ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 427, № 5, с. 583-585
= МАТЕМАТИКА
УДК 517
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК СОВПАДЕНИЯ И МНОГОЗНАЧНЫЕ НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
© 2009 г. А. В. Арутюнов
Представлено академиком В.А. Ильиным 25.02.2009 г. Поступило 09.04.2009 г.
Будем рассматривать метрические пространства X и У, метрика в которых обозначается через рх и рУ соответственно. Через Вх(х, г) будем обозначать замкнутый шар в X радиуса г с центром в точке х и аналогичное обозначение используем в пространстве У. Для произвольного подмножества М с У через ВУ(М, г) = ^ ВУ (у, г) будем обо-
у е М
значать г-окрестность множества М.
Под многозначным отображением Т, действующим из X в У (обозначаем это как Т: X У), будем понимать отображение, ставящие в соответствие каждой точке х е X непустое замкнутое подмножество Т(х) пространства У. В декартовом произведении метрических пространства X х У метрику определим по формуле р = pх + рУ. Множество {(х, у) е X х У: у е Т(х)}, называемое графиком отображения Т, обозначим через §рИ(Т). Отображение называется замкнутым, если его график замкнут.
Определение. Пусть а > 0. Многозначное отображение Т: X ^ У называется а-н акры-вающим, если
Т( Вх (х, г)) з ВУ (Т( х), а г) У г > 0, Ух е X. (1)
Если существует а > 0, для которого Т является а-накрывающим, то Т называется накрывающим. Очевидно, любое накрывающее отображение сюръективно. Отметим также, что понятие накрывающего отображения является естественным развитием понятия равномерно открытого отображения (см. [1, с. 267]).
Многозначное отображение называется Р-л ипшицевым, если оно удовлетворяет условию Липшица относительно (обобщенной) метрики Хаусдорфа Н с константой р. Точка назы-
Российский университет дружбы народов, Москва
вается точкой совпадения отображений Т и Ф, если Т© п Ф© Ф ф.
Настоящая заметка посвящена исследованию некоторых свойств накрывающих отображений и связанных с ними свойств устойчивости точек совпадения двух отображений относительно их возмущений. Отметим, что хотя основные результаты получены для многозначных отображений, тем не менее они остаются новыми и содержательными также и для обычных однозначных отображений.
В [2] доказана следующая теорема о совпадении точек. Пусть Е = {£, е X: Т© п Ф© Ф 0} -множество точек совпадения отображений Т и Ф.
Теорема 1 (см. [2]). Пусть а > р. Предположим, что многозначное отображение Т замкнуто и является а-накрывающим, а многозначное отображение Ф является в>-липшицевым. Пусть также хотя бы один из графиков §рИ(Т) или §рИ(Ф) является полным множеством.
Тогда Е Ф ф и
<Ш (х, Е) < ** ту^) Ух е X.
(2)
Здесь обозначает расстояние между множествами, т.е. ё1в!(М1, М2) = МрУу^ у2), у1 е М1, У2 е М2.
Если же, кроме того, для всех х1, х2 е X точные нижние грани в определении выражений для ё1в!(Т(х1), Ф(х1)) и Н(Ф(х1), Ф(х2)) достигаются (например, множества Т(х) и Ф(х) компактны для всех х), то можно дополнительно гарантировать, что Ух е X 3£, = ^(х) е Е:
р X (^ х )<
^ (Т ( х), Ф ( х ) ) а - р .
(3)
Заметим, что если пространство X полно, а отображение Ф является однозначным (т.е. для каждого х множество Ф(х) является одноточечным), то график §рИ(Ф) заведомо является полным, а если пространства X, У полны, а отображение Т замкнуто, то его график §рИ(Т) является
584
АРУТЮНОВ
полным. Отметим, что накрывающее отображение вовсе не обязано быть замкнутым.
