МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 532.5.013.4
© 2014 г. А. В. ПЕРМИНОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ ЖЕСТКОГО СОСТОЯНИЯ ОБОБЩЕННОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ
Приведены уравнения термовибрационной конвекции обобщенной ньютоновской жидкости в случае высокочастотных вибраций. Сформулировано условие квазиравновесия обобщенной ньютоновской жидкости, частный случай которого — условие жесткого (квазитвердого) состояния. Исследована устойчивость жесткого состояния бесконечного наклонного слоя нелинейно-вязкой жидкости Уильямсона. Показано, что при подогреве снизу жесткое состояние может потерять устойчивость при ориентациях слоя, близких к вертикальным или горизонтальным. Высокочастотные вибрации стабилизируют равновесное состояние жидкости.
Ключевые слова: неньютоновская жидкость, реология, наклонный слой, вибрации, устойчивость.
Жидкости, для которых тензор напряжений сдвига в каждой точке представляет некоторую функцию только от тензора скорости сдвига е¡/ в той же точке, называют обобщенными ньютоновскими и подразделяют на четыре группы: вязкопластичные (бингамовские пластики), псевдопластичные (псевдопластики), дилатантные и ньютоновские [1—3]. В настоящей работе рассматриваются первые три типа жидкостей. Причем при описании вязкопластиков вместо общепринятого для этих жидкостей разрывного реологического уравнения Шведова—Бингама используется непрерывное уравнение Уильямсона. Аргументацию в пользу такой замены в конвективных задачах и задачах устойчивости можно найти, например, в работах [4—7].
Термовибрационная конвекция в обобщенных ньютоновских жидкостях описывается уравнениями, которые по своему виду отличаются от известных уравнений Зень-ковской—Симоненко [8] только вязким слагаемым. В работах [9, 10] в высокочастотном пределе приводится вывод осредненных уравнений термовибрационной конвекции и вид осредненных тензоров вязких напряжений для рассматриваемых типов жидкостей. В [10] формулируется условие квазиравновесия обобщенной ньютоновской жидкости, частным случаем которого является условие жесткого (квазитвердого) состояния. Уравнения термовибрационной конвекции и осредненные тензоры вязких напряжений для нелинейно-вязких жидкостей приведены в первой части работы. Здесь же сформулированы условия квазиравновесного и жесткого состояний этих жидкостей.
Во второй части работы приводится постановка задачи устойчивости квазиравновесного и жесткого состояний. В поле тяжести задача об устойчивости жесткого состояния обобщенной ньютоновской жидкости совпадает с задачей для обычной ньютоновской жидкости [11, 12]. Жесткое состояние в бесконечном слое ньютоновской жидкости, имеющем твердые границы, возможно только при одновременном совпадении направления вибраций, поля тяжести и градиента температуры либо в невесомости. В [11] найдены критические значения гравитационных чисел Рэлея, определяющих порог устойчивости равновесия для различных углов наклона слоя. Показано, что вибрации стабилизируют жесткое состояние жидкости.
В вязкопластичной жидкости жесткое состояние реализуется в поле тяжести при любой ориентации градиента температуры относительно поля тяжести. При включении вибраций жесткое состояние возможно только при совпадении направления вибраций с направлением градиента температуры. Следуя работе [11], можно выделить четыре характерные конфигурации наклонного слоя жидкости, ограниченного твердыми границами и подогреваемого снизу, в которых реализуется жесткое состояние. В этих конфигурациях фиксируется направление градиента температуры и вектора вибраций относительно слоя. Исследованию устойчивости жесткого состояния слоя вязкопластичной жидкости посвящена третья часть данной работы.
1. Уравнения термовибрационной конвекции и равновесные состояния жидкости. В [9] было показано, что в поле высокочастотных вибраций осредненные безразмерные уравнения термовибрационной конвекции для обобщенной ньютоновской жидкости имеют вид
divw = 0, гс^ = УТ х п
где и — вектор скорости медленного конвективного движения, w — амплитуда быстрого пульсационного движения, T и p — температура и давление; т — осредненный тензор вязких напряжений определяется реологией жидкости; у — единичный вектор, направленный против поля тяжести; п — единичный вектор, определяющий направление вибраций. При обезразмеривании вводились масштабные множители: для полей T и w — характерная разность температур 9 [13], координат — характерный размер полости h, времени — Н2р/ц, скорости — ц/(рН) и давления — ц2/(р^). Здесь ц — динамическая вязкость жидкости, физический смысл которой определяется конкретным реологическим законом, р — плотность жидкости. В (1.1) входят следующие критерии подобия: Ог = £Р9р2Н3/ц2 — гравитационное число Грасгофа, Gv = (аюР9рН/ц)2 — вибрационное число Грасгофа, Рг = ц/ (хр) — число Прандтля, где Р и х — соответственно, коэффициенты теплового расширения и температуропроводности.
При выводе уравнений (1.1) вводилась иерархия времен t_ =Ш, ^ = t, —1 —2
^ = ю t, t2 = ю t .... Все физические поля расщеплялись на пульсационную часть, зависящую от t_, и медленную осредненную часть, зависящую от «медленных» (конвективных) времен t2,.... «Быстрое» время t_ имеет один порядок с малым параметром ю-1. Амплитуда скорости пульсаций а ю считается конечной [14].
