ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 413, № 2, с. 193-197
МЕХАНИКА
УДК 532.517
устойчивость трехмерных солитонов в вертикально стекающих пленках жидкости
© 2007 г. Е. А. Демёхин, Е. Н. Калайдин, С. М. Шапарь, В. С. Шелистов
Представлено академиком В.А. Бабешко 20.03.2006 г. Поступило 12.05.2006 г.
Структура волновой поверхности в тонких пленках жидкости определяется волновым режимом и очень важна с практической точки зрения, определяя, в частности, характер тепломассопе-реноса и фазовых переходов. При достаточно больших числах Рейнольдса режим квазидвумерных уединенных волн сменяется трехмерным волновым режимом.
В [1] показано, что при 5 > 0.048 двумерные со-литоны неустойчивы к поперечным возмущениям и распадаются на трехмерные уединенные волны. В [2] эти решения получены численно, а в [3, 4] существование трехмерных солитонов подтверждено экспериментально. В настоящей работе трехмерные уединенные волны исследуются на устойчивость. Показана их неустойчивость к локализованным малым возмущениям непрерывного спектра при 5 < 0.054. Проведено сравнение с экспериментами [3, 4].
1. Трехмерные режимы в вертикально стекающих пленках жидкости описываются системой уравнений относительно толщины слоя И(х, г, 0, расхода в направлении действия силы тяжести д(х, г, 0 и расхода в перпендикулярном направлении р(х, г, 0 [5, 6]:
Яе11/9
Здесь 5 = —-— - модифицированное число
3 • 5у
Рейнольдса, у = ср-^-4/3£~1/3 - число Капицы, описывающее физические свойства жидкости, ось х направлена вдоль действия силы тяжести.
Система (1), в частности, имеет однопарамет-рическое с параметром 5 семейство решений -трехмерных солитонов, которые являются бегущими волнами и для которых, следовательно,
- = -с д
дt дх'
+ г2 ^ & горб солитона спадает и течение переходит в плоскопараллельное, Н0 ^ 1, д0 ^ 1,р0 ^ 0. Метод нахождения и параметры этих солитонов даны в [2], а экспериментальные подтверждения существования таких решений недавно получены в [3,4].
= -с -----, где с - скорость солитона. При х2 +
Наложим на решение типа трехмерного солитона И0(х, г), д0(х, г), р0(х, г) малые возмущения:
И = И0(х, г) + £Н(х, г)е
д = д0(х, г) + £((х, г)ех,
р = ро (х, г) + £Р(х, г) е
д1 + 6А.( д_Л + 6. Л (ш\ = Л/И
д t 5 дху И ) 5 дгУ И ) 5 5У Эх
где £ ^ 0. Эти возмущения описываются задачей на собственные значения X:
др + 6д(др] + 6! (¿.Л = ЦИ А
дt 5 д х у И ) 5 д г у
5 5У Эг
дИ + дд + др = 0 дt дх дг
-рл (1)
Южный научный центр Российской Академии наук, Краснодар Кубанский государственный университет, Краснодар
_1_
55
Х с Ш + 6<1
д х 5 д х
-%0 Н + 2р ( И. Ио
5 д г
до Р+р е-щро н
дУ 2Н , ЭУ.
0 Эх
д х
-0 Н + Н + 2 Ц Н--2 (
Х Р- с —+ 6 Л
дх 5 дх
р Р + р_0 н
о
о
о
И
о
+ 6 д 5 д z
2
- p H + 2 P
h2 hu
5 5
dv2H + av2h
0 dz dz
u Я + 2 p0-P
1 и д<2^ дР „
1Я_сг + 3^ + 3- = 0, дх дх дг
где возмущения предполагаются ограниченными по пространству:
\П\, р, |я| <~, х2+г .
При х2 + г2 ^ ^ Н0 ^ 1, д0 ^ 1, р0 ^ 0 и (2) переходит в систему с постоянными коэффициентами.
