М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015
УДК 532.5:533.9
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ СРЕДЫ МЕЖДУ СПЛОШНЫМИ ПЛОСКИМИ ЭЛЕКТРОДАМИ, НАКЛОНЕННЫМИ К ГОРИЗОНТУ
© 2015 г. А. П. ГЛИНОВ
МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва
e-mail: krestytroitsk@mail.ru
Поступила в редакцию 16.12.2014 г.
Сформулирована математическая постановка задачи анализа устойчивости течений электропроводной сплошной среды, обусловленных джоулевым тепловыделением в наклонном плоском слое при наличии силы тяжести. Найдено одномерное стационарное фоновое решение. Построены и исследованы вольт-амперные характеристики (ВАХ). В электротехническом приближении проведен анализ устойчивости к одномерным возмущениям. Показано, что при определенных условиях существуют 5-образные зависимости плотности тока от напряжения, когда при заданном напряжении возможно три решения с разными плотностями тока. Решение со средней плотностью тока, соответствующее участку ВАХ с отрицательным дифференциальным сопротивлением, неустойчиво. Предложена модель анализа двумерных возмущений на основе уравнений Обербека—Буссинеска и тепловой модели разряда.
Ключевые слова: электрическая дуга, вязкая жидкость, приэлектродные падения потенциала, вольт-амперная характеристика, устойчивость, конвекция, тепловое сопротивление.
Тепловая модель контракции тока, как следствие развития неустойчивости (например, перегревной) электродугового разряда [1, 2], достаточно широко изучена [3—6]. Однако в реальных разрядах (при наличии гравитационного поля) могут возникать конвективные течения межэлектродной среды, как следствие развития конвекции из-за наличия объемного источника тепловыделения [7, 8], в частности, в виде джоуле-вой диссипации. В случае идеальных (изотермических и эквипотенциальных) электродов и без учета приэлектродных потерь электрического потенциала на аноде и катоде (U a = Uc = 0) перегревно-конвективная неустойчивость разряда изучалась в [9]. Однако в реальных электродах, обладающих тепловым и электрическим сопротивлением [10], картина развития неустойчивостей может отличаться от картины, полученной в [9], и прежде всего возможным взаимодействием перегревной и конвективной мод неустойчивости и изменением границ устойчивости (нейтральных кривых). Принципиальное отличие решаемой задачи от задач [7—9] — произвольный угол наклона а электродных пластин и зависимость объемного источника тепла от температуры T. Важность учета наклона электродов по отношению к направлению силы тяжести показана ранее в экспериментальной работе [11]. В ней на частных примерах изначально вертикально и горизонтально направленного ствола разряда продемонстрировано, что его форма и ее динамика существенно зависят от пространственной ориентации электродов.
В результате проведенного в настоящей статье анализа получены и исследованы аналитические решения стационарной фоновой задачи для частного случая, когда удельное электрическое сопротивление — линейно убывающая функция температуры.
Г
U
V"
Фиг. 1. Схема конвективного течения и разрядной системы
Это позволило существенно упростить нахождение и анализ вольт-амперных характеристик, а также исследование устойчивости по отношению к малым одномерным возмущениям.
Актуальность рассмотрения задач о развитии конвекции электропроводных сред в замкнутых каналах может быть связана, например, с оптимизацией технологических процессов в химических реакторах [7, 8]. Учет пространственной ориентации каналов особенно важен при анализе компактности плазменного поршня в электродинамических ускорителях макротел с электродуговым якорем [12, 13].
1. Постановка задачи. Физико-механическая модель. Рассматривается протекание электрического тока I между параллельными плоскими электродами (катодом "—" и анодом "+"), к которым приложена разность потенциалов U (фиг. 1). Межэлектродный зазор заполнен электропроводящей жидкой или газообразной сплошной средой. Электроды твердотельные сплошные, непроницаемые для межэлектродной и окружающей среды. На границах между электродами и проводящей средой учитываются приэлектродные падения электрического потенциала: Ua и Uc. Рассматривается двухмерная нестационарная задача в декартовой системе координат, в которой ось x направлена перпендикулярно к аноду, а z — параллельно плоскостям поверхностей электродов. Единичный вектор у направлен вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения g. Электропроводный слой наклонен по отношению к вертикали под углом а.
Предполагается, что на внешних поверхностях электродов осуществляется распределенный подвод-съем тока, например, за счет их специального секционирования. Это обеспечивает в межэлектродном зазоре изначально однородное распределение
тока jx = -jo = const.
На внешних поверхностях электродов, имеющих толщины ha (анод) и hc (катод), поддерживаются постоянные температуры T = Tw = const. Межэлектродное расстояние — 2h. Протекание электрического тока вызывает нагрев межэлектродной среды, что отражено на фиг. 1 в виде эскиза профиля фоновой температуры T0 (x), имеющего максимум на средней поверхности x = 0.
В результате для верхней половинки межэлектродной среды имеет место как бы конвекция с подогревом снизу, а для нижней — сверху. Возникающее течение имеет
профиль скорости Уд (х). Его немонотонный характер обусловлен замкнутостью течения, что может быть обеспечено наличием непроницаемых торцевых стенок при % = . Это приводит к необходимости обеспечения нулевого расхода
к
О = |V% {х)йх = 0 (1.1)
-к
Принято, что удельное электрическое сопротивление — убывающая функция температуры и зависит от нее линейно
'Т - 0 (1.2)
^ = 1 -5 а
T ■
к1 &
где Т — температура, а — электропроводность; 8, а*, Та* — параметры аппроксимации зависимости а (Т).
