М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 532.5.013.4
© 2014 г. Н. И. ЛОБОВ, Е. А. НОСОВА
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ В ПОДОГРЕВАЕМОМ СБОКУ ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Рассмотрена линейная устойчивость комбинированного конвективного течения в плоском вертикальном слое несжимаемой жидкости, подогреваемом сбоку. В слое равномерно распределены источники тепла. Стационарное течение является суперпозицией конвективного течения Гершуни и течения, вызванного действием внутренних источников тепла. Получены карты устойчивости комбинированного течения при различных значениях числа Прандтля. Обнаружено, что внутренние источники подавляют действие механизмов кризиса течения Гершуни. Боковой нагрев может привести как к стабилизации, так и к понижению устойчивости течения, вызываемого действием внутренних источников тепла.
Ключевые слова: вертикальный слой, подогрев сбоку, устойчивость течения, внутренние источники тепла, комбинированное течение.
Если в вертикальном слое границы нагреты до разной температуры, то механическое равновесие невозможно, и возникает конвективное течение (течение Гершуни). Течение состоит из двух встречных потоков. Устойчивость данного течения относительно малых возмущений хорошо и подробно изучена [1]. При малых числах Прандтля кризис течения имеет гидродинамическую природу и связан с развитием монотонных возмущений в виде вихрей на границе встречных потоков. Декременты возмущений вещественные. Нейтральные кривые на плоскости Ог - к (Ог — число Грасгофа, к — волновое число возмущений) имеют один минимум при любых значениях числа Прандтля. С изменением числа Прандтля Рг минимальное критическое число Грасгофа Огт меняется мало. Это, безусловно, связано с гидродинамической природой кризиса. Небольшое изменение Огт при силах Прандтля Рг ~ 1 обусловлено перестройкой спектра декрементов задачи устойчивости. При числах Прандтля Рг > Рг* « 11.562 [2] появляются нарастающие температурные волны, бегущие как вверх, так и вниз слоя. Нейтральные кривые имеют характерную петлеобразную форму, ось чисел Грасгофа — общая асимптота для обеих ветвей нейтральной кривой. При Рг > 12 температурные волны более опасны. Необходимо отметить, что существует известное вырождение — минимальное критическое число Грасгофа одинаково для волн, бегущих как вверх, так и вниз. С дальнейшим увеличением числа Прандтля порог устойчивости относительно температурных волн быстро понижается. Изменение тепловых условий на границах слоя может существенно сказаться на количественных характеристиках неустойчивости. В предельном случае, когда теплопроводность жидкости гораздо больше теплопроводности границ (теплоизолированные границы), резко меняется величина порогового числа Прандтля, Рг* « 0.89 [2]. В этом предельном случае зависимость Огт(Рг) становится немонотонной.
Причиной возникновения конвекции может служить также неоднородность температуры, создаваемая внутренними источниками тепла. Как следует из [1], при Рг = 0, когда проблема сводится к решению задачи Орра — Зоммерфельда, расчеты обнаруживают два уровня неустойчивости. Решения спектральной задачи распадаются на два
класса — четных и нечетных решений. Наиболее опасному уровню неустойчивости соответствуют возмущения четного типа. Минимальное критическое число Грасгофа для этой моды Огт = 1720 и достигается при критическом волновом числе кт = 2.05. Вторая мода неустойчивости имеет следующие критические параметры: Огт = 7180, кт = 1.57. Неустойчивость вызывается возмущениями в виде системы вихрей на границах раздела встречных потоков. Только этих границ в данном случае две — в правой и левой половинах сечения канала. В результате формируются две цепочки вихрей с разным взаимным расположением для разных мод. Декременты нормальных возмущений течения с четным профилем скорости (нечетная мода) оказываются комплексными, возмущения дрейфуют в вертикальном направлении. В разных частях нейтральных кривых знак фазовой скорости возмущений может быть разным. При малых числах Прандтля наиболее опасные возмущения медленно дрейфуют вниз. Четный уровень будет наиболее опасным и в случае произвольных значений числах Прандтля [1].
Влияние тепловых факторов достаточно существенно уже при Рг « 1. Это выражается в явно наблюдаемой деформации нейтральных кривых. Так, при Рг > 5.7 на нейтральной кривой формируется петля. Мода неустойчивости из гидродинамической трансформируется в неустойчивость типа нарастающих температурных волн. С увеличением Pr минимальное критическое число Грасгофа монотонно уменьшается. Интересно отметить, что с изменением числа Прандтля наблюдается взаимная трансформация гидродинамического и теплового механизмов кризиса.
В данной работе рассматривается устойчивость комбинированного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое с внутренними источниками тепла.
1. Постановка задачи и методы решения. Несжимаемая жидкость находится в плоском вертикальном слое толщиной 2h. Границы слоя поддерживаются при разной температуре. Внутри слоя однородно распределены источники тепла с мощностью энерговыделения в единице объема W. В таких условиях механическое равновесие невозможно, и возникает конвективное движение среды.
