ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2015
УДК 534.1, 621.1
© 2015 г. Банах Л.Я., Бармина О.В.
УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА С ПЛАВАЮЩИМИ УПЛОТНИТЕЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Рассматривается устойчивость ротора при вращении его внутри плавающего уплотнительного кольца. Аналитически найдена область устойчивости при вращении ротора. Показано, что неустойчивость наступает при более низких частотах, чем при отсутствии плавающего кольца. Обосновывается физический смысл введения комплексных переменных в роторных системах, предлагается способ разделения переменных, основанный на независимом анализе, колебаний при прямой и обратной прецессии.
Постановка задачи. Основными источниками потери устойчивости ротора являются циркуляционные неконсервативные, к которым относятся, в частности, гидродинамические силы. Рассмотрим роторную систему, в которой ротор вращается внутри плавающих уплотнительных колец. В зазоре между ротором и кольцами действуют гидродинамические силы, в результате действия которых возникают взаимосвязанные колебания ротора и колец. Чтобы пояснить характер колебаний в такой роторной системе, рассмотрим вначале одну секцию системы, представляющей из себя однодис-ковый ротор, вращающийся внутри плавающего уплотнительного кольца (рис. 1). Гидродинамические силы, возникающие в зазоре между ротором и кольцом, определяются перепадом давления протекающей жидкости p1 и p2 до и после уплотнительно-го кольца.
Уравнения собственных колебаний связанной системы "ротор—гидродинамические силы—кольцо" имеют вид
m1x1 + (х + h2)-£i + (k11 + h1)x1 + k12py + rah*y1 - h1x2 - rah*y2 = 0,
А фу + k22^y + Х2 py + k12x + G®px = 0,
m1y1 + (х + h2)y1 + (k11 + h1)у* + k12Px - юh*x1 - КУ2 + ®h*^2 = 0, (1)
Aфх + k22Px + Х2фx + k12У - G®(py = 0,
m2x2 + h2x2 + h1 x2 + rah*y2 - h1 x1 - rah*y1 = 0,
m2y2 + h2y2 + h2y2 - rah*x2 - h1y1 + юh*x1 = 0,
где x1, y1 — перемещения центра тяжести диска вдоль осей координат; фх, py — углы поворота вокруг этих осей; m1 — масса диска; A, G — экваториальный и полярный моменты инерции; ki j — суммарные коэффициенты упругости ротора на упругих опорах; %i —
Рис. 1
коэффициент внешнего трения; x2, y2 — перемещения кольца; h1 — гидростатическая жесткость; h2 — гидродинамическое сопротивление; rah* = 0,5rah2 — циркуляционная сила.
При ламинарном течении коэффициент h2 = const, а при турбулентном зависит от числа Рейнольдса [1, 2]
h2 = [ 12 + 0,256( F2Re)0'65 ], 12 53
где Я — радиус кольца; I — длина дросселирующего канала кольца; ц — динамический коэффициент вязкости среды; V — коэффициент, зависящий от энтальпии среды.
Коэффициент к1 зависит от степени турбулентности течения среды в зазоре и от перепада давления на уплотнительном кольце Ар = р1 — р2
= П-ША ц[о,8ц + 1 ^ Яе- '
25
2 5
где ц — коэффициент местных потерь давления; Сг — постоянная Блазиуса.
Для насосных и компрессорных агрегатов перепад давления Ар пропорционален квадрату частоты вращения ротора
к\ = ки (ю2/®2 X кг = А2«(®/®«),
где юп — номинальная скорость вращения ротора; к1п, к2п — значения гидродинамических коэффициентов на номинальной скорости вращения. Как показывает практика, гидродинамические силы действуют только в направлении поступательных координат.
В силу условий закрепления кольцо имеет только поступательные перемещения и возможность его поворота исключена. Внутреннее трение в уравнениях (1) не принимается во внимание исключительно для простоты выкладок, так как не вносит принципиально новых качественных результатов в проблему устойчивости по сравнению с гидродинамическими силами.
Физический смысл введения комплексных переменных. Разделение прямой и обратной прецессии. Положим, что колебания гармонические х1 = Х1е,х', фу = Ф1е'^', у1 = Уем, фх = Ф2еЛ', х2 = Х2е,х', у2 = У2е'х'. Подставляя в (1), замечаем, что переменные д1 = (х1, фу) описывают колебания в горизонтальной плоскости (х, г), а д2 = (у1, фх) — в вертикальной (у, г). Далее используем известный в роторных системах прием "спрессовывания" координат путем введения комплексной переменной [3, 4]
г = [*1,Ф1, *2], ^ = х1 + 1уи Ф1 = фу + IФх, ^ = х2 + гу2- (2)
Этот прием обычно используется без какого-либо физического и математического обоснования. Тем не менее достаточно просто установить его физический смысл, а также внести математическую корректность. Физический смысл преобразования (2) заключается в следующем: в определенном смысле оно аналогично известному преобразованию координат
X = 1 1 1 X
у 2 1 -1 У
для разделения на симметричные и кососимметричные колебания в системах, имеющих ось симметрии. Но во вращающемся роторе ось симметрии вращается вместе с ротором. При этом переменные, описывающие колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (х, г) и (у, г) совершают одинаковые колебания, но со сдвигом фазы, равным +п/2, в случае прямой прецессии. Этот сдвиг фаз в преобразовании координат (2) отражает комплексная единица ега/2 = г.
