МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.3:534.2
© 2014 г. С. М. АФОНИН
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЕЙ
ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НАНО- И МИКРОПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Получены передаточные функции многослойных пьезопреобразователей нано- и микроперемещений при продольном и поперечном пьезоэффекте. Определены условия абсолютной устойчивости систем управления деформацией многослойных пьезопреобразователей нано- и микроперемещений. Для обеспечения устойчивости систем управления деформацией многослойных пьезопреобразователей выбраны корректирующие устройства.
Ключевые слова: многослойный пьезопреобразователь нано- и микроперемещений, система управления деформацией, условия абсолютной устойчивости, корректирующие устройства.
1. Введение. Постановка задачи. Использование пьезопреобразователей (пьезоак-тюаторов, пьезодвигателей) нано- и микроперемещений перспективно в оборудовании нанотехнологии, нанобиологии, микроэлектроники, фотоники и астрономии для прецизионного совмещения, компенсации температурных и гравитационных деформаций. Одним из наиболее перспективных пьезопреобразователей нано- и микроперемещений является многослойный (составной) пьезопреобразователь, обеспечивающий нанометрическую точность в диапазоне десятков микрометров и полосу пропускания порядка сотни герц [1—6].
В системе управления нано- и микрометрической деформацией многослойного пьезопреобразователя предъявляются требования к отсутствию автоколебаний и к устойчивости системы, поскольку рабочий режим прецизионной электромеханической системы нано- и микроперемещений без обеспечения устойчивости системы управления деформацией может оказаться вообще нереализуемым. Передаточные функции пьезопреобразователей [3—5] позволяют рассчитать с учетом нагрузки и корректирующих обратных связей динамические характеристики многослойного пьезопреобразователя в системе управления. Актуальными в настоящее время являются проблемы обеспечения устойчивости и качества систем управления деформацией многослойного пьезопреобразователя нано- и микроперемещений.
При практическом использовании многослойных пьезопреобразователей нано- и микроперемещений из малогистерезисной отечественной пьезокерамики ЦТС на основе цирконата и титаната свинца или японской пьезокерамики типа Р-5Е, Р-7 фирмы МиИАТА с гистерезисом деформации менее 5% [1, 2] при расчете систем управления деформацией многослойными пьезопреобразователями применяем критерий устойчивости Найквиста при построении астатических систем управления пьезопри-водами нано- и микроперемещений. Он позволяет с использованием логарифмических амплитудно-частотных характеристик получить логарифмические амплитудно-частотные характеристики скорректированной системы управления пьезопреобразо-вателем. При использовании многослойных пьезопреобразователей из пьезокерамики ЦТС или Р/Т с гистерезисом деформации, превышающим 5% (порядка 10—30%), применяем критерий абсолютной устойчивости Якубовича для определения логариф-
мических амплитудно-частотных характеристик скорректированной системы управления деформацией многослойного пьезопреобразователя [7—14].
2. Передаточные функции многослойного пьезопреобразователя. Основным параметром внешней нагрузки пьезопреобразователя является жесткость нагрузки, т. е. отношение величины силы упругой реакции нагрузки к величине деформации нагрузки. В зависимости от жесткости нагрузки выбираются конструктивные параметры пьезопреобразователя. Пьезопреобразователь для нано- и микроперемещений собирается следующим образом: предварительно сжатый для выбора зазоров составной пьезопреобразователь стягивается также предварительно деформированным упругим элементом в виде шпильки, пружины или мембраны. Пьезопреобразователь может выполняться многослойным с использованием тонкопленочной или толстопленочной технологий.
После армирования при внешней упругой нагрузке перемещение многослойного пьезопреобразователя уменьшается [5, 6], что видно из следующего уравнения обратного пьезоэффекта
где S3 = l — относительная деформация многослойного пьезопреобразователя при продольном пьезоэффекте по оси 3; направление оси поляризации P является направлением оси 3; взаимно перпендикулярные оси 1 и 2 перпендикулярны оси 3; — деформация; l = n5 — длина многослойного пьезопреобразователя; n — число пьезосло-ев; 8 — толщина пьезослоя или пьезопластины; d33 — пьезомодуль при продольном пьезоэффекте; E3 = U/ 8 — напряженность электрического поля в пьезопреобразовате-
ле; U — напряжение на электродах пьезопреобразователя; sf3 = 1/ Eu — упругая податливость пьезопреобразователя при E = const при управлении от источника напряжения; Eu — модуль Юнга пьезопреобразователя при E = const; T3 = - F/S0 — механическое напряжение в пьезопреобразователе; F = F0 + CaЕ + Q Е — внешняя сила; F0 = aaS0 — сила первоначального поджатия упругим элементом; aa — механическое напряжение первоначального армирования; S0 — площадь пьезопреобразователя; Ca — жесткость армирующего элемента; Cl — жесткость нагрузки; Ce = Ca + Cl — приведенная жесткость упругого элемента. Отсюда имеем
эффекте; кС}} = 1 + Се/С33 — коэффициент жесткости нагрузки пьезопреобразователя при продольном пьезоэффекте.
