АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 4, с. 300-307
УДК 521.135
устойчивость по хиллу движения спутников планет
в ограниченной эллиптической задаче трех тел © 2015 г.
Л. Г. Лукьянов, В. С. Уральская
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
е-таП: ural@sai.msu.ru Поступила в редакцию 16.04.2014 г.
Существование интеграла Якоби в ограниченной круговой задаче трех тел позволило Хиллу построить поверхности нулевой скорости, с помощью которых устанавливается устойчивость движения по Хиллу. В ограниченной некруговой задаче трех тел построение поверхностей нулевой скорости невозможно, так как перестает существовать интеграл Якоби. Однако с помощью интегрального инвариантного соотношения, так называемого квазиинтеграла Якоби, содержащего одну неизвестную функцию, Лукьянов (2005) построил видоизменяющиеся со временем области возможности движения и ограничивающие их поверхности минимальной энергии. При нулевом значении эксцентриситета эти поверхности преобразуются в поверхности нулевой скорости для ограниченной круговой задачи трех тел. В рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел исследована устойчивость движения по Хиллу всех спутников планет и построены поверхности минимальной энергии, ограничивающие области возможности движения и определяющие устойчивость движения по Хиллу в эллиптической ограниченной задаче трех тел.
Ключевые слова: ограниченная задача трех тел, спутники планет, устойчивость движения. БО1: 10.7868/80320930X15040064
ВВЕДЕНИЕ
Поверхности нулевой относительной скорости в ограниченной круговой задаче трех тел, используя интеграл Якоби (Jacobi, 1836), впервые построил Hill (1878). В его честь эти поверхности называются также поверхностями Хилла, а устойчивость движения малого тела, устанавливаемая с помощью поверхностей Хилла, называется устойчивостью по Хиллу. Построение поверхностей нулевой скорости в ограниченной некруговой задаче трех тел невозможно, так как перестает существовать интеграл Якоби. Предпринимались попытки приближенного построения поверхностей нулевой скорости в эллиптической задаче (например, Ovenden, Roy, 1961). Было показано, что поверхности нулевой скорости для круговой задачи можно приближенно использовать в эллиптической задаче, но на малом интервале времени и для малых значений эксцентриситета.
В работе (Szebehely, Giacaglia, 1964) для плоской эллиптической задачи трех тел указана возможность приближенного построения кривых нулевой скорости на ничтожно малом интервале времени в окрестности прохождения основных тел через перицентры их орбит.
Хотя в ограниченной эллиптической задаче трех тел интеграла Якоби не существует, но изве-
стен квазиинтеграл Якоби — интегральное инвариантное соотношение. С помощью этого соотношения для эллиптической задачи Лукьянов (2005) получил закон сохранения энергии, содержащий одну неизвестную функцию, и впервые построил видоизменяющиеся со временем области возможности движений и ограничивающие их поверхности, так называемые поверхности минимальной энергии. При нулевом значении эксцентриситета эти поверхности преобразуются в поверхности нулевой скорости для ограниченной круговой задачи.
В настоящей работе исследуется устойчивость по Хиллу движения естественных спутников планет в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел. Проведено сравнение результатов исследования с аналогичными результатами в рамках круговой ограниченной задачи (Hagihara, 1961; Проскурин, 1950; Markellos, Roy, 1981) и эллиптической задачи трех тел (Mako, 2005; Szenkovitz, Mako, 2008; Donnison, 2011).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнения движения ограниченной некруговой задачи трех тел были получены благодаря усилиям авторов: Scheibner (1866), Petr, Nechvile (1918) и Рейн (1940).
Дифференциальные уравнения, описывающие движения малого тела М в поле основных тел М1 и М2 во вращающейся и пульсирующей системе координат Мхху1, имеют вид (Дубошин, 1964):
х "- 2у' =
дп
дх
у "+ 2х' =
дп
ду
дп
dz '
(1)
где
^ = Р |2 [(х - PV)
2,2 2 1 , + у - ez cos v I +
+ / + H 1 Г2
P =
1
1 + ecosv
, 2 , 2 , 2 = V х + у + z ,
r9 =
- p)
(2)
(3)
222 + у + z ,
Г12 =
.2 .2 .2
х + у + -г
2
-Q = h,
(5)
где
2W ■
2Q--> С,
1 + ecosv
2 2W ■ С = 2Q p - Vp - 2Wmn
(1 + e)
(6)
(7)
— постоянная Якоби, ¥р = (V) ^=0 и 0,р = ^=0 — соответственно скорость и функция Якоби, вычисленные в момент прохождения планеты через перицентр орбиты,
= 2 3 -Ц)
'' mm F 2 '
(8)
Границу этой области будем называть поверхностью минимальной энергии. Ее уравнение записывается в виде (Лукьянов, 2010):
(х - р—)2 + у2 - ez2 cos v + 2p311—— + — I -
1 r2 J (9)
'2 j
ц = т2/(т1 + т2), 1 - ц = т1/(т1 + т2) — относительные массы основных тел, р — фокальный параметр их относительной орбиты, е — эксцентриситет, р — безразмерное расстояние между основными телами, а ^ — функция Якоби. Штрих означает дифференцирование по истинной аномалии основных тел V, которая выбрана в качестве независимой переменной.