Предполагается, что магнитное число Рейнольдса, определенное как в зазоре, так и в электродах, мало
Яет = шах(цдс'У7',цдс7'2/) ^ 1 (1.3)
где цд = 4п10 Гн/м — магнитная проницаемость вакуума; а', V' /, I' — характерные электропроводность, скорость, частота и длина.
В частности, для разрядов в воздушной среде на графитовых электродах при умеренных токах (сотни А), согласно данным о параметрах дуг [11], условие (1.3) выполняется и можно пренебречь влиянием собственных магнитных полей протекающих токов на физико-механические процессы в зазоре и электродах.
При умеренных частотах (существенно ниже радиочастот), характерных для дуговых разрядов, можно пренебречь в уравнениях Максвелла токами смещения. Введя электрический потенциал ф, электродинамические уравнения можно свести к эллиптическому уравнению для него, а плотность тока \ определится из закона Ома
Шу (оУф) = 0, ] = -<гУф (1.4)
Здесь электропроводность а в зазоре определяется по (1.2), а в электродах — постоянная величина: с = са (анод), а = ас(катод).
Тепловые и гидродинамические параметры конвективного течения в зазоре определяются по модели Обербека—Буссинеска [7, 8]
.2 L
,dt I ~ ~ о
P*cp + vVT) = kAT + Q, Q = ¡- (1.5)
P* (dV + VVV) = + ^ + P*^ - Tp*)Y (1.6)
Y = (-sin a,0,cos a), v = (ux,uy ,vz) (1.7)
p = p* [1 -p (T - Tp*)], div v = 0 (1.8)
Здесь T — температура, v — скорость; p — давление; p*, Tp*, в — параметры аппроксимации зависимости р (p,T): р„ и Tpt — "средние" плотность и температура [8], Р — объемный коэффициент теплового расширения; cp — удельная теплоемкость, к — коэффициент теплопроводности, Q — объемный источник тепловыделения в виде джоуле-
вой диссипации, t — время, ^ — динамическая вязкость, g — ускорение свободного падения.
В настоящей статье рассматриваются только непроницаемые электроды, в которых отсутствуют гидродинамические течения (v = 0). Соответственно, уравнения гидродинамики (1.6)—(1.8) для них не применяются. Уравнения же электродинамики (1.4) и теплопроводности (1.5) внутри электродов выполняются. Дополнительно пренебрега-ется зависимостью коэффициентов переноса от температуры.
Граничные условия и условия сшивки решений ставятся в разнородных областях.
Внешние стенки электродов
X = xaw = h + ha: Т = Taw, ф = 0
x = xcw =-h - hc: T = Tcw, ф = -U
Первые два условия (1.9) задают граничные значения температуры и потенциала на поверхности анода, а вторые — катода.
Внутренние стенки электродов
x = xc, xa: v = 0 (1.10)
где xc = -h — граница катод-слой межэлектродной среды, xa = h — граница слой-анод.
Соотношение (1.10) — гидродинамическое и представляет собой условие прилипания частиц электропроводящей среды к твердым поверхностям катода и анода.
Приняты следующие граничные условия для электродинамической и тепловой задач на поверхностях электродов:
^ m л c
m c ТТ m дф c дф
x = xc: ф -ф = Uc, а —— = а —*—
dx dx
rpm ^c dTm dTc . TT i . дф'
T = T , кm "--К^^ = JxUc, \jx =-а-^
dx dx \ dx
^ m ^ a
m a TT m дф a дф x = xa: ф - ф = —Ua, ° = °
ox ox
rr-r a rr-r m
Tm = Ta, К a ^-Km ^ = JxUa dx dx
(1.11)
(1.12)
Здесь индексами "m", "c", "a" отмечены параметры в электропроводящей сплошной среде наклонного слоя, катода и анода соответственно.
Соотношения (1.11) и (1.12) представляют собой условия непрерывности на контактном разрыве температуры, нормальной к поверхности электродов плотности тока, скачков потенциала и обусловленных ими разрывов нормального теплового потока на поверхности катода и анода соответственно.
Наконец, условие замкнутости конвективных течений в зазоре дается соотношением (1.1).
2. Фоновое решение. Задача (1.1), (1.2), (1.4)—(1.12) допускает одномерное стационарное решение. Оно помечено далее индексом "0" и зависит только от одной (нормальной пластинам электродов) координаты x и удовлетворяет следующим уравнениям:
a(To) ^ = J о = |Jx| = const (2.1)
dx
к ^ + Jo-dx o*
1 - 8| — -1
= 0, к = к m (2.2)
^ = -p*gp (To - Tp,)sin a (2.3)
dx
^ = = их0 = 0 (2.4)
ду
др0 д%
Ш = /р = ссп81 (2.5)
Ц —^ + Р*(Т) - Тр,)cos а = /р, ис = и%0 (2.6)
йх
Граничные условия для фоновой задачи остаются прежними: (1.1), (1.9)—(1.12). Закон Ома (2.1) и баланс тепла (2.2) с учетом граничных условий и условий сшивки решений позволят в дальнейшем построить вольт-амперные характери
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.