Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2007
PACS 02.30.Yy
© 2007 г. A.B. МЕДВЕДЕВ, (Упсальский университет, Швеция), В.М. СОКОЛОВ, канд. физ.-мат. наук, А.И. ШЕПЕЛЯВЫЙ, канд. физ.-мат. наук (Санкт-Петербургский государственный университет)
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОШИБКИ НАБЛЮДЕНИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ КОНВЕРТЕРНОЙ ПЛАВКОЙ СТАЛИ1
Рассматривается нелинейный наблюдатель, содержащий функцию чувствительности в обратной связи и хорошо зарекомендовавший себя в задаче оценки содержания углерода и кремния в расплаве металла при конвертерной плавке па основе нелинейной модели с постоянными во времени параметрами. В случае управления температурой расплава посредством охлаждающих добавок параметры объекта изменяются во времени и это требует дополнительных исследований. Доказывается устойчивость пулевого решения системы уравнений для ошибки оценивания при постоянно действующих возмущениях, когда матрица лилейной части зависит от времени.
1. Введение
В настоящее время более 60% всей стали в мире получают, используя сталеплавильные конвертеры с кислородным дутьем. Целыо подачи кислорода является выжигание углерода, кремния и других составляющих для получения их заданных значений, определяющих качество стали.
В [1] дано в общем виде доказательство устойчивости решений уравнений для ошибки оценивания при использовании специального нелинейного наблюдателя. Там же дано теоретическое сравнение многих нелинейных наблюдателей с рассматриваемым. Этот наблюдатель хорошо зарекомендовал себя на практике при управлении процессом конвертерной плавки без учета температуры, когда объект описывается системой с постоянными параметрами линейной части. Рассматриваемый наблюдатель содержит функцию чувствительности нелинейности ф(х) относительно состояния, а именно, дф(х)/дх. В [1] показана необходимость введения этой функции в наблюдатель. Основной причиной такого решения является изменение наблюдаемости переменных состояния рассматриваемого процесса. Например, концентрация углерода в расплаве практически не наблюдаема в начале плавки, когда окисляется в первую очередь кремний. Наличие функции чувствительности в обратной связи наблюдателя дает возможность избежать коррекции оценок слабо наблюдаемых в данный момент переменных состояния исходя из зашумленных измерений выхода объекта.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта НШ-2257.2003.1 Совета но грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, а также частично финансировалась Королевской Академией Наук Швеции.
В [2] рассматривался процесс управления охлаждающими добавками, когда объект уже описывается системой, линейная часть которой зависит от времени. При этом в экспериментах, давших хорошие результаты, использовался наблюдатель из [1].
В данной работе показано, что этот наблюдатель может использоваться для нестационарного объекта. Доказывается устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений для вектора ошибки наблюдения при постоянно действующих возмущениях, которыми являются бесконечно малые величины от отношения теплоемкости всех охлаждающих добавок к теплоемкости содержимого ванны конвертера до внесения добавок.
2. Математическая модель
Рассматривается математическая модель dpsi
dt
= -ksiPsi - qsiф(p, т),
(!) -dpC = -hopa - qcФ(р, T),
ddT = [-hTт + qTф(р,т) - ü(T,u)]/Cb (t).
В системе (1) pSi и pc - концентрации кремния и углерода, p = [pSi,pc]% T - температура, hSi, hc, hT, qSi, qc, qT - положительные постоянные. Функция ф(^,Т) определяет скорость реакции и задается выражением ф(p, T) = h(p)^(T), где h(p) = = v1v2¡(v1 + V2), vi = 2(fo2 - h°SipSi), V2 = h°cpc, h°Si > 0 и h°c > 0 - постоянные, fo2 ~ расход кислорода на дутье, qT - тепловой эффект реакции, /л(Т) = = exp{- E/RT}, E > 0 - эффективная энергия активации, a R > 0 - универсальная газовая постоянная. Влияние охлаждающих добавок определяется величиной N
Q,(T,u) = J2[ci(T - T0}i) + Х^щ, где ci - удельные теплоемкости охлаждающих i=i
добавок, T0¡i - начальные температуры добавок, Xi - удельная теплота плавления i-й добавки, и = {ui}N=1 - поток охлаждающих добавок (управляющее воздействие). Теплоемкость ванны конвертера вместе с добавками определяется величиной Св(t) = CB(0) + CA(t), где Св(0) = c0m0 - теплоемкость ванны конвертера до вне-
N
сенпя добавок, CA(t) = Y1 cimi(t) - теплоемкость всех подаваемых добавок вместе
i=i
t
взятых к моменту времени t, a mi(t) = J uí(t)dr - массы добавок, поданных к этому
о
моменту.
Предполагается, что измеряется только выход объекта y = ф(p, T). Будем в дальнейшем уравнения (1) записывать в матричном виде
dx
(2) dt = A(t)x + qФ(x)+bU, y = ф(х).
Здесь х = col [p*,T], знак * означает операцию транспонирования,
A(t) = diag(-hSi, -hc, -kT), к = [hT + аЩ/Св(t), a(t) = ^N=lciиi(t), q =[qSi,qc ,qт]*, ф(х) = ф(P,T), b = [0,0,1]*, U = ^N=i[(ciToi - \)щ]/Св (t).
3. Постановка задачи
Для оценивания вектора состояния объекта (2), в котором функция ф(х) ограничена вместе с производной в области своего задания, а диагональная матрица А(Ь) имеет отрицательные элементы, в [2] использовался наблюдатель из [1], работоспособность которого доказана там только для объектов с постоянными параметрами в линейной части. Тем не менее результаты имитационных экспериментов, приведенные в [2] по управлению объектом (2) с применением наблюдателя из [1], показали, что он может использоваться и в более общем случае переменных во времени параметров матрицы А(¿). В дадьнейшем на параметры матрицы А(Ь) будут наложены естественные ограничения, связанные с малостью охлаждающих добавок по сравнению с содержимым ванны конвертера до внесения добавок.
