МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 539.3
© 2015 г. С. А. ЛУРЬЕ, Е. Л. КУЗНЕЦОВА, Л. Н. РАБИНСКИЙ, Е. И. ПОПОВА
УТОЧНЕННАЯ ГРАДИЕНТНАЯ ТЕОРИЯ МАСШТАБО-ЗАВИСИМЫХ (SCALE-DEPEND) СВЕРХТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ
Строится вариант уточненной неклассической теории тонких стержней, толщина которых соизмерима с масштабной характеристикой структуры материала. Для этого мы привлекаем градиентную теорию упругости, которая в отличие от классической теории содержит дополнительные физические характеристики, зависящие от масштабных параметров структуры и, поэтому, является наиболее подходящей для моделирования деформаций масштабо-зависимых систем. Впервые устанавливаются фундаментальные условия корректности градиентных теорий, показывается, что некоторые из известных прикладных градиентных теорий в общем случае не подчиняются критерию корректности. Предлагается вариант корректной градиентной теории деформаций, удовлетворяющей условию симметрии. В дальнейшем корректная градиентная теория деформаций используется при реализации метода кинематических гипотез для построения уточненной теории масштабозависимых стержней. Получены уравнения равновесия уточненной теории масштабозависимых стержней Тимошенко и стержней Бернулли. Установлено, что масштабные эффекты локализуются в окрестностях торцов стержней и, следовательно, учет масштабных эффектов не дает поправки в изгибную жесткость для длинных стержней, как это было указано в ранее опубликованных работах, посвященных масштабозависи-мым стержням.
Ключевые слова: градиентные теории упругости, тензор градиентных модулей, условие корректности, кинематические соотношения, вариационный метод, масштабозависимые стержни, уточненная теория.
1. Введение. Интерес к особенностям деформирования тонких структур напрямую связан с перспективами развития высокочувствительной аппаратуры, современных аэрокосмических систем, а также средств микроэлектроники, биологических систем, новых технологий физических исследований. В таких структурах толщина исследуемых элементов может становиться соизмеримой с характерными размерами микроструктуры материала, и возникает вопрос о применимости классических подходов к описанию деформации рассматриваемых элементов. В результате актуальной становится проблема учета масштабных эффектов, связанных с учетом зависимости физических свойств материала от характерного размера микроструктуры материала, а также явления возрастания вклада поверхностных процессов по сравнению с объемными. В настоящее время значительный интерес проявляется к учету масштабных факторов, то есть к учету параметров, характеризующих структуру материала в прикладных задачах теории упругости. Масштабные эффекты нашли экспериментальное подтверждение при исследовании изгибной жесткости консольных стержней из алюминия, полипропилена и эпоксидной смолы [1—3]. Подобные эффекты не могут быть учтены при использовании классической теории упругости, которая не принимает во
внимание масштабные параметры. Наоборот, градиентные теории включают дополнительные параметры размерности длины и вполне подходят для моделирования масштабных эффектов.
В настоящее время существует значительное число публикаций, посвященных анализу деформаций стержней с учетом масштабных эффектов с использованием прикладных градиентных теорий упругости. Отметим здесь некоторые недавние интересные работы в этой области [4—7], в которых использованы градиентные модели первого порядка. Отметим, что в этих работах теории стержней строились путем прямого применения кинематики теории стержней Тимошенко для формулировки физических соотношений в усилиях и моментах и для получения уравнений равновесия путем интегрирования по толщине либо путем использования вариационного подхода без анализа всего спектра краевых условий на продольных поверхностях стержня. Т.е. фактически в этих работах отсутствует анализ соответствия между классической кинематикой теории стержней и обобщенной теории упругости с расширенным спектром силовых взаимодействий.
В статье дается анализ градиентных теорий упругости и впервые указывается на свойства симметрии тензора градиентных модулей упругости, которые можно считать критерием корректности. Предлагается простейшая полностью симметричная градиентной теории деформаций. В дальнейшем, в третьем разделе статьи, уравнения неