МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2009
УДК 533.6.013.42
© 2009 г. |В. В. БОЛОТИН, В. П. РАДИН, В. П. ЧИРКОВ, А. В. ЩУГОРЕВ
УСТОЙЧИВОСТЬ УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА С УПРУГОЙ
ОПОРОЙ
Проводится систематическое исследование устойчивости участка трубопровода, наполненного невязкой движущейся жидкостью. Расчетная схема трубопровода представляется в виде стержня, один конец которого жестко защемлен в заделке, а другой опирается на упругую опору. В качестве параметров задачи принимаются относительная масса жидкости, расход жидкости и жесткость упругой опоры. Изучаются частоты и формы динамической потери устойчивости при различных критических значениях параметров. Исследуется поведение характеристических показателей на комплексной плоскости. Анализируется влияние жесткости упругой опоры на положение границ области устойчивости и тип потери устойчивости при переходе в критическое состояние.
1. Постановка задачи. Рассмотрим прямолинейный участок трубопровода, наполненный невязкой жидкостью, которая движется с невозмущенной скоростью и. Расчетная схема трубопровода может быть представлена в виде стержня с изгибной жесткостью Е1, погонной массой т0 и длиной ¡. Пусть один конец стержня жестко защемлен в заделке, а другой опирается на упругую опору жесткостью с (фиг. 1). Массу жидкости, приходящуюся на единицу длины трубопровода, обозначим через т, а перемещения сечений стержня при отклонениях от невозмущенной формы равновесия через -(х, г).
Будем считать движение жидкости одномерным, а условия на выходе из трубопровода такими, что осевые усилия от потока отсутствуют. Трактуем жидкость как подвижную нагрузку с интенсивностью сил инерции, равной -тй2-/йг2, где под оператором й2/йг2 понимается субстанциональная производная. Оператор внешнего рассеяния энергии считаем пропорциональным инерционному оператору. Тогда уравнения малых колебаний около невозмущенной формы равновесия - = 0 можно записать в виде
Э4- Э- Э2 - Э2^ 2д2к>
Е1—- + 2Ь (т0 + т) -г- + (т0 + т) —- + 2 ти----- + ти —- = 0 (1.1)
Эх4 Эг Эг2 ЭхЭг Эх2
где Ь - параметр внешнего трения.
Уравнение (1.1) необходимо дополнить граничными условиями
Э- п п Э2- „ Э3- с- , ,л
- = т— = 0 при х =0; —- = 0, —- = — при х = I (1.2)
Эх Эх2 Эх3 Е1
Введем безразмерные параметры
& х , 1 Е ь
£ = -, Т = Юо*, Юо = —' е = _
I 0 0 ¡Ц то Юо (1.3)
ц = т / (т0 + т), а = и л/ т12/(Е1), у = с13/( Е1)
V
£э---*
Фиг. 1
Здесь £ - безразмерная продольная координата, т - безразмерное время, ю0 - характерная частота, е - коэффициент внешнего трения, ц - погонная масса протекающей жидкости, отнесенная к суммарной погонной массе трубопровода и жидкости, а - расход жидкости через трубопровод, у - относительная жесткость упругой опоры. С учетом введенных параметров уравнение (1.1) и граничные условия (1.2) перепишутся следующим образом:
/1 чд4м 0 дм д2w 0 ¡—р.-г д2м 2,Л ,д1w „ ,, ..
(1 - дё +2ед- + ^ + 2а7ц( 1- э£м + а (1 - д[2 = 0 (1.4)
д м п >- п д2 м п д3м 1-1 /1 с\
м = — = 0 при £ = 0; —- = 0, —-г = ум при £ = 1 (1.5)
д£ д£2 д£3
Основным методом исследования неконсервативных задач теории устойчивости является динамический метод [1, 2], основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения исследуемого состояния системы. Это может быть либо положение равновесия, либо некоторое движение системы, устойчивость которого исследуется. Вообще говоря, эти задачи нелинейные, а уравнения, которые изучаются с точки зрения устойчивости их решения, представляют собой линеаризованные уравнения или, по терминологии Пуанкаре, уравнения в вариациях соответствующих нелинейных уравнений. Если учитывается диссипация энергии при колебаниях, то к этим уравнениям в полной мере применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. При этом исключается из рассмотрения так называемый сомнительный случай по Ляпунову, когда характеристические показатели для уравнений первого приближения находятся на мнимой оси. Роль уравнения первого приближения для исследования устойчивости тривиального положения равновесия рассматриваемой системы выполняет уравнение (1.4).
Невозмущенное состояние устойчиво, пока все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости. Неустойчивость наступает, когда хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Характер потери устойчивости зависит от того, каким образом это происходит. Если показатели пересекают мнимую ось с отличной от нуля мнимой частью, то потеря устойчивости системы происходит колебательным образом по типу флаттера. При переходе показателя через начало координат система теряет устойчивость, монотонно отклоняясь от исходного состояния. Такой тип потери устойчивости называется дивергенцией.
2. Метод решения. Для распределенной неконсервативной системы исследование устойчивости сводится к решению обобщенной краевой задачи на собственные значения с несамосопряженными операторами. Определение критических поверхностей и выделение областей неустойчивости для таких систем представляет достаточно сложную в вычислительном отношении задачу. Лишь в простейших случаях возможно построение неявной зависимости характеристических показателей X от
параметров системы. В отличие от систем с конечным числом степеней свободы, где аналогичная зависимость - полином относительно X, для распределенных систем, если это возможно, получают трансцендентные уравнения. При численной реализации такого метода исследования устойчивости (назовем его континуальным) целесообразно применение методов минимизации функции многих переменных [3, 4].