Так как краевая задача рассматривается в бесконечной области, х е (-», г е то спектр (2) распадается на дискретную и непрерывную части [7] и возмущение может быть представлено в виде
H = X Ak (X, z)
V , e +
k = 1
+ J J A(a, ß)Y(x, z, a, ß)eX(a■ ß)tda dß, (3)
аналогично для (П и Р.
Собственные функции дискретного спектра затухают на бесконечности:
н, п, р ^ о при х2+г
Из трансляционной симметрии исходной системы (1) следует, что
{ Н П Р } - \дИоо ддо дРо 1
{Яь Р1} - 1 эх' эх' эх,
{ # Л р } = д^о дРо 1
{н2, р} = ^^, эт
являются двумя собственными функциями с нулевыми собственными значениями, 1 — 1 — 0.
Для того чтобы найти другие дискретные моды, мы применили тот же самый алгоритм, который использовался для численного нахождения трехмерного солитона: рассматривалось асимптотическое решение системы с постоянными коэффициентами для внешней области при х2 + г2 ^ Это решение представлялось в виде краевого условия для внутренней области х2 + г2 < Я2 для достаточно большого Я. Во внутренней области система представлялась в полярной системе координат, по углу
применялось разложение Фурье, а по радиусу бралась разностная схема. Система решалась итерациями, в ходе решения находилось собственное значение X. Неустойчивых собственных значений X > 0 найдено не было, и единственная дискретная мода X3 оказалась устойчивой, X3 < 0.
Локализованное возмущение в активной среде может быть неустойчивым к непрерывному спектру [8]. Плоскопараллельное течение вдали от горба солитона неустойчиво, и если считать трехмерный солитон источником локализованного шума, то этот шум образует в пространстве расширяющийся неустойчивый волновой пакет. Если солитон движется быстрее или медленнее пакета, он устойчив к непрерывному спектру, если же попадает в зону пакета - неустойчив.
Локализованное возмущение, вызванное непрерывным спектром, имеет вид
+ го + го
H(х, z, t) = J J A(a,ß)Y(x, z, a,ß)eX(a,ß)tdadß,
где ¥(х, z, a, ß) - собственная функция непрерывного спектра, A(a, ß) - ее амплитуда. При фиксированном t H ^ 0 при х2 + z2 ^ го, так как возмущение считается локализованным. Вдали от горба, где система (2) переходит в систему с постоянными коэффициентами, ¥(х, z, a, ß) переходит в элементарную наклонную синусоидальную волну, которая в движущейся со скоростью солитона c системе координат имеет вид
i(ax + ßz - act- rat)
¥(x, z, a, ß) ^ e Следовательно,
+ го + го
H = J J A(a, ß)K(x, z, a, ß)<
i(ax + ßz - act- rat)
dadß =
+ го + го / X , „z Ь
la- + ß- - ac - ra 11
JJ
AKe
da dß,
где К ^ 1 при х2 + г2 ^ ю — /X - комплексная частота.
Оценим интеграл при t ^ ^ и фиксированных
х г
- и -, когда наибольший вклад в интеграл вносит
область интегрирования вблизи седловой точки а* и в*, определяемой соотношением
дю ( а*, в *) = х _ дю ( а*, в*) = г да t , дв ^'
Принимая во внимание, что при больших х и г К — 1,
х г
вдоль лучей с постоянными - и - интеграл асимп-
h
u
о
n
+ го + го
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХМЕРНЫХ солитонов
195
x t
z t
x z
Рис. 1. Замкнутые кривые в координатах - и - отде-
деляют область автомодельно расширяющегося неустойчивого волнового пакета от невозмущенной области. Скорость расширения максимальна на переднем фронте ^Xj и минимальна на заднем фронте
(x)-• ' +
- const llt , ^ тотически при t ^ ^ переходит в H сс —-— е сo s(Yt +
+ ф). Множество точек , Zjj = 0 определяет
область неустойчивого "турбулентного" пятна. Это пятно расплывается в пространстве, сохраняя
форму, показанную для разных 8 на рис. 1. Анализ вычислений, представленных на рис. 1, показал, что 8 — 8* - 0.054 оказывается критическим: при 8 < 8* "турбулентное" пятно "накрывает" со-литон и разрушает его, при 8 > 8* солитон движется быстрее пятна и оказывается устойчивым. Прямой численный эксперимент с возмущенным локализованным шумом солитоном и интегрированием системы (1) подтвердил заключение линейного анализа устойчивости. На рис. 2 показан расчет эволюции локализованного сигнала на основе полной системы (1) при неустойчивом 8 — 0.035. Сигнал, развиваясь вниз по потоку, принимает форму подковки, типичной для трехмерных солитонов. Одновременно развиваются неустойчивые моды непрерывного спектра, приобретая форму пятна, подобного изображенному на рис. 1. Достаточно далеко вниз по потоку пятно приобретает конечную амплитуду и разрушает находящийся внутри пятна солитон.