Что касается математической корректности, то спрессовывание координат (2) уменьшает порядок уравнений вдвое, в то время как для корректного математического преобразования уравнений необходимо, чтобы преобразование координат не изменяло порядка исходной системы. Поэтому для сохранения порядка уравнений введем сопряженную величину
= [г*,Ф*, г* ], г* = - 1уи Ф* = ф„ - iфx, г* = Х2 - у.
(3)
При преобразовании (3) переменные, описывающие колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (х, г) и (у, г), совершают одинаковые колебания, но теперь уже со сдвигом фазы, равным —я/2, что соответствует обратной прецессии. Этот сдвиг фаз отражает коэффициент —г = е-га/2.
В матричном виде преобразование координат (2) и (3) имеет вид
- N
У1 1 /
фу 1 / Е I
У1 , N = 1 -/ = Е -I , Е = 1 , I = /
Фх 1 -/ 1 / _ 1 /
х2 1 / . 1 -/
_У2_ . 1 -/
*
г
Используя это преобразование координат, можно формализовать введение комплексных переменных (2), (3) в исходные уравнения. Для этого запишем уравнения (1) для амплитуд колебаний в матричном виде
DZ = Б
Оц
Б21 Б22 Б23 Б31 Б32 Б33
(4)
где D;/ — блоки матрицы D имеют следующий вид:
2
2
2
2
2
2
Бп = Б22 = -МХ2 + гС1 + К =
Б12 = -Б2! =
-тХ + г'Х(% + к2) + (к11 + к1) к
12
к
21
-АХ + ;Х%2 + к
ю к* 0 , Б13 = -к1 -юк * , Б23 = -к1 юк*
_ 0 1ХюО_ . 0 0 _ . 0 0 _
Б
31
-к1 0 юк* 0
Б
32
-ю к * 0 -к1 0
Б
33
-т2 Х + г Хк2 + к1 -юк*
юк *
-т2Х + г Хк2 + к1
М — матрица инерционных элементов; К — матрица упругости, полагаем далее для простоты X; = 0. Внедиагональные блоки Б12 = —Б21 кососимметричны.
Уравнения (4), записанные в новых спрессованных координатах г, г* (2) и (3), формально получаются в результате матричного умножения Б = (К-1)БК. После выполнения этого умножения видно, что матрица Б разделяется на два независимых блока
Б =
Бц =
Бц 0 0 ¿22
2
Б22 (ш) = Б11 (-ш),
-тХ + гХ(х + к2) + (кц + к1) - гшк* к
12
-к^ + гшк *
12
2
-АХ + г Х%2 + к2 + ХшО 0
-к1 + гшк*
2
-т2Х + гХк2 + к1 - гшк*
(5)
Блок ББ11 (ю) соответствует прямой прецессии и отвечает преобразованию (2), а
блок Б22 соответствует обратной прецессии и преобразованию (3). Они отличаются друг от друга только знаком при угловой скорости ю.
Из (5) следует, что взаимодействие подсистем ротора и кольца обусловлено членом —к1 + ;юк*. Из уравнений (5) можно найти собственные значения Х(ю). Из анализа
блока Б22 следует, что при обратной прецессии гироскопический момент входит со знаком минус, т.е. гироскопические члены повышают жесткость в направлении угловых координат при прямой прецессии и уменьшают при обратной прецессии. Из (5) также видно, что при вращении ротора с удвоенной критической скоростью 2Х0 = ю циркуляционные гидродинамические силы не работают.
Условия устойчивости системы "ротор—плавающее уплотнительное кольцо". Неконсервативные циркуляционные составляющие гидродинамических сил могут служить источниками возникновения неустойчивости. Эти физические свойства отражаются в структуре матрицы Б (4): консервативные силы (упругие и гидроупругие силы, а также гироскопические члены) описываются действительными матрицами, в то время как матрицы, описывающие неконсервативные циркуляционные силы чисто мнимые.
Для ротора с одним диском без уплотнительного кольца проблему устойчивости под действием циркуляционных сил исследовали многие авторы путем применения условий Рауса—Гурвица
Г Сл+Х + Лх0 > ю Г1 ++ к-. = юГ - + —11 + Лап.),
Г к2 ) ° 2Г к2 ) к2 Г2 к2 к2П ю/
0
где к11 + к1)/т = — критическая скорость ротора с учетом гидроупругой силы; с11 — коэффициент силы внутреннего демпфирования; ка — аэродинамические (венцо-вые) силы.
Из (6) следует, что: граница области устойчивости повышается за счет повышения суммарной жесткости системы, и система остается устойчивой при скорости, превышающей удвоенную критическую скорость невращающегося вала, равную 2— = Л/к11 /т ;
аэродинамические силы понижают границу области устойчивости, а вязкое демпфирование несколько повышает ее.
При отсутствии внутреннего и внешнего демпфирования и венцовых сил для ротора при отсутствии кольца получим известное условие устойчивости [5]
ю < 210.
(7)
Что касается обратной прецессии, то ее область устойчивости совпадает с областью неустойчивости прямой прецессии.
Однако при динамическом анализе математической модели реальной многосекционной конструкции применение условий Рауса—Гурвица становится практически невыполнимым, так как порядок матрицы Б становится очень большим. Поэтому предлагаем способ, основанный на выделении слабых динамических взаимодействий в роторной системе и дальнейшем применении методов теории возмущений [6, 7]. Этот подход справедлив для общего случая многомассовой системы с произвольным числом степеней свободы. Основная идея предлагаемого подхода состоит в следующем.
С учетом гидродинамических сил матрицы Б11(ю), Б22(ю) имеют комплексные частоты, в то время как без учета этих сил имеются только чисто мнимые корни. Устойчивость решения определяет именно знак действительной части поправки к собств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.