Для объекта (2) этот наблюдатель имеет вид
(3) ^ = А(1)х + дф(х)+Ьи + кЦХг(У — У), У = Ф(Х), где матрица К = К * > 0 удовлетворяет уравнению Ляпунова
А* К-1 + К-1А = —Б,
где Б ^ 1р > 0 - заданная матрица, а I - единичная матрица. Матричное неравенство понимается в смысле квадратичных форм.
Уравнение для ошибки оценивания X = х — х будет таким:
(4) ^ = А()х — Кдфх±(у — у).
Далее матрица А(1) будет приближенно заменена суммой постоянной матрицы и матрицы, содержащей нестационарные малые возмущения. Цель дальнейшего исследования является получение условий устойчивости решений системы (4) при постоянно действующих возмущениях, когда малому отклонению в начальных условиях и малому во все моменты времени возмущению отвечает малое значение решения уравнения (4).
4. Основное утверждение
ф( х)
изводной в достаточно малой области ||х|| < (, т.е. в этой области справедливы неравенства \ф(х)\ < Сф и Цдф(х)/дхЦ < сф с некоторыми постоянными числами Сф и Сф. Пусть также выполнено неравенство
(5) Ад > 2Лн(2сфсфЦК|| + ц),
где Ад и Лн - наименьшее и наибольшее собственные числа матриц Q = Q* > 0 и Н = Н * > 0 соответственно, связанных уравнени ем Ляпунова АН + НА = —Q, А = diag[— кзг, —кс, —кТ/Св(0)], иц = Св(0)-1 вирСА(Ъ) > 0 - достаточно малое
число.
хх = х- хх
при постоянно действующих возмущениях о(ц)х, бесконечно малых по отношению к величине ц.
Замечание 1. Предположение о малости числа п является естественным и означает, что теплоемкость всех вместе взятых добавок достаточно мала по сравнению с первоначальной теплоемкостью содержимого ванны конвертера.
Замечание 2. Так как ф(0) = 0, то неравенство (5) всегда будет выполнено при достаточно малом вф, что соответствует достаточно мал ому числу С
Доказательство теоремы приводится в Приложении.
5. Результаты имитационных экспериментов
Проводились имитационные эксперименты на компьютере по моделированию управления конвертером с использованием рассмотренного нелинейного наблюдателя. Значения параметров объекта в отклонениях от стационарных значений и модели: к« = ко = кт = 1, к°31 = к°с = = [-1, -1,Е = 1, Я = 2; /с2 = 2 Я = -2А; К-1 = diag[2, 2, 2]; х(0) = [4, 5,10]; х(0) = [8,10,15]. Были взяты две добавки с параметрами: То,1 = 0,01 Т0,2 = 0,02; в1 = 0,1 в2 = 0,2; Х1 = 1; Л2 = 2. Параметры содержимого конвертера: в0 = 1 т0 = 5. Объект и наблюдатель интегрировались на промежутке длины 7 с шагом 0.01. Результаты вычислений приведены на рисунке. Здесь верхние три окна три компоненты состояния (непрерывная кривая объект, штрих-пунктир наблюдатель), нижнее окно выходы объекта и наблюдателя.
10 0 -10
10 5
^ 10
0 10
^ 5
1111111
01 2 3 4 5 6 7
\ ■с ч Ч/ч,
1 2 3 4 5 6 7
--- -------
1111111
1 2 3 4 5 6 7
_ч Ч.' N ^ .. 1 | | | | |
3 4 г
Компоненты состояния и выход объекта управления.
5
6
7
6. Заключение
Рассмотрен нелинейный наблюдатель с функцией чувствительности. В отличие от [1]. где этот наблюдатель изучен в общем виде для объекта с постоянной матрицей линейной части, в данной статье он используется для объекта с переменной матрицей, а именно для конкретной математической модели конвертерной плавки с учетом ее особенностей. Доказана теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях нулевого решения уравнения для ошибки оценивания состояния.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим третий элемент, кт(£), диагональной матрицы А(1). Представим его в виде кт(^ = [кт + а(1)]/Св Разлагая кт(1) в ряд то степеням СА/Сд, ограничиваясь линейными членами в предположении малости величины ц, для величины кт ^) получим
~ кт + a(t)
кт (t) = -tbw
CaW, {CA(t)\ . Cb (0) + \CB (0)J\
кт + a(t) [кт + a(t)]CA(t) ( СаЩ Cb (0) + Cb (0) C% (0) + %Cb (0) ) -
Здесь величина o(CA(t)/CB (0)) является бесконечно малой по отношению к величине CA(t)/CB(0). Объединяя третье слагаемое с последним, получаем
к (t) кт + a(t) + ( CA(t) \
кт (t) = CBM + Cm + o{cÂ0))
При выводе этого соотношения учитывалось, что Cb (t) = Cb (0) + Ca(î) и 0 ^ a(t) ^
< CA(t).
В линейной части уравнения (4) остается постоянная матрица A = diag [-ksi, -ко, -кт/Cb(0)], и уравнение (4) примет вид
dx r-т т , т^дф(х) . „
_ = [A - Ja + o(a)]x - К^Т(у - у)-Здесь J = diag[0, 0,1], a(t) = a(t)/B(0). Откуда (П.1) d-X = (A - Ja)x - Кд-фХ1(у - y) + r(X),
где r(X) = o(a)X — постоянно действующие возмущения и r(X) ^ ^и X ^ 0. Рассмотрим всп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.