Типичными представителями рассматриваемого класса жидкостей являются неньютоновские жидкости Бингама, Уильямсона и Освальда де Виля [1-3], которым соответствуют осредненные по быстрому времени t_ реологические уравнения [10]
— + (иУ)и = -Ур + Divт + ОгТу +1 Gv • wV(Тп - w) дt 2
— + иУТ = — ДТ, divu = 0 дt Рг
1
(1.1)
(1.2)
|т2 < ВИ: 1оо = 0
2п г- / ч -| 2п
= 2П /[[b^ + 1J^f-, tJ = 2ПI[(VI00rj-
eOij =^Gve wijsint _ + euij, I00 = 2 e0iJe0 n
где число Бингама Bh = ph2x0/ц2 , динамический предел текучести D = ph2A/ц2; реологические параметры моделей: b = ph2в/ц^, K = k(^aJph1)".
Тензор скоростей сдвига при выводе (1.2) разделяется на две части: ewij = = (dwi/dxj +dwj/dxi) определяется амплитудой скорости пульсаций; euij = = (du^ dxj + duj I dxj) — скоростью осредненного конвективного движения. Для модели Бингама: т0 — предельное напряжение сдвига, ц ^ ц p — сдвиговая вязкость, т2 = т^ц/2 — второй инвариант тензора вязких напряжений. Для жидкости Уильямсона: A и B — реологические параметры, ц ^ ц „ — вязкость при больших скоростях сдвига. При малых значениях параметра B жидкость Уильямсона близка по своим свойствам к бинга-мовскому пластику, тогда A приобретает смысл динамического предела текучести [15]. Для степенной жидкости Освальда де Виля: k — консистентность жидкости, а n — показатель ее неньютоновости.
Под квазиравновесием жидкости, находящейся в поле высокочастотных вибраций, будем понимать такое её состояние, при котором на фоне быстрого пульсационного движения отсутствует медленное осредненное течение жидкости, т.е. u = 0, euij = 0, d/dt = 0. В этом случае система (1.1) после применения к ней оператора rot и исключения давления примет вид
rot Div т0 +1 GvV(w0n) х V 70 + GrV 70 x у = 0
2 (1.3)
A70 = 0, divw0 = 0, rotw0 =V70 x n
где т0, w0, 70 — тензор вязких напряжений, амплитуда пульсационной скорости и температура, соответствующие равновесному состоянию. Уравнения (1.3) — обобщением условий, полученных в работе [11].
Частным случаем квазиравновесного состояния жидкости является жесткое состояние. В этом случае в жидкости отсутствуют какие-либо течения w0 = 0, e0ij = 0, т.е. жидкость и сосуд совершают колебания как единое целое. Условие для жесткого состояния жидкости
rotDivт0 + GrV70 х у = 0, А70 = 0, V70 х n = 0 (1.4)
Видно, что вибрационное число Грасгофа не влияет на жесткое состояние. Для жидкостей (1.2), кроме вязкопластичной, rotDivx0 = 0, т.е. жесткое состояние возможно в невесомости, либо когда V70 х у = V70 х n = 0. При отсутствии вибраций для неизотермической обобщенной ньютоновской жидкости выполняется условие равновесия GrV70 х у = 0, которое для ньютоновской жидкости приведено в [16]. Там же обсуждается ряд задач по исследованию устойчивости равновесия ньютоновской жидкости.
Особняком стоят вязкопластичные жидкости, для которых характерно наличие предельных напряжений сдвига. Если напряжения, возникающие в жидкости, меньше предельных, то жидкость находится в жестком состоянии. Равновесный градиент температуры задается единичным вектором V70 = m. В отсутствие вибраций жесткое состояние
возможно при произвольной ориентации m. Для реализации жесткого состояния в поле высокочастотных вибраций необходимо выполнение условия m х n = 0.
2. Постановка задачи устойчивости квазиравновесия жидкости Уильямсона. Внесем малые возмущения в квазиравновесное состояние жидкости Уильямсона иь T = T0 + Tx,
Р = Р0 + Pi, w = wо + wi, t = т0 + Ti. Подстрочные индексы 0 и 1 обозначают функции, описывающие основное состояние и возмущения. Линейная по возмущениям задача запишется в виде
^ = -Vp1 + Dívt1 + Gr7iy +1 Gv • w0V Tn - w1) + dt 2
+ 2Gv • WiV (T>n - w0) (2.1)
dT 1
—1 + ViVT0 = — AT¡, dív Vi = 0, div w. = 0, rot wi = VT x n
dt Pr 1 1 11
Вносим малые возмущения в компоненты тензора скоростей сдвига (1.2) ewij = e0ij + ву, euij. Второй инвариант тензора скоростей сдвига с точностью до линей-
2 2
ных по возмущениям слагаемых примет вид 100 = 0.5 • Gve0y sin t_ + 11, где 11 = Gve0jey sin21_ + VGVe0jevy sin t_
Разложим функцию f = d/(b + <J0.5GveÓy sin2 t_ + 11) в ряд по малой переменной I1 и учтем только линейные по I1 слагаемые
D D11 „ 1^2.2. -¡=--■—1 т ,— + ..., E0 =-Gve0jsin t
b + VE) 2(b + VE))VE0 2 j
Выпишем осредненную по периоду вибраций и линейную по возмущениям часть тензора вязких напряжений
= -± Г П/|+± Г+ Л(^ ^ + )Ъг_ (2.2)
1 2П 0 2(6 + 4Ё0)24Ё^ 2п 0 Ць + 7^0 ^ 1 1 _
В жестком состоянии (2.2) принимает простую форму Тщ = увиу, где V = D| Ь +1 — эффективная кинематическая вязкость. В случае вязкопластичного предела Ь — 0, v —> да. Для ньютоновской жидкости Б = 0, V = 1.
Изменим характерный масштаб полей возмущений и времени V* = vv1,
Т* = у71/Рг, w* = vw1/Pr, г* =у( и запишем уравнения (2.1) для возмущений жесткого состояния в новых переменных
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.