научная статья по теме УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ»

М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2012

УДК 532.51

© 2012 г. К. Г. ШВАРЦ

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ

В работе исследуется устойчивость термокапиллярного течения, возникающего в медленно вращающемся слое жидкости в условиях невесомости. Обе границы слоя свободные и считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони и имеется теплоотдача по закону Ньютона, температура среды вблизи границ слоя является линейной функцией координат. Ось вращения перпендикулярна слою жидкости, вращение слабое и позволяет пренебрегать центробежной силой. Рассматриваемое термокапиллярное течение описывается аналитически, являясь точным решением уравнений Навье—Стокса. В рамках линейной теории устойчивости получены нейтральные кривые, описывающей зависимость критического числа Марангони от волнового числа при различных значениях числа Тейлора и различных направлениях горизонтального градиента температуры на границах слоя. Численно изучается поведение конечно-амплитудных возмущений за порогом устойчивости.

Ключевые слова: невесомость, вращение, устойчивость, нормальные возмущения, нейтральная кривая, конечно-амплитудные возмущения.

При наличии гравитации адвективные термокапиллярные течения возникают за счет температурной неоднородности на границах горизонтального слоя несжимаемой жидкости, перпендикулярных силе тяжести, т.е. за счет продольного температурного градиента [1, 2], в отличие от конвективных течений, в которых градиент температуры параллелен силе тяжести. Согласно [1] в плоском слое несжимаемой жидкости со свободной верхней границей в условиях невесомости или в достаточно тонком слое при наличии гравитации, когда на свободной границе поддерживается линейное распределение температуры, возникает устойчивое термокапиллярное течение. Гидродинамическая мода отсутствует, поскольку профиль скорости не имеет точек перегиба, рэ-леевской же моды нет из-за отсутствия термогравитационной силы. При наличии же теплоотдачи с поверхности по закону Ньютона возмущения температуры на поверхности отличны от нуля и возможно появление неустойчивости течения под действием силы Марангони. В такой постановке с твердой теплоизолированной нижней границей слоя задача устойчивости решалась в работах [3, 4] с учетом силы тяжести и без вращения.

Известно, что в условиях околоземного космического полета идеальная нулевая гравитация практически не реализуется, в частности, возникает сила Кориолиса [5]. В обзоре [6], содержащем свыше 2000 библиографических ссылок по космическому материаловедению, имелось лишь несколько ссылок по исследованию влияния вращения на течение неизотермической жидкости в условиях невесомости, что говорит о том, что тематика эта новая и получает свое развитие лишь в последние десятилетия. В обзоре [7] отмечено, что имеющиеся исследования влияния вращения на неизотермические течения в условиях микрогравитации разрознены и их недостаточно.

Наличие вращения меняет профиль скорости течения и его температуры. В зависимости от числа Тейлора у профиля скорости появляются точки перегиба, что должно

привести к появлению неустойчивости течения. Термокапиллярные адвективные течения во вращающейся жидкости были впервые описаны аналитически и исследованы в [8]. В работе [9] проведен линейный анализ устойчивости термокапиллярного течения во вращающемся в условиях микрогравитации слое жидкости с твердой теплоизолированной нижней границей. Были построены нейтральные кривые, описывающие зависимость критического числа Марангони от числа Прандтля для различных значений числа Тейлора. Была указана необходимость учета силы Кориолиса при исследовании термокапиллярных течений в условиях орбитального полета.

В монографии [10] сформулирован аналитически новый широкий класс замкнутых адвективных течений во вращающемся плоском слое несжимаемой жидкости и представлена процедура вывода точных решений. Влияние слабого вращения на структуру адвективного термокапиллярного течения в цилиндрической установке с твердой теплоизолированной нижней и свободной верхней границей в условиях невесомости численно исследовалось в работах [11—17]. Подобные исследования были проведены в работах [18—20]. Имеются результаты исследования устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости с твердыми границами при наличии гравитации [21—27]. В этих работах при числе Прандтля Pr = 6.7 (вода) было показано, что вращение стабилизирует адвективное течение, неустойчивость имеет колебательный характер. Вращение приводит к возникновению надкритичных возмущений в виде нестационарных винтообразных трехмерных вихрей, расположенных в потенциально неустойчивых зонах температуры и движущихся периодически вдоль границ слоя. С ростом числа Тейлора (Ta) вихри локализуются вблизи горизонтальных границ. При малом числе Прандтля Pr = 0.1 было показано, что для малых чисел Тейлора уменьшается критическое число Грасгофа, т.е. понижается устойчивость адвективного течения, и при Ta > 550 вращение начинает стабилизировать течение. Для исследования устойчивости течений проверена и отработана оригинальная расчетная методика [22, 23].

В данной работе, подобно [9], исследуется влияние вращения на линейную устойчивость термокапиллярного течения в тонком бесконечном жидком слое в условиях невесомости для случая обеих свободных границ. Численно изучается поведение конечно-амплитудных возмущений за порогом устойчивости.