Предположим теперь, что у многозначных отображений Т и Ф имеется точка совпадения. Спрашивается, устойчива ли она к малым возмущениям этих отображений? Ответ дает следующая
Теорема 2. Пусть а > в и даны многозначные отображения Т, Ф: X ^ У, имеющие точку совпадения х0. Пусть также даны последовательности многозначных отображения {Тп}, {Фп} таких, что при каждом п отображение Тп замкнуто и является а-накрывающим, а отображение Фп является в-липшицевым и хотя бы один из графиков §рИ(Тп) или §рИ(Фп) является полным множеством. Предположим также, что
Л(Тп(хо),Т(хо0,
(4)
Л(Фп(Хо),Ф(Хо0, п
и задана последовательность |5п}: 5п ^ 0+, п ^
Тогда Уп Зхп
Тп (хп )пФ„ (хп )Ф0, (5)
РX(хп, хо0, п (6)
и, более того,
Рх(хп, хо) < (а - в)-1 (8п + Л(Тп(хо), Т(хо)) +
+ Л (Фп (хо ),Ф( хо))). (7)
Доказательство. Зафиксируем номер п и применим к отображениям Тп и Фп теорему 1 в точке х = х0. Существуют такие хп е X, что имеет место (5) и рх(хп, хо) < (а - в)-1(§п + ^СТ^хо), Фп(Х0))). В силу неравенства треугольника получаем
^181(Тп(хо), Фп(хо)) < Л(Тп(хо), Т(хо)) +
+ Ш81(Т(хо), Ф(хо)) + Л(Фп(хо), Ф(хо)) =
= Л (Тп (хо), Т( хо)) + Л (Фп (хо), Ф( хо)),
откуда вытекает (7), а значит и (6). Теорема доказана.
Перейдем к свойствам накрывающих отображений. Начнем с вопроса: является ли условие на-крываемости отображения устойчивым к его малым возмущениям? Точнее, пусть даны замкнутые многозначные отображения Т, Тп: X ^ У, п = 1, 2, ... Предположим, что отображение Т является накрывающим, а также
Ь(/по, п , (8)
где /п(х) = Л(Тп(х), Т(х)), а Ь(/) - константа Липшица функции /. Спрашивается: будут ли при сделанных предположениях отображения Тп также накрывающими при всех больших п?
Пусть пространство У является линейным нормированным и для простоты предположим, что существуют такие однозначные отображения фп, что Тп(х) = Т(х) + фп(х) и Л(Тп(х), Т(х)) = ||фп(х)|| Ух (например, если отображения Т и Тп являются однозначными, то фп(х) := Тп(х) - Т(х)). Тогда положительный ответ на этот вопрос дает теорема 6 (о возмущении) из [3]. Если же пространство У линейным не является, то, как показывает следующий простой пример, ответ на поставленный вопрос уже является отрицательным. В этом примере малые возмущения накрывающего отображения не являются накрывающими, хотя в нем все возмущенные отображения сюръективны.
Пример 1. Пусть X = [0, 1], У = [0, 1] (метрика на всех числовых множествах определяется естественным образом). Положим
х) = х, V 1, п (х) = п- + (1- п-) х,
V 2 ( х ) = 1 - х,
Т( х ) = {V1 ( х ),У2( х )}, Тп(х) = {V1,п(х),У2(х)}, хе X.
Очевидно многозначное отображение Т является 1-накрывающим, а все Тп накрывающими не будут. В то же время (8) выполняется и Тп® = У У п.
Пусть теперь выполняются все предположения теоремы 1. Тогда точка совпадения Е, для которой выполняется (3), оказывается функцией от переменной х. Возникает естественный вопрос: можно ли эту функцию Е(0 выбрать непрерывной? Отрицательный ответ на него дает следующий
Пример 2. Пусть X, У такие же, как в примере 1 и Т(х) = х, Ф(х) = 1. Тогда Т является 1-накрывающим и уравнение |х| = 1 имеет ровно два решения: х1 = -1 и х2 = 2 . Поэтому функция Е(-) принимает не более двух значений, причем в силу (3) ^-2) = -2 , ^ = ^ и, значит, Е(-) разрывна в нуле.