В силу линейности уравнения возмущенного движения (1.4) представим его решение ъ(х, 0 в виде
ъ(х, г) = Щх) ехр(Xг) (2.1)
Подстановка (2.1) в уравнение (1.4) приводит к обобщенной задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения
(1- ц) Ж1У + а2 (1- ц) Ж"+ 2 1- Ц) Ж + (X2 + 2 еХ) Ж = 0 (2.2)
с граничными условиями
Ж = Ж' = 0 при £ = 0; Ж" = 0, Ж" = уЖ при £ = 1 (2.3)
Характеристические показатели X, соответствующие нетривиальному решению однородной краевой задаче (2.2), (2.3), образуют дискретное множество.
Общее решение линейного дифференциального уравнения (2.2) можно записать в виде
4
Ж (£) = X с/'£
' = 1
где С' - некоторые постоянные, г ' - показатели, определяемые из алгебраического уравнения
(1- ц) г4 + а2( 1- ц) г2+ 2 Ха7ц( 1 - Ц) г + X2 + 2еХ = 0 (2.4)
В общем случае характеристические показатели X являются комплексными, образуя комплексно сопряженные пары. Следовательно, и коэффициенты алгебраического уравнения (2.4) комплексны, а его корни г1-4 уже не являются комплексно сопряженными.
Удовлетворение граничным условиям (2.3) и требование нетривиальности решения приводят к уравнению, определяющему границу области устойчивости в пространстве параметров системы
А
1 1 1 1
г1 г2 г3 г4
2 г1 2 г2 2 гз 2 г4
г1е 1 г2е 2 гзе г4е
/ 3 чг1/3 , г2 , 3 чгЭ/3 чг
(г1- У) е (г2- у) е (гз- у) е (г4- у) е
(2.5)
Определитель А в этом уравнении есть комплексное выражение, которое обращается в нуль, когда обращается в нуль его модуль |А|. Таким образом, любой характеристический показатель X является точкой абсолютного локального минимума |А|. Вычислительный алгоритм для определения критических значений параметров включает следующие этапы: фиксируются параметры системы; задаются начальные значения действительной и мнимой частей характеристического показателя X и через решение алгебраического уравнения (2.4) симплексным методом отыскиваются
координаты локального минимума |Л|. При других начальных значениях Яе^ и отыскиваются другие локальные минимумы. Начальные приближения могут быть оценены методом нормальных координат. Далее переходят к другим значениям параметров системы. Критерием достижения границы области устойчивости в пространстве параметров служит пересечение мнимой оси хотя бы одним характеристическим показателем, на котором достигается минимум целевой функции |Л|.
3. Метод нормальных координат. Более удобным в вычислительном отношении методом исследования устойчивости распределенных систем является метод нормальных (главных) координат. Решение ищут в виде разложения по формам собственных колебаний соответствующей консервативной системы. Уравнения относительно обобщенных координат могут быть получены методом Бубнова-Галеркина. При усечении рядов приходят к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы.
Представим решение уравнения (1.4) в виде ряда
w(S,T) = £ qk(т)фк(S)
(3.1)
k = 1
где фк(£) - формы собственных колебаний консольного стержня, опирающегося на дополнительную упругую опору, qk(т) - обобщенные координаты. При выборе числа членов ряда п необходимо кроме точности представления решения -(£, т) учитывать взаимодействие соответствующих форм при колебательном типе потери устойчивости. Если ввести в рассмотрение вектор обобщенных координат ц(т) и вектор собственных форм ф(£), то разложение (3.1) может быть записано следующим образом:
(3.2)
q1(T) Фl(S)
w(S,T) = qr (T) j(S), q (T) = qa(T) , j(S) = Ф2(S)
qn(T) Фn(S)
С использованием известных функций Крылова [3]:
VxS) = 1/2 [ cos (xS) + ch (xS)], S2(xS) = 1/2 [ sin (xS) + sh (xS)] ^з(х^) = 1/2[cos(xS) -ch(xS)], S4(xS) = 1/2[sin(xS) - sh(xS)]
для форм собственных колебаний имеем следующее выражение:
Фк (S) = S4(xk S) S3 (xk S)
где частотные параметры xk определяются из уравнения Y
cos x ch x + 1 ---3 (cos x sh x -sin x ch x)
x
0
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Применение процедуры метода Бубнова-Галеркина к уравнению (1.4) для вектора обобщенных координат д(т) дает уравнение
Aq + [ 2е A + 2а7ц( 1- Ц) B ] q + (1 - Ц)( C + а2 D) q = 0
(3.6)
n
30 25 20 15 10 5
у = 0
Ю(|) 1 \ \ \
/ / |' \ \
1 -.___' а»(|) — \ \ \
\ 1
\ \
0 0.2 0.4 0.6 0.8 |
Фиг. 2
где матрицы размерностью п х п вычисляются по формулам
1 1
(3.7)
А = ф (£) фГ(£) ^, В = ф' (£) фГ(£) ^
о о
11
С = | ф1У(£) фГ (£) ^, Б = | ф" (£) фГ (£) 4
оо
Представляя вектор обобщенных координат в виде Ч( О = ЧоехР №)
для характеристических показателей X имеем проблему с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.