1. Постановка задачи. Рассмотрим во вращающейся декартовой системе координат xyz плоский бесконечный слой несжимаемой жидкости шириной 2h, вращающийся с постоянной угловой скоростью Q0 в условиях невесомости. Ось вращения совпадает с

вертикальной осью координат z, вращение слабое. Полагаем, что p0Q°r % настолько мало, что давление на горизонтальных границах слоя можно считать постоянным (r — горизонтальный масштаб движения жидкости, р0 — плотность жидкости), и это позволяет пренебрегать в условиях орбитального полета центробежной силой вблизи от вертикальной оси. Обе границы слоя свободные и считаются плоскими, на них действует касательная термокапиллярная сила Марангони. Коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры T

ü = ü0 -Y (Т - Ту)

где у — температурный коэффициент поверхностного натяжения, на границах теплоотдача осуществляется по закону Ньютона. Температура среды вблизи границ слоя является линейной функцией горизонтальных координат Ту = A(x cos а + y sin а), где A — константа, а — угол, указывающий направление постоянного температурного градиента в заданной системе координат.

Выбрав в качестве единиц измерения длины, времени, скорости, температуры и давления соответственно h, h2/v, (-do¡dT) Ah¡p0v, Ah, (-dс/dT) A (где v — коэффици-

ент кинематической вязкости), следуя [1, 9], получим уравнения термокапиллярных течений в сопутствующей вращающейся системе координат в безразмерном виде

ди + Mn

dt

ди

ди , ди , ди и--+ и--+ w —

дх ду 5z_

- VTau = -— + А и

дх

+ Mn

dt

dw + Mn

, ди , ди , ди и--+ и--+ w —

дх ду дz.

dt

ди + ди + dw _ Q дх ду dz

, dw , dw и--+ и--+ w —

дх ду dz._

+ VTau = -— + А и

ду

= -— + Aw

dz

dT dt

+ Mn

дТ дТ dT и--+ и--+ w —

дх ду dz

= —АТ Pr

(1.1) (1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

где р — давление, и, и, w — компоненты вектора скорости, ? — время, Мп

= (- йо\ йТ)ЛН2/ Рс^2 — число Марангони, Та = (2О.0Н2 /у)2 — число Тейлора, Рг = у/% число Прандтля. Здесь х — коэффициент температуропроводности. При % = ±1 выполняются граничные условия

ди _ —дТ_ ди

dz дх dz дТ dz

дТ

ду

w _ Q, p _ pQ - const _ +Bi(T - xcosa - ysina)

где В1 = ЬН1 к — число Био, Ь — коэффициент теплоотдачи, к — коэффициент теплопроводности.

2. Базовое течение. Во вращающемся слое несжимаемой жидкости формируется однородное по х, у стационарное течение, которое может быть описано аналитически в виде точного решения уравнений Навье—Стокса. Его будем искать в форме

и = uq(z), и = uQ(z), w = Q

TQ = х cos a + у sin a + тQ(z), p = pQ

(2.1)

Подставляя (2.1) в (1.1)—(1.5), получим систему уравнений для давления, скорости и температуры

dpo

= 0

dz

- VTa uQ = uQ'

VTa uq = uQ'

MnPruQ = tQ' с граничными условиями при z = ±1 uQ =- cos a, Uq =- sin a, tQ = +BixQ

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Введем комплексную функцию скорости M (z) = u0 (z) + iu0 (z), где i — мнимая единица. Умножив уравнение (2.4) на i и сложив с (2.3), получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения комплексных переменных

M"(z) - iVTaM(z) = 0, M'(±1) = -exp(ia) (2.7)

Решая краевую задачу (2.7) для скорости и (2.5), (2.6) для температуры в отсутствие вращения (Ta = 0), получим плоскопараллельное неизотермическое течение

M (z) = -z exp(ia)

u0 (z) = Re M (z) = -z cos a, u0 (z) = Im M (z) = -z sin a с кубическим профилем температуры

T0 (z) = 1 Mn Pr

6

3 ,3 + Bi

-z +-z

1 + Bi J

При наличии вращения (Ta > 0) термокапиллярное течение имеет две ненулевые компоненты скорости

M (z) = uo (z) + ivo (z) = -^^ exp(ia) (2.8)

A chA

где X = (1 + i) • (Та/4)^4. Учитывая, что M(-1) = -M(1), температурная компонента

(2.9)

¡ ч MnPr

т 0 (z) = MTT

u0 (z) -r^V- u0(1) z

1 + Bi

На фиг. 1, а—в представлены профили компонент скорости и0 (г), и0 (г) и т0 (г) для различных малых значений числа Тейлора при Bi = 0.1 и а = 0. На графиках видно, что максимальные значения скорости достигаются на свободных границах слоя, а температура принимает экстремальные значения вблизи этих границ. С ростом числа Тейлора и0 (г) и т0 (г) монотонно убывают (фиг. 1, г), вторая компонента скорости и0 (г) на интервале 0 < Та < 6.5 монотонно возрастает от нулевого значения до максимального, а при Та > 6.5 также начинает монотонно убывать.

Для исследования устойчивости стационарного термокапиллярного течения (2.8), (2.9) применим метод малых возмущений [1, 2]

V = V0 + V, V0 = (и0,и0, 0), V = (и,и,

Т = Т0 + 0, р = Р0 + Р' (2.10)

Здесь V, 0 и р' — малые возмущения. Подставим возмущенные поля скорости, давления и температуры (2.10) в исходную систему уравнений (1.1)—(1.5), получ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком