МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. П.Е. ТОВСТИК
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Рассматривается устойчивость тонкой трансверсально изотропной круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Используется локальный подход, согласно которому прогиб при потере устойчивости ищется в виде двоякопериодической функции криволинейных координат, а граничные условия игнорируются. Проводится сравнение решений по двухмерным моделям Кирхгофа—Лява (КЛ) и Тимошенко—Рейсснера (ТР) с решением, построенным по трехмерной теории. Основное внимание уделяется случаю весьма малой жесткости на сдвиг в поперечном направлении.
Ключевые слова: поверхностные колебания и волны, пластина, упругое основание, анизотропия, начальные напряжения, устойчивость.
1. Введение. Несмотря на простоту формулировки задача об устойчивости цилиндрической оболочки очень сложна. Ей посвящены многочисленные исследования, ссылки на которые можно найти в [1—3]. Влияние граничных условий на критическую нагрузку (в том числе, приводящее к появлению начальных моментных напряжений и к существенному снижению нагрузки) обсуждается в [2, 4—6]. Влияние начальных неправильностей исследуется в [7, 8]. Послекритическое поведение оболочек и нелинейные задачи рассматриваются в [9, 10].
Перечисленные выше возмущающие факторы, безусловно, существенно влияющие на критическую нагрузку, не являются предметом рассмотрения в данной статье. В ней с использованием локального подхода [11, 12] исследуется "внутренняя" устойчивость идеальной трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии, не связанная со способом ее закрепления. Получаемая при этом критическая нагрузка близка к критической нагрузке достаточно длинной оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями. Кроме того, эта нагрузка может служить основой для последующего уточнения при учете влияния различных возмущений (моментных краевых начальных напряжений, неправильной формы).
При использовании двухмерных моделей КЛ и ТР локальный подход позволяет для критической нагрузки получить явную аналитическую формулу, а решение трехмерных уравнений теории упругости сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными функциями, зависящими от координаты по толщине оболочки. Ниже в пп. 2 и 3 приводятся известные решения задачи по двухмерным моделям КЛ и ТР. В п. 4 приводятся соотношения упругости для трансверсально изотропного материала и с целью корректного выбора его модулей упругости трансвер-сально изотропный материал рассматривается как предельный для многослойного материала из чередующихся изотропных слоев с малой и большой жесткостью. В п. 5 построено начальное осесимметричное напряженное состояние, возникающее при осевом сжатии трансверсально изотропной круговой цилиндрической оболочки, а в п. 6 приводятся уравнения бифуркации этого состояния. В пп. 7 и 8 построены два
приближенных асимптотических решения уравнений бифуркации — длинноволновое и коротковолновое приближения. Последнее сводится к задаче о потери устойчивости вблизи свободной поверхности предварительно напряженного трансверсально изотропного полупространства. Найденное при этом критическое значение начального напряжения играет важную роль при обсуждении результатов для цилиндрической оболочки. В п. 9 приводится алгоритм численного решения трехмерной задачи. В п. 10 для ряда значений параметров оболочки проводятся численные результаты и дается сравнение результатов, по трехмерной модели и по двухмерным моделям КЛ и ТР, а также обсуждается случай весьма малой жесткости на поперечный сдвиг (случай сильной анизотропии). П. 11 содержит основные выводы.
2. Решение по модели КЛ. Имея в виду образование большого числа коротких волн на поверхности оболочки, используем двухмерную систему уравнений теории пологих оболочек [1]:
- DAAw + + = 0, Л ДДф + = о (2.1)
5/ R дs2 Eh R ds2
где w(s, ф) и Ф^, ф) — неизвестные нормальный прогиб и функция усилий; R, h, E, v — радиус оболочки, ее толщина, модуль Юнга и коэффициент Пуассона (в тангенциальных направлениях); s, ф — криволинейные координаты на срединной поверхности (0 < s < L0, 0 < ф < 2п); А — оператор Лапласа; D = Eh3/(12(1 — v2)) — цилиндрическая
жесткость; J — искомое осевое усилие (при сжатии J < 0). Ненулевое решение системы (2.1) ищем в виде (kl = k/R):
w(s, ф) = w°sin(k1s)cos(mф), Ф^, ф) = Ф%п(k1s)cos(mф) (2.2)
Тогда для усилия J получаем
-J = /(k, m) = D(k2+m2)2 + —¡Ehk-—2 (2.3)
R k2 (k2 + m2)2
Критическое значение нагрузки получаем при минимизации функции f (k, m) по волновым числам k и m [13, 14]:
о Eh
T1 = aoh, -сто = (2.4)
л/3 (1 - v2) R
где ст0 — начальное напряжение, а минимум (2.4) достигается на множестве значений k, m, лежащим на окружности
ц( k2 + m2) = k, ц4 = -h—- (2.5)
12(1 - v2) R
где ц 1 — малый параметр тонкостенности. Соотношение (2.5) включает в себя как осесимметричную потерю устойчивости при k = 1/ц, m = 0, так и неосесимметричную
при m = Jk/ц - k2 > 0. В связи с тем, что волновые числа не являются любыми, а должны давать целое число полуволн в продольном направлении и целое число волн в окружном направлении, соотношение (2.5), а вместе с ним и (2.4) в общем случае выполняется приближенно.
3. Решение по модели ТР. Решение (2.4), построенное по модели КЛ, не позволяет учесть влияние жесткости оболочки на поперечный сдвиг. Запишем для трансверсаль-но изотропной цилиндрической оболочки уравнения модели ТР, учитывающей сдвиг, в виде [15, 16]:
ГН(Д^ - + Т^ + I^ = 0, г = уОи, у = 5
1 ^ 1 дя Я дя , 7 13, У 6
— ДДФ + 1 — = 0, -БД¥ = ГНЫ - ¥)
ЕН Я д/
(3.1)
Система (3.1) обобщает систему (2.1) на случай учета сдвига. В ней использованы те же обозначения, что и в (2.1). Здесь С13 — модуль сдвига в поперечном направлении, а корректирующий множитель у учитывает неравномерность распределения касательных напряжений по толщине оболочки. В общем случае величина у зависит от рассматриваемой задачи [17], а здесь значение у = 5/6 дает для не слишком малых значений С13/Е наилучшее совпадение с решением трехмерной задачи. Новая неизвестная функция ¥ связана с углами поворота нормального элемента и ф2 формулами
д© д¥ д©
ф1 =--+-, ф2 =--------(3.2)
дя Ядф Ядф дя
Уравнение для функции ©:
°( 1 - У ) Д© - ГН© = 0 (3.3)
отделяется от системы (3.1) и здесь не рассматривается.
Решение системы (3.1) ищем в том же виде (2.2) (в том числе и для функции ¥). В результате для осевого усилия получаем выражение [16]:
т = _Р(к2 + ш2) 2__Е Нк2 (3 4)
-Т 1 = 2 2 2 2 2 ' - Т— (3.4)
Я2 к2[ 1 + ( Б/( Я2 Г Н))(к2 + ш2)] ( к2 + ш2)
При отыскании минимума выражения (3.4) примем во внимание, что {к, т} ~ ц-1, и положим к = г1/ц, т = г2/ц. Тогда
т-0 2 , 2Ч2 2 2
Т1 _ Ц (Г1 + Г 2) Ц Г1 ____6 ЕН
ЕН г\ [1 + п( Г1 + Г2)] ( г2 + г\ )2' ' 5 Я01^12 (1 - V2)
(3.5)
где п — сдвиговой параметр. Формальная минимизация выражения (3.5) по г1 и г2 показывает, во-первых, что минимум достигается при г2 = 0, т.е. форма потери устойчивости осесимметрична (напомним, что модель КЛ допускает как осесимметричные, так и неосесимметричные формы). Вычисляя минимум, находим критическое значение [18, 19]:
= Ц2ф(п), фСл) = (2п"1 (3.6)
Е [1/п, п ^1
причем при п < 1 минимум достигается при конечном г1 = 1/(1 — п), а при п ^ 1 — при
г
от
Для изотропной оболочки сдвиговой параметр п мал (п ~ Ц2 ~ h/R), при п = 0 формула (3.6) переходит в классическую формулу (2.5).