2. Завершим сообщение сравнением нашей теории с недавно опубликованными экспериментальными результатами по трехмерным солитонам [3, 4]. Параметры использованной в экспериментах водоспиртовой смеси: плотность р — 931 кг/м3, кинематическая вязкость V — 2.7 • 10-6 м2/с, поверхностное натяжение - — 3.22 • 10-5 м3/с2 - определяют р
число Капицы у — 404.4. Единственный универсальный пар аметр нашей теории - модифицированное число Рейнольдса 8 - связан со среднерасходным числом Рейнольдса, использованным в экспери-
тз 11/9
5ч о
ментах, соотношением 8 — . В эксперимен-
86.6
тах солитоны были получены для трех значений
t = 22 t = 44 t = 66
Рис. 2. Эволюция нелинейного локализованного сигнала для 8 — 0.035 в разные моменты времени. Неустойчивые моды непрерывного спектра разрушают локализованный сигнал и принимают форму "турбулентного" пятна, форма
края которого описывается уравнением щ х , — 0.
18 /
Н 1.7
1.6
1.4 1.2 1.0
0.8
X, мм
10
10 мм
_|_I_I_I_I_I_
X, мм
Н 1.7
1.6 1.4 1.2 1.0
0.8
10 мм
Y, мм
-14
1.0
0.8
X, мм
Y, мм
Рис. 3. Сравнение наших теоретических профиля волны и сечений х = 0 и г = 0 (а) с экспериментальными [3, 4] для 5 = 0.061 (б).
устойчивость трехмерных солитонов
Таблица 1
Re 5 сэк, мм/с стеор, мм/с
2.5 0.035 125 127
3.9 0.061 209 213
4.8 0.078 248 268
числа Рейнольдса. Экспериментальная и теоретическая скорости сравниваются в табл. 1.
Согласно нашей теории, при первом значении Re = 2.5, 5 = 0.035 солитон неустойчив. Действительно, экспериментальный сигнал, показанный на рис. 3 а работы [4], не развился в стационарный солитон и скорее показывает признаки последующего распада. На рис. 3 дано сравнение экспериментальных и теоретических профилей волн для следующего значения числа Рейнольдса Re = 3.9, 5 = 0.061, где солитон устойчив, показывающее отличное количественное совпадение.
197
Работа частично финансировалась грантом РФФИ (05-08-33585а).
список литературы.
1. Калайдин Е.М, Власкин С.Ю., Демёхин Е.А., Кал-лиадасис С. // ДАН. 2005. Т. 405. № 6. С. 765-767.
2. Калайдин ЕМ, Власкин С.Ю., Демёхин Е.А., Кал-лиадасис С. // ДАН. 2006. Т. 406. № 1. С. 37-39.
3. Алексеенко СВ., Антипин В.А, Гузанов В.В. и др. // ДАН. 2005. Т. 405. № 2. С. 193-195.
4. Alekseenko S.V., Antipkin V.A., Guzanov V.V. et al. // Phys. Fluids. 2005. V. 17. P. 121704-1-17.
5. Шкадов В.Я. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43-51.
6. Демёхин Е.А, Шкадов В.Я. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5. С. 21-27.
7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
8. Chang H.-C, Demekhin E.A., Kopelevich DI. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.