Конвективное течение описывается системой уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска
— + (иУ)и = -Ур + Ли + Ту
дг
дТ + (иУ)Т =1ЛТ + ^ (1.1)
дг Рг Рг
Шуи = 0
Уравнения (1.1) записаны в безразмерном виде. Выбраны следующие единицы измерения: расстояния — к, времени — к2/и, скорости — и/ к, температуры — и2/g в к3, давления — ри2/к1.
На твердых границах выполняются условия прилипания и поддерживается разная температура
х = ± 1: и = 0, Т = +Ог1 (1.2)
Кроме того, выполняется дополнительное условие замкнутости слоя
1
I и^йх = 0 (1.3)
где х, 7 — горизонтальная и вертикальная координаты.
Задача (1.1)—(1.3) содержит три безразмерных параметра подобия: два числа Грасго-фа Ог1 = gbQhi/и2, Ог2 = й5ж/рсри2% и число Прандтля Рг = и/%.
Указанная задача допускает стационарное решение в виде плоскопараллельного течения в вертикальном направлении с профилями скорости и температуры — функциями только поперечной координаты
Оги з . , Ог2 4 £ 2 , ^ „ „ Ог2 2Ч
и0 =~6~(х - х) + 12(0(5х - 6X + 1), То = -вгхх - X )
При разных соотношениях Огх и Ог2 на профиле скорости комбинированного течения может присутствовать либо одна, либо две границы встречных потоков, соответственно — одна или две точки перегиба. Причем границы между встречными потоками могут находиться на разных расстояниях от границ слоя. В связи с этим следует ожидать, что вопрос устойчивости такого комбинированного течения может быть решен по-разному при разных соотношениях параметров подобия задачи. Заметим, что в силу специфики течения распределение давления такое же, как и в покоящейся жидкости.
Для исследования устойчивости такого течения используем метод малых возмущений. Можно показать, что теорема Сквайра выполняется, поэтому ограничимся плоскими возмущениями, зависящими только от поперечной (х) и вертикальной (г) координат. Краевая задача для амплитуды функции тока нормальных возмущений скорости ф и амплитуды возмущений температуры 9 выглядит следующим образом:
-ХЛф + и0кЛф - иО'/кф = ЛЛф + 9'
-Х9 + и0;к9 - ;кф ТО = — Л9 (1.4)
Рг
X = ±1: ф = ф' = 9 = 0
2/2 2
Здесь А — плоский лапласиан (А = д / дх - к ), Х = ХГ + ш — комплексный декремент, к — вещественное волновое число, ф и 9 — амплитуды, штрихом обозначено дифференцирование по поперечной координате.
Задача (1.4) решается численно методом дифференциальной прогонки со стыковкой в середине слоя. Так как при больших значениях параметров подобия (чисел Грасгофа и Прандтля) в уравнениях задачи появляется малый параметр при старших производных, будем использовать нелинейный вариант метода дифференциальной прогонки. Для компонент прогоночной матрицы получается система комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений, данная система решается методом Рунге—Кутты—Мерсона. Для определения собственных значений используется двухмерный вариант метода секущих в модификации Гаусса.
2. Основные результаты. Перейдем к обсуждению основных результатов. На фиг. 1 показаны нейтральные кривые Ог\(к) комбинированного течения при числе Прандтля Рг = 0 и различных мощностях внутренних источников (кривые 1—4). Кризис течения имеет гидродинамическую природу. Как и следовало ожидать, в отсутствие внутренних источников минимальное значение Ог\ = 495.6 и достигается при к = 1.344. С ростом Ог2 на нейтральных кривых по-прежнему существует единственный минимум, который сдвигается в сторону больших волновых чисел, неустойчивость связана с более коротковолновыми возмущениями. Нейтральные кривые сначала медленно, затем все быстрее смещаются вниз на плоскости Ог\ — к. Таким образом, действие внутренних источников тепла приводит к дестабилизации комбинированного течения. При Ог2 = 3438 и к = 2.069 течение неустойчиво в отсутствие бокового нагрева (предельный случай "чистого" течения в слое с внутренними источниками тепла).
Фиг. 1. Нейтральные кривые комбинированного течения Ог1(к): Рг = 0; Ог2 = 0, 100, 200, 500 (1-4)
600 Огх
400
200
0 2000 Ог2 4000
Фиг. 2. Сводная карта устойчивости комбинированного течения при малых и умеренных значениях числа Прандтля: Рг = 0, 0.5, 0.7 (1-3), 1 (4, 5), 2, 3 (6, 7); 8 — граница изменения числа точек перегиба профиля скорости
На фиг. 2 показана сводная карта устойчивости комбинированного течения на плоскости Ог1 — Ог^ при малых и умеренных значениях числа Прандтля (кривые 1-7). Указанные линии ограничивают область устойчивости комбинированного течения справа и сверху. Выше линии 8 профиль скорости основного течения содержит одну точку перегиба, ниже — две точки.
Тепловые свойства жидкости очень сильно сказываются на размерах области устойчивости течения. При Рг = 0 критическое число Ог1 монотонно убывает с ростом числа Ог2.
4000
Ог2
2000
и
Х^зл М
1
0 1 2 к 3
Фиг. 3. Нейтральные кривые Ог2(к). Рг = 2; вг1 = 0, 200, 350, 400 (1-4)
Увеличение числа Прандтля слабо влияет на положение верхней точки
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.