Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007
РАС Б 02.30.0z, 47.20.Ку
© 2007 г. А.Д. МЫШКИС, д-р физ.-мат. наук (Московский государственный университет путей сообщения)
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ОБОБЩЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ1'2
Рассматривается устойчивость решения системы дифференциальных уравнений относительно добавления к правой части производной (понимаемой в обобщенном смысле) функции локально ограниченной вариации. Для различных классов таких уравнений получены простые признаки устойчивости и асимптотической устойчивости.
1. Введение
Одними из самых ранних статей, в которых изучались импульсные дифференциальные уравнения, были [1. 2]. Их авторы никогда не считали и не называли эти статьи первыми в данной области. Однако простота изложения, удачные обозначения. очевидная потенциальная возможность развития темы и другие субъективные причины привели к тому, что именно эти статьи многие сочли основополагающими и упоминали как таковые.
В [1] считалось, что изучаемый процесс определен системой уравнений
(1) х\г) = /(х(г),г), х(г0) = х0 (х,/ е М")
(штрихом обозначена производная) и скачками, т.е. разрывами 1-го рода Д^х ^ е М) у решения, для которых заданы только их моменты где ^ <1\ < ... ^
^ го, и оценки сверху величины скачков Д^х. Такой подход, естественный для реальной задачи, приведшей авторов к импульсным системам, был в дальнейшем заменен: вместо оценок скачков считались заданными зависимости х(£+) = дДх(£-)). И сейчас, как правило, так считается. На этом пути появились книги и десятки, если не сотни, статей, посвященных теории и приложениям импульсных дифференциальных уравнений. Среди них были и работы, в которых изучалась устойчивость решений таких уравнений (см., например, [3]). Однако, насколько известно, изучалась только устойчивость по Ляпунову, тогда как исследование устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях не проводилось. Возможно, это связано с тем, что такая устойчивость проявляется только после осреднения возмущения правой части дифференциального уравнения.
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00356).
" Статья посвящается памяти Исаака Яковлевича Каца.
В настоящей заметке хочется вернуться к подходу, примененному в [1]. Прежде всего дифференциальное уравнение (1) с учетом импульсов можно записать в виде
где 6 - дельта-функция Дирака. Проведя естественное обобщение, заменим второе слагаемое в правой части уравнения (2) на д'(Ь), где д : [0, те) ^ М" - заданная непрерывная слева функция локально (т.е. на каждом конечном интервале) ограниченной вариации; функция д' будет принята за возмущение уравнения (1). В опубликованной литературе встречались существенно более сильные обобщения см.. например. [3. 4] и др.: однако такие обобщения связаны с существенным усложнением рассмотрений. Обобщение, примененное в настоящей статье, сохраняя простоту и наглядность, свойственные "классическим" импульсным дифференциальным уравнениям. позволяет охватить некоторые "некласснческне" случаи например, случай, когда на интервалах времени фиксированной продолжительности ограничивается не число толчков, а их суммарный импульс.
Кроме того, изложение будет более упорядочено: так. в [1] изучаются различные вопросы устойчивости системы (1) с толчками, но отсутствует общее определение устойчивости и т.п.
От читателя будет требоваться знакомство с простейшими свойствами функций локально ограниченной вариации, включая теорему Лебега о разложении такой функции на сумму непрерывного слагаемого и функции скачков (см.. например. [5]. гл. VI, §4). При этом функция скачков это сумма локально равномерно сходяще-
гося ряда ^ вз— ^з), где все вз € М", > 0 различны, а $( •) - единичная 3=1
функция Хевисайда ($(Ь) = ^и —те < Ь ^ 0 = 1 при 0 < Ь < те). Отметим, что наглядное содержание статьи существенно упрощается, если считать непрерывную компоненту р в разложении функции д локально абсолютно непрерывной, так как тогда можно пользоваться формулой
в которой р' - обычная производная функции р, существующая почти всюду.
эту задачу назовем возмущенной по отношению к невозмущенной системе (3)о := (1) (:= здесь и далее означает: равно по определению; (• )0 означает, что д(Ь) = 0). Здесь х, /> д принимают значения в М", Ьо ^ Ь < те, функция / удовлетворяет условиям Каратеодори, функции д и х имеют локально ограниченную вариацию и непрерывны слева, причем первое из равенств (3) понимается в смысле теории обобщенных функций. Эти условия обеспечивают разрешимость задачи (3) в некотором интервале [Ьо, Ьо + М; единственность решения не предполагается. Нетрудно переписать задачу (3) так, чтобы равенство в основном уравнении понималось в обычном смысле. Для этого достаточно первое из равенств (3) проинтегрировать от Ь0 до любого
(2) х'(Ь) = /(х(Ь), Ь) + ^(Дх)<*(Ь — и),
г=1
2. Общие определения
£ ^ ¿0 в предположении, что на этом интервале решение задачи (3) существует; получим уравнение
г
(4) х(£) = хо + У !(х(т), т)йт + д(£) - ^(¿о),
го
равносильное при £ > ¿0 задаче (3). Обозначим через Л. функцию скачков (т.е. разрывное слагаемое в разложении Лебега) функции д; функция Н определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поэтому для определенности будем считать, что Н(£0) = х0. Положив у := х — На := д — Ни заметив, что второе слагаемое в правой части формулы (4) непрерывно зависит от I, получаем уравнение
у
г
(5) у(£) = У f (у(т) + Н(т), т)Лт + а(£) — а(^).