С уменьшением отношения G13/E сдвиговой параметр п растет, а критическая нагрузка убывает. При приближении параметра п к значению n = 1 вместе с ростом rx длина волны деформации становится короче толщины оболочки и двухмерные модели неприменимы. Ниже случай п ^ 1 рассматривается по трехмерной модели.
4. Трансверсально-изотропный материал. Для трансверсально изотропного линейно упругого тела связь между напряжениями а,у и деформациями б,у содержит пять независимых параметров (E, E', G13, v, v') и имеет вид [20]:
а11 = E11811 + E12 622 + E13633, 012 = G12 612
022 = E12811 + E11822 + E13 833, 013 = G13 813 (4.1)
CT33 = Еигп + ^13822 + E33 633, 023 = G13 823
E11 = -E(1 - V ) „ - , E12 = -E( v + v 2) „ 9 , v2E ' = (v- )2E
(1 + v)( 1 - v - 2V2) (1 + v)( 1 - v - 2V2)
E _ Ev' E _ E (1 - v ) G _ G _ E
E13 _ --2 > Езз _ —^-Г2 ' g12 _ G _ -TTT"—:
1 - v - 2v2 1 - v - 2v2 2(1 + v)
(4.2)
E2 E E2 Ev
E11 _ E12 + 2G12' E*1 _ E11 - TT" _ -2' E*2 _ E12 - TT" _ -2 (4.3)
E33 1 - v E33 1 - v
Для изотропного тела En = E33, G12 = G13 = G, v = v'.
Ниже при выборе модулей Esj, GiJ для трансверсального изотропного тела поступаем следующим образом. Рассмотрим многослойное тело с чередующимися мягкими и жесткими плоскими изотропными слоями с параметрами
En,vn, hn, n = 1, 2 (4.4)
Осреднение упругих свойств по толщине слоев при h:, h2 ^ 0, h:/h2 = const, приводит к трансверсально изотропному материалу. При вычислении его модулей Esj, GiJ в (4.1) пользуемся тем, что на границе слоев непрерывны деформации sn, s12, s22 и напряжения ст13, ст23, ст33. В результате получаем
ZEn = hih2(El( 1 + vi)2(1 - 2vi) + E2( 1 + V2)2(1 - 2V2)) + + E1E2((hi + h2)(1 - vi)(1 - v2) + 2h1 h2v1v2( 1 + v1)(1 + v2))
ZEn = h,h2(E2(1 + v1 )2(1 - 2v1 )v2 + e1 (1 + v2)2(1 - 2v2)v1) + + E1E2(1 + v1)(1 + v2)((h\v1( 1 - v2) + h2v2(1 - v1) + 2h1 h2v1 v2) Z = h(E2hx(1 + v1 )2(1 - 2v1)(1 - v2) + E1 h2(1 + v2)2( 1 - 2v2)(1 - v1)) (4.5) E1E2 (h1v1( 1 - v2) + h2 v2 (1 - v1))
E13 =
E2hx{ 1 + v1)(1 - 2 v1)(1 - v2) + E1 h2 (1 + v2)(1 - 2 v2)(1 - v1) h_ _ h1 ( 1 + v 1 )( 1 - 2v1) + h2 ( 1 + v 2) ( 1 - 2 v 2)
E3 3 E1(1 - v1 ) E2 (1 - v2 )
Н = 2Н 1 ( 1 + у, 1 ) + 2 Н2 ( 1 + V2) , Н = Н1 + Н2
^13 Е1 Е2
В отличие от аналогичных формул для оболочек ([21]) здесь не считается, что ст33 = 0, с чем и связана громоздкость формул (4.5).
Эквивалентные тангенциальные модули Е и V находим из формул (4.3):
V = Е*/ Е*, Е = Е*( 1 - V2) (4.6)
причем Е Ф (Е1к1 + Е2к2)/к, если V! Ф V2.
При Е1к1 §> Е2к2 получаем (за исключением случаев, когда коэффициенты Пуассона V,;. близки к 1/2) материал с сильной анизотропией, дл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.