Для х е X через Е(х) обозначим множество (возможно, пустое) тех точек Е е Е, для которых выполняется (3). Очевидно, что если Т(х) п Ф(х) Ф 0, то Е(х) = {х}. Спрашивается, как устроены множество
Е и многозначное отображение Е(-): X ^ X?1. Следующий пример показывает, что множество Е и множество Е(х) для некоторого х могут оказаться незамкнутыми.
1 Для удобства отображения Е(-) также будем называть многозначным, хотя, вообще говоря, множества Е(х) не обязаны быть замкнутыми.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 427 < 5 2009
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК СОВПАДЕНИЯ
585
Пример 3. Пусть X = [0, 1], У = {у е К1: у > > 1} и {0}, Т(х) = {х-1} Ух е (0, 1], Т(0) = {0}, Ф(х) г {у е К1: у > 1}. Очевидно, Е = (0, 1], Е(х) = = {х} Ух е (0, 1], Е(0) = Е = (0, 1] и, значит, множества Е и Е(0) незамкнуты.
В то же время следующая лемма показывает, что при дополнительных предположениях относительно отображений Т и Ф можно гарантировать замкнутость множеств Е(х) Ух, а также секвенциальную полунепрерывность сверху многозначного отображения е(-) (последнее означает, что для произвольного х0 е X из хг ^ х0, Ъ>1 е Е(хг) У г следует, что Шв^, Е(х0)) ^ 0.)
Лемма 1. Пусть а > в, многозначное отображение Т непрерывно (в смысле метрики Хау-сдорфа) и является а-накрывающим, а Ф является в-липшицевым. Предположим также, что для любого х е X множество Ф(х) компактно и любой замкнутый шар в пространстве X компактен.
Тогда отображение Е(-) секвенциально полунепрерывно сверху.
Отметим, что в предположениях леммы 1 гарантировать полунепрерывность снизу отображения Е(-), вообще говоря, нельзя (см. пример 2). Кроме того, имеется простой пример, показывающий, что предположения леммы 1 ослабить, заменяя непрерывность Т на секвенциальную полунепрерывность сверху, также нельзя.
Пусть даны а > 0, последовательность а-на-крывающих многозначных отображений {Тп} и
замкнутое многозначное отображение Т: X ^ У. Предположим, что для каждого х е X имеет место сходимость
Н(Тп(х), Т(х0, п (9)
Возникает естественный вопрос: обязано ли отображение Т быть накрывающим. Предложенный Е.С. Жуковским пример дает на этот вопрос отрицательный ответ, даже если пространства X, Y полны и все Тп являются однозначными непрерывными отображениями. В то же время, усилив предположения относительно сходимости {Тп}, описанного эффекта можно избежать. Это показывает следующая
Теорема 3. Пусть пространство X полно. Предположим, что для произвольного ограниченного множества U с X условие сходимости (9) выполняется равномерно по всем x е U.
Тогда для произвольного £ > 0 отображение Т является (а - £)-накрывающим.
Кратко теорема 3 означает, что равномерный предел а-накрывающих отображений является (а - £)-накрывающим. При дополнительном предположении о том, что отображение Т является однозначным, утверждение теоремы 3 вытекает из теоремы 2.8, полученной в [4]. Об этом мне сообщил А.В. Дмитрук. Кроме того, простой пример показывает, что в теореме 3 взять £ = 0, вообще говоря, нельзя.
Автор выражает благодарность Е.С. Жуковскому, М.Ф. Сухинину и Т.Н. Фоменко за плодотворные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты 08-01-90001, 09-01-00619).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.
2. Арутюнов A.B. // ДАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
3. Иоффе АД. // УМН. 2000. Т. 55. В. 3. С. 103-162.
4. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.