Так как механическое напряжение первоначального армирования для каждого образца пьезопреобразователя имеет определенную постоянную величину, то перемещение пьезопреобразователя в зависимости от первоначального армирования получает постоянное смещение, не зависящее от подаваемого на пьезопреобразователь электрического напряжения. Следовательно, амплитуда перемещения армированного многослойного пьезопреобразователя при внешней упругой нагрузке уменьшается и записывается в одном из двух видов:
S3 — d33E3 + S33T3
(2.1)
d33nU -^allEu = l(d33E3 - Va!Eu) = l(d33E3 - ^alEu) 1 + (Ca + Q )/ C33 1 + CjC 33 кСъъ
33
33
(2.2)
Ml =
d33nUm _ ld33E3m _ ld33E3m
(2.3)
1 + (Ca + C, VC33 1 + CJC33 кСг
4* 99
д/ =-Д1м-= ДЪт (2.4)
1 + Се/Сзз ксъъ
где А/т = й33пит — амплитуда перемещения многослойного пьезопреобразователя до армирования; ^ — амплитуда напряжения на электродах пьезопреобразователя; E3m = Um/Ъ — амплитуда напряженности электрического поля в пьезопреобразователе.
Для многослойного пьезопреобразователя из пьезокерамики ЦТС различного конструктивного исполнения основные величины имеют следующие значения:
d33 = 4 ■ 10-10-6 ■ 10-10 м/В, Е3т = 5 • 105-6 • 105 В/м, Еи = 1.0 • 1010-2.5 • 1010 Н/м2.
Динамические характеристики пьезопреобразователя рассчитываются на основе совместного решения волнового уравнения, уравнения пьезоэффекта при нулевых начальных и соответствующих граничных условиях. В ряде случаев применения пье-зопреобразователя имеем упругоинерционную нагрузку в виде упругого элемента (пружины, мембраны) и приведенной инерционной массы элемента нагрузки (координатного стола, сканирующего элемента), соответственно, параметры нагрузки Ce — приведенная жесткость упругого элемента; Mi — приведенная масса нагрузки к торцу многослойного пьезопреобразователя при x = ^ где x — ось перемещения нагрузки для пьезопреобразователей. При продольном пьезоэффекте направление этой оси совпадает с направлением оси 3, поперечном — с направлением оси 1. Например, для одного закрепленного торца пьезопреобразователя при x = 0 получаем ^(0, 0 = 0 и упругоинерци-онной нагрузке на многослойный пьезопреобразователь при x = l имеем Ъ(1, 0 = С учетом граничных условий уравнение сил на втором торце пьезопреобразователя имеет вид
т So\хЧ = -м, - ст (2.5)
дг
где Mi — масса нагрузки. Запишем преобразование Лапласа
да
Е(х, р) = Ь {х, г} = | £(х, г)е ~р'йг (2.6)
0
где p — параметр преобразования.
Из уравнения обратного пьезоэффекта (2.1) с учетом действующих сил на торец многослойного пьезопреобразователя [3, 5] получаем
йЕ(х, р)
йх
Е лг 2— ч Е.
= й33Е3(р) - -зМр Е(Р) - (2.7)
х=/ ^ ^
где Е(р), Е(х, р) — преобразования Лапласа перемещения торца и перемещения сечения многослойного пьезопреобразователя при нулевых начальных условиях; Е3(р) — преобразования Лапласа напряженности электрического поля по оси 3 при нулевых начальных условиях.
Если один торец многослойного пьезопреобразователя жестко закреплен при x = 0, то с учетом уравнения (2.7) имеем
р) = 5(р)8Ь (ху) й5(х, р)
(/у) йх
Е(р)у р
х=/ Ш (/у)' ' сЕ
Получим выражение для структурно-параметрической модели многослойного пье-зопреобразователя, армированного упругим элементом и закрепленного одним тор-цем, при продольном пьезоэффекте и упругоинерционной нагрузке
5(р)у+5( р^р1 =
Ш (/ у) 5с 5с 3 3 3 ' '
Выражению (2.8) соответствует передаточная функция многослойного пьезопреоб-разователя в виде
щр) = Е(р) =_^33__(2 9)
Ез(р) з^Р75с + У/Л (/у) + 4 СеД,
С учетом обозначения С33 = 5с/(зЕ3/) = т(сЕ )2 //2 жесткости многослойного пьезо-преобразователя при продольном пьезоэффекте, где m — масса пьезопреобразователя, имеем передаточную функцию пьезопреобразователя, закрепленного одним торцом, при продольном пьезоэффекте и упругоинерционной нагрузке как электромеханической системы с распределенными параметрами в виде
щр) = ^ =---(2.10)
ис(р) (ЯпСср + 1) [М1р2/С33 + /уоШ (/у) + С^С33]
где ис(р) — преобразование Лапласа напряжения источника питания; R — сопротивление согласующих цепей; C0 — емкость пьезопластины в многослойном пьезопреобра-зователе.
Используя аппроксимацию гиперболического котангенса двумя членами степенного ряда, получаем следующее выражение для передаточной функции многослойного пьезопреобразователя при продольном пьезоэффекте для упругоинерционной нагрузки при m ^ Mi , где m, Mi — массы пьезопреобразователя и нагрузки, в диапазоне частот ю при 0 < ю < 0.01cE/l в виде
т„ , ч Н(р) й33п ^(р) = ^^ = ^^-——
и с(р) (ЯпСс Р + 1) ^та Р + 2733^33 р +1)
5, Т = ,
~Т~' 7 33 = А~-—> 433 =—Е ,
4/ \Се + С33 3с^М1 (Се + С33)
(2.11)
где Т33, Е,33 — постоянная времени и коэффициент затухания многослойного пьезопреобразователя при продольном пьезоэффекте и инерционной нагрузке.
Аналогично для многослойного пьезопреобразователя, закрепленного одним торцом, при поперечном пьезоэффекте и упругоинерционной нагр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.