го
Нетрудно совершить и обратный переход от уравнения (5) к (3), т.е. эти два уравнения равносильные. Однако, в отлично от (3) в уравнении (5) все слагаемые непрорывные функции, а значит, равенство (5) понимается в "элементарном" смысле. В приведенных выше предположениях уравнение (5), а потому и (3), имеет по крайней мере одно решение на некотором интервале [¿0,Т) (¿0 < Т ^ го), а при широко известных добавочных предположениях о зависимости функции f от ее первого аргумента — это решение единственно и Т = го, как будем предполагать впредь, если но оговорено противное.
Перейдем к постановке вопроса об устойчивости решения задачи (3)0. Прежде всего, он стандартным образом сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения х0(£) = 0, т.е. к случаю /(0,¿) = 0 х0 = 0. Будем впредь считать, что это сведение уже осуществлено, причем и ¿0 =0. Кроме того, отметим, что в уравнении (3) внешним воздействием является функция д'(£), т.е. речь идет об устойчивости при постоянно действующем внешнем воздействии.
Назовем нулевое решение уравнения (1) устойчивым при обобщенном импульсном внешнем воздействии, если для любого е > 0 существует такое 3 > 0, что если
к
(6) J |д'(¿)|^<3 Ук е N к-1
то |х(£)| < е е [0, го); если это свойство не имеет места, назовем нулевое решение уравнения (1) неустойчивым, при обобщенном импульсном внешнем воздействии. В (6) модуль вектора понимается как сумма модулей его координатных проекций; функция, стоящая под знаком модуля, понимается как обобщенная, а вся левая часть представляет собой полную вариацию функции д на интервале [к — 1,к]. (Координатные проекции функции д'(£) можно получить как разность обобщенных производных положительной и отрицательной вариаций каждой из п координатных д
когда начальное условие задается при каком-либо значении ¿0 ^ 0. Если при этом 3 те зависит от ¿0, то нулевое решение уравнения (1) назовем равномерно устойчивым при обобщенном импульсном внешнем, воздействии. Назовем нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчивым при обобщенном импульсном внешнем, воздействии, если оно устойчиво в указанном выше смысле, и из достаточной
малости вариации функции д та каждом интервале [к — 1,к] (к € М) и конечности ее вариации на интервале [0, те) следует, что х(4) ^ ^и 4 ^ те. В дальнейшем слова "при обобщенном импульсном внешнем воздействии" будем опускать.
3. Линейные автономные уравнения
Рассмотрим задачу Коши
(7) х'(4) = Ах(г) + д'(г), х(0) = 0,
где х и д удовлетворяют предположениям раздела 2, а А - квадратная матрица порядка п с вещественными постоянными коэффициентами. Производные здесь являются, вообще говоря, обобщенными функциями.
А
тельную вещественную часть, то решение задачи (7) равномерно и асимптотически устойчиво. Если сформулированное условие нарушено, то это решение неустойчиво.
Доказательства теорем 1, 2, 3 приведены в Приложении.
4. Линейные скалярные неавтономные уравнения
Рассмотрим задачу Коши
(8) х'(4) = а(г)х(г)+ д'(г)(0 < г< те), х(0) = 0,
в которой участвующие функции принимают скалярные значения, функция а - ло-
хд
деле 2. Нетрудно проверить, что задача (8) имеет одно и только одно решение
t t (9) x(t) = J exp У a($) dd
д'(т) dr.
t
Введем непрерывную положительную функцию t ^ b(t) := exp f a($)d$.
0
Теорема 2. Пусть
/ M _ _
(10) sup b(t) У^ max b 1(t)+ sup b 1(t ) < те.
te[0,TO) \k=iT e[fc-1,fc] т e([t],t] '
Тогда нулевое решение задачи (8) устойчиво. Если же
( [t]
(И) sup C(t) = те I C(t) := b(t) V max Ь-1(т)| ,
te[0,TO) \ т e[fc-1,fc] 1
то это решение неустойчиво.
T
Отмстим, что между условиями (10) и (11) имеется некоторый зазор, который было бы интересно устранить.
Рассмотрим некоторые специальные случаи задачи (8). t
1. Пусть liminf f а(т) dr > —го. Тогда нулевое решение задачи (10) неустойчиво.
t—о
В самом деле, если взять g'(t) = J, то из (9) получаем, что x(t) ^ го щи t ^ го. Этот признак относится, в частности, к случаю, когда функция а неотрицательна, хотя бы для всех достаточно больших значений аргумента.
2. Пусть a(t) ^ 0 (0 ^ t < го). Тогда условие (10), достаточное для устойчивости нулевого решения задачи (8), приобретает вид
[t]
(12) sup b(t)^ b-1(k) < го.
te[0,TO) fc=1
Нетрудно проверить, что эта устойчивость является равномерной. Если же условие (12) нарушено, то из (11) следует, что рассматриваемое решение неустойчиво. С другой стороны, взяв g'(t) = const, получаем, что если
(13) sup / I exp I a($) | dr = го,
Q
то нулевое решение задачи (8) неустойчиво. (Последнее утверждение справедливо при любом, не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.