Относительное движение основных тел М1 и М2 предполагается кеплеровским:
р-= рр, r22v = с = Vfp(m1 + mj), (4)
1 + ecosv
где r12 — расстояние между основными телами, f— гравитационная постоянная, c — постоянная интеграла площадей.
При e = 0 уравнения (1) определяют движение малого тела в ограниченной круговой задаче, которая допускает существование интеграла Якоби
- р [3 - — (1 - —)] = С (1 + e cos v).
Левая часть этого уравнения отличается от левой части уравнения поверхности нулевой скорости только наличием слагаемого —ez2cosv.
При e = 0 поверхности минимальной энергии преобразуются в поверхности нулевой скорости. Для заданных значений C, p в круговой задаче существует единственная поверхность нулевой скорости, а в эллиптической задаче при тех же условиях существует целое семейство поверхностей минимальной энергии, зависящее от параметра v.
Из уравнения (9) можно заключить, что все семейство поверхностей минимальной энергии трех тел для всего диапазона изменения истинной аномалии —п < v < п при заданных значениях параметров p, e, | и C располагается между двух поверхностей, соответствующих значениям истинной аномалии 0 и п:
(х - рц)2 + у2 - ez2 + + 2р M + hV 2Wmln = С(1 + e), (10)
'1
2
где к — постоянная интегрирования.
В эллиптической ограниченной задаче трех тел существует квазиинтеграл, который определяет область возможности движения (Лукьянов, 2005).
ПОВЕРХНОСТИ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Область возможности движения имеет вид (Лукьянов, 2005):
(х - ^)2 + / + вг2 + 2/ М + ^1- ,1П
^ Г Г2) (11)
- 2Жт1п = С(1 - в).
Сечение поверхности (9) плоскостью г = 0 при любых значениях истинной аномалии полностью совпадает с таким же сечением поверхности нулевой скорости в круговой задаче. Отличаться сравниваемые поверхности будут только при г Ф 0. Но и при г Ф 0 в случае, когда V = ±я/2, отличие также не наблюдается.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Для построения поверхностей минимальной энергии требуется знание особых точек этих поверхностей. Алгебраические уравнения для определения особых точек семейства поверхностей те
же, что и для определения точек либрации в рассматриваемой задаче (Дубошин, 1964)
31-и 3 и, ч п х - ри - р —х - р -^(х - р) = 0, Г А
y\ 1 - p
31 -Ц
'2
л
3 Ц p -3
Г2
= 0,
(12)
-г
( 1 ^ , з1 -и 3 Ц e cosv + p —+ P з
r1 r2
= 0.
x(1 + e cos v) - pu + p4 = 0,
'2
, 31 -u 3 и
e cos v + p —+ p +3 = Г r*2
(13)
0,
допускает два симметричных решения L6(x6, 0, z6) и Ly(x6, 0, -Z6).
Из второго уравнения этой системы видно, что при cos v > 0 действительных решений не существует. Решения могут существовать только при cos v < 0. Так как z входит в уравнения (13) только под знаком квадрата, то эти решения располагаются симметрично относительно оси х. Такие решения определяют компланарные особые точки. При v = я/2 компланарными особыми точками будут бесконечно удаленные точки либрации L±OT = (0, 0, ± да), известные для круговой задачи. При e ^ 0 компланарные особые точки стремятся к этим бесконечно удаленным точкам либрации. Уравнения (13) имеют также очевидное треугольное решение r1 = r2 = 1 при cosv = —1 и e = 1. В остальных случаях координаты компланарных особых точек можно определить только численно. Результаты численного решения системы (13) приведены в работе Лукьянова (2005).
В особых точках происходит бифуркация поверхностей минимальной энергии. Кроме того, бифуркация этих поверхностей происходит при переходе через значение истинной аномалии v = = я/2, когда поверхности преобразуются из квазигиперболического типа в квазиэллиптический (или наоборот), проходя при v = я/2 форму квазицилиндра. Для очень больших значений постоянной Якоби C уравнения поверхностей мини-
мальной энергии можно представить в виде либо двух квазисфер вокруг каждого из основных тел
2 ps1—^ + = С(1 + e cos v), 1 3 Ц
2 p — + s2 = C(1 + e cos v), Г2
(14)
Однако число точек либрации и число особых точек различно. Прямолинейные L1, L2, L3 и треугольные L4, L5 точки либрации одновременно являются особыми точками поверхностей минимальной энергии. Но, кроме того, существуют еще две компланарные особые точки L6 и Ц-. Действительно, уравнения (12) удовлетворяются при х Ф 0, z Ф 0, y = 0 и v = const, и получаемая тогда из (12) система двух уравнений
либо однополостным квазигиперболоидом
2 2 2 II/
(х - ц) + у - ez +63 = С(1 + е), при V < я/2, (15) квазицилиндром
(х - ц)2 + у2 + 64 = С при V = П2, (16) или квазиэллипсоидом
(х - ц)2 + у2 + ez2 + б5 = С(1 - е) при > я/2, (17) где е1, ..., е5 — малые величины.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ХИЛЛУ
Движение тела малой массы будем называть устойчивым по Хиллу, если тело не выходит за пределы квазисферы вокруг одного из основных тел. Другими словами, тело малой массы в случае устойчивости по Хиллу при любых значениях истинной аномалии осуществляет движение спутникового типа вокруг одного из основных тел, оставаясь в любой момент времени в конечной области, ограниченной поверхностью типа квазисферы. Вне однополостного квазигиперболоида также н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.