УДК 523.92+523.942-337
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЛУЧИСТОЙ ЗОНЕ ЗВЕЗДЫ
© 2008 г. Л. Л. Кичатинов
Институт солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук,
Иркутск, Россия Поступила в редакцию 04.04.2007 г.; принята в печать 22.06.2007 г.
Для оценки максимальной возможной величины реликтовых магнитных полей, анализируется устойчивость тороидального поля во вращающейся лучистой зоне звезды. Получены уравнения для малых возмущений с учетом конечной диффузии и стабилизирующего влияния доадиабатической стратификации. Численное решение задачи на собственные значения показывает, что пороговая напряженность поля для появления неустойчивости в лучистой зоне Солнца составляет около 600 Гс. Данная величина дает верхнюю границу для напряженности реликтового поля. Предположение о действии магнитных неустойчивостей в солнечной лучистой зоне не согласуется с наблюдаемым содержанием лития. Анализ совместной устойчивости тороидального поля и неоднородного вращения показывает, что двухмерные МГД-решения для солнечного тахоклина устойчивы по отношению к трехмерным возмущениям.
РАС Б: 52.30.Cv, 96.60.Hv, 97.10.Kc, 96.60Бп, 96.60.Jw
1. ВВЕДЕНИЕ
Магнитную активность звезд обычно связывают с действием гидромагнитного динамо в их конвективных зонах. Большое значение, однако, могут иметь также магнитные поля, сосредоточенные в лучистых зонах с устойчивой стратификацией. Они важны для переноса углового момента в звездных недрах [1, 2]. Поля звезд ранних спектральных классов связаны с их внешними лучистыми зонами. Слабое полоидальное поле лучистой зоны может формировать тахоклин Солнца [3]. Сильные тороидальные поля могут влиять на g-моды глобальных колебаний [4], а также на солнечные нейтрино [5].
По всей вероятности, гидромагнитное динамо в лучистой зоне действовать не может. Здесь отсутствуют необходимые для этого достаточно энергичные течения. Однако времена омического затухания магнитных полей в лучистых зонах составляют миллиарды лет [6]. Поэтому там могут сохраниться реликтовые поля, приобретенные звездой на ранних стадиях эволюции. Не ясно, однако, какие напряженности могут иметь такие поля. Лучистая зона Солнца находится глубоко (г < 0.713Я&, где — радиус Солнца [7]) под солнечной поверхностью, и возможности определения находящихся там магнитных полей по данным наблюдений ограничены (см., однако, [8]). Прямые расчеты реликтового поля [9, 10] используют большое количество предположений, обоснованность которых до конца не ясна. В данной работе рассматривается другая
возможность, связанная с изучением устойчивости магнитного поля. Для того, чтобы реликтовое поле действительно могло сохраниться в лучистой зоне на эволюционных масштабах времени, оно должно быть устойчивым. Поэтому пороговая напряженность для развития неустойчивостей, по-видимому, дает верхнюю границу величины реликтового поля. Вопросы устойчивости важны также для теории солнечного тахоклина [11], для проблемы переноса углового момента и химических примесей в лучистых зонах звезд [12].
Данная работа ограничивается случаем осесим-метричного тороидального (азимутального) магнитного поля. Тороидальная составляющая поля обычно является наибольшей, когда имеется хотя бы малая неоднородность вращения. Заметим, что теоретическая оценка допустимых напряженностей полоидального поля не так важна. Полоидальные поля (если они не слишком малы [3]) могут проникать из лучистой зоны через зону конвекции до солнечной поверхности и могут быть оценены из наблюдений [13]. Тороидальные поля таким свойством не обладают и для их оценки приходится привлекать теоретические соображения.
Среди целого ряда неустойчивостей, которые могут развиваться во вращающейся лучистой зоне звезды с тороидальным полем [14], изгибная неустойчивость пинча [15] является, по всей вероятности, наиболее существенной [16]. Это связано с тем, что данная неустойчивость развивается при
N/Q 600
550 -
500 -
450 -
400 -
350 -
существенно превышать пороговую величину для развития неустойчивости (~600 Гс). В противном случае возникают противоречия с данными о содержании лития. Будет также рассмотрена совместная устойчивость тороидального поля и дифференциального вращения. Результаты показывают, что имеющиеся осесимметричные решения для солнечного тахоклина [3] устойчивы относительно неосесимметричных возмущений.
2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ 2.1. Исходное состояние и основные приближения
Рассмотрим лучистую зону звезды с устойчивой (доадиабатической) стратификацией, так что частота Брента—Вяйсяля
д дв
N2 =
cp дг
(1)
Рис. 1. Отношение частоты внутренних гравитационных волн (1) к угловой скорости в верхней части лучистой зоны Солнца как функция относительного гелиоцентрического радиуса. Зависимость построена по модели строения Солнца [19].
почти горизонтальных смещениях (смысл слова "почти" в этом утверждении уточнен в разделе 2.1). В лучистых зонах звезд с доадиабатической стратификацией радиальные смещения подавляются силами плавучести.
Рассматриваемая неустойчивость изучалась ранее с использованием энергетического принципа для невращающейся среды и в отсутствие диссипации [17, 18]. В последующем, однако, выяснилось, что вращение и конечная теплопроводность являются существенными [16]. Это, в частности, следует из анализа неустойчивости, выполненного Аче-соном [14] в локальном (мелкомасштабном) приближении. Из [14], однако, следует, что пороговая напряженность поля для развития неустойчивости уменьшается с возрастанием горизонтального масштаба возмущений.
Данная работа учитывает диффузию и вращение. Рассматриваются возмущения, глобальные по горизонтальным направлениям, но мелкомасштабные по радиусу. Как будет показано, именно такое соотношение масштабов характерно для наиболее неустойчивых возмущений (представляющих тонкие по радиусу слои, охватывающие всю лучистую зону по горизонтальным направлениям). Как мы увидим, малые радиальные смещения являются существенными: неустойчивость исчезает в двухмерном приближении чисто горизонтальных смещений. Оценка эффективной диффузии химической примеси, возникающей из-за радиального перемешивания, показывает, что тороидальное поле в лучистой зоне Солнца не может сколько-нибудь
положительна. Здесь в = ср 1п (Р/р1) — удельная энтропия. Будем считать, что среда вращается с угловой скоростью О(г,в), которая может зависеть от координат. Используются обычные сферические координаты г, в, ф. Имеется также азимутальное магнитное поле
В = ефГ8тв^/ШрПА(г,в) , (2)
где Од — угловая альфвеновская частота и вф — единичный вектор в азимутальном направлении.
Вращение и магнитное поле, вообще говоря, нарушают сферическую симметрию. Азимутальная составляющая уравнения для завихренности го1;и (и — скорость) дает
а (ОД - о2) _
г síi10-
dz
(3)
1
VpxV|P+g)
где опущен вклад вязкости, ^ = eos в^ — г х х sin в-щ — пространственная производная вдоль оси вращения. Отсюда следует, что давление и плотность в сферической системе координат зависят не только от радиуса, но и от широты, а также что невозможно найти систему координат, в которой распределения термодинамических параметров зависели бы лишь от одной переменной. Тем не менее, в случае медленного вращения и слабого магнитного поля, когда
О < N, Од < N, (4)
отклонения от сферической симметрии малы, и мы будем ими пренебрегать, считая термодинамические параметры зависящими лишь от радиуса r. Отношение N/Q для лучистой зоны Солнца показано на рис. 1. Заметим, что для верхней части
2
Р
Ф
лучистой зоны Солнца величина Оа достигает величины 0 при напряженности поля В ~ 105 Гс.
Величина N/0 является также оценкой отношения радиальных скоростей к меридиональным: и'г/ив ~ 02/N2 [20] (здесь и далее штрихом помечены малые возмущения исходного состояния). Поэтому радиальными движениями часто пренебрегают. При этом, однако, существенно сужается класс возможных возмущений. Это можно увидеть из выражения для соленоидальных возмущения скорости в сферической геометрии выражены через скалярные потенциалы полоидального (Ру) и тороидального (Ту) течений [21]:
и
- *
1 д1
дтдв )
+
Ь
еф
1
т ^эш в дф дТ, 1 д2Р, \ дв эш в дгдф ) '
(5)
8Ш в дв
дд втА— +
дв
8Ш'
1 д2
в дф2
Предположение иг = 0 полностью исключает по-лоидальные возмущения скорости. Горизонтальная составляющая полоидального течения может, однако, оставаться неизменной при уменьшении радиальной скорости, если пропорционально уменьшается вертикальный масштаб возмущений. Как мы увидим, изгибная неустойчивость [18] отсутствует при иг = 0. В то же время неустойчивость развивается при очень малых вертикальных смещениях иг ^ ив (сколь угодно малых в отсутствие диссипации), если одновременно являются малыми вертикальные масштабы: кт ^ 1, к — вертикальное волновое число. В этом смысле смещения в неустойчивых возмущениях действительно почти горизонтальны.
Наш анализ устойчивости является локальным (мелкомасштабным) по радиусу, т.е. зависимость возмущений от радиуса берется в виде ехр (гкт). В то же время первыми теряют устойчивость моды с наибольшими возможными горизонтальными масштабами [ 16], поэтому анализ остается глобальным по горизонтальным направлениям. Последующие расчеты подтверждают, что неустойчивые возмущения соответствуют этим ограничениям.
Малость радиальных масштабов позволяет считать возмущения несжимаемыми: Шу и = 0 [14]. При этом можно использовать представление (5) для возмущений скорости и аналогичную формулу для магнитных возмущений:
Б'
~2^Рт —
+
т
ее
т
1 дТт
8ш в дф дтдв )
д2 р -т и -'т
дТт
1 д2Рп
дв эт в дтдф )
.
Следующее предположение касается возмущений давления. Будем пренебрегать локальными возмущениями давления. Необходимо отметить, что в последующем используется уравнение для завихренности ш = го1;и'. При этом берется ротор уравнения движения, и возмущения "динамического давления", т.е. возмущения, возникающие из-за нелинейных членов в уравнении движения, учитываются автоматически. Предполагается, что локальное давление определяется гидростатическим равновесием и тепловые возмущения проис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.