0, А + 2п + к>0
С2>0, Т1+Т2+Тз>0,
а в случае неполярных покрытий - квадратичной формой тензора и_ - Е или и+ - Е [15]:
Ж±(и±) = -2А±tr2(и± - Е) + и± - Е)2,
П±>0, А± + 2п±>0. (8)
Здесь А, п и А±, - константы Ляме пенистой основы и покрытий соответственно, к, с1, с2, с3 - микрополярные упругие константы пены, Е - единичный тензор.
Из выражений (3), (5), (7) следует, что для микрополярной основы тензор напряжений типа Пио-лы D определяется формулой
а ж(у, ь )
D =-■ Н = (А ^ +1 /-1)) е г 7е* +
дУ
+|а5 + х[Т -1 )|е{ 7еф + (А5 +1(а -1))ег 7е^,(9) /
5 =/ +---+ а-3, | = 2п + к,
г
а тензор моментных напряжений типа Пиолы
дЖ
G
дЬ
■ Н равен нулю при рассмотренной дефор-
мации трехслойной трубы.
Согласно соотношениям (6), (8), выражения тензоров напряжений Пиолы D- и D+ для неполярных покрытия имеют вид
D± = дЖ±(и±) ■ А± = (А±5± + 2ц±(/±'-1))ег7е* +
ди ±
+1 а± ^ ±+2п ± i —-1
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
+ (А± 5 ± + 2 п ±( а-1)) е г 7
5± = /± + —+ а - 3.
т
(10)
Предположим, что помимо описанного выше состояния равновесия трехслойной трубы при тех же внешних нагрузках существует бесконечно близкое равновесное состояние, определяемое радиусом-вектором Й и тензором микроповорота Й для микрополярной основы, Уравнения равновесия трехслойной трубы при
Й = Й + -у, Й = Н - -Й X
и радиусами-векторами Й - и Й + для неполярных покрытий,
Й ± = Й ± + -у ±.
отсутствии массовых сил и моментов записываются следующим образом [11; 15]:
- = 0,
divD = 0, + (С т ■ D)
divD + = 0,
т_ < т < с-, 0, с- < т < с+, (11) с + < т < т+,
Здесь п - малый параметр, у_, у и у+ - векторы добавочных перемещений, ~ - линейный век-где аГу - дивергенция в лагранжевых координатах. тор добавочного поворота, характеризующий ма-Символ "х" означает векторный инвариант тензора лый поворот частиц микрополярной среды, от-второго ранга. считываемый от начального деформированного
Решая уравнения (11) с учетом соотношений (9), состояния.
(10), находим вид неизвестных функций /_(т), /г) и /+(т):
F2
F ±
/(т) = Flт + /±(т) = F±т+ (12)
тт
Константы F-, F2, F1, F2, F+, F + определяются из граничных условий
■ D
± т = т±
-р±J± е т ■ С ±т, J± = det С ±
е т D
± I т = с±
е т ■ D |
/±(с ±) = /(с ±),
(13)
которые выражают действие гидростатического давления р_ и р+ (рассчитанного на единицу площади деформированной конфигурации) на внутренней
Возмущенное состояние равновесия рассмотренной трехслойной трубы описывается уравнениями [15; 16]
а™ D - = 0,
D• = 0, G• + [gradут ■ D + Ст ■ D •]х = 0, (14)
а™ D + = 0,
D • = -^(Й + -у, й - -Й X =0,
D 1
А.
dп
(Й± + -у±)| - =
п = 0?
(т = т ) и внешней (т = т+) поверхности трехслойной где D• и G• - линеаризованные тензоры напряжений трубы, соответственно, а также жесткое сцепление и моментных напряжений типа Пиолы для основы пенистой основы с внутренним (т (т = с+) покрытиями.
С учетом представлений (4), (9), (10), (12) усло
с_) и внешним трубы, а D- и D+ - линеаризованные тензоры напряжений Пиолы для покрытий. В случае физически линейного микрополярного материала (7) для пер-
вия (13) записываются в виде системы 6 линейных вых двух тензоров справедливы следующие соот-алгебраических уравнений
(2А +1)Fl - - 2(А± + п±)F± + = с ± с ±
= (а -3)(А±- А) - 2п± +1,
XI . М7±. аР ±-2 п ± ^ (2 А ± + 2 п± + ар±) F1 +---F ± =
= 2 п±- А±(а -3),
с ± Fl + — F2- с ± F ±-— F + = 0, с± с±
решая которую, находим неизвестные константы. В настоящей работе ввиду громоздкости не приводятся полученные общие представления для постоянных F-, F2, Fl, Fъ F+, F +.
ношения [18]:
D • = (А^гУ •)Е + (п + к)У • + пУ -т) ■ Й --(А^(У - Е)Е + п(Ут - Е) + +(п + к)(У - Е)) ■ Й X (15)
G- = (71^Ь-)Е + с2 Ь- + С3 Ь-т) ■ Й --(Т^г^Е + с2Ь + с3 Ьт) ■ Й X (16)
У- = ^гаау + С X~) ■ Нт, L• = grad~ ■ Йт.
Здесь У - линеаризованная мера деформации типа Коши, а Ь - линеаризованный тензор изгибных деформаций для микрополярной основы.
Представления линеаризованных тензоров напряжений Пиолы D- и D+ для физически линей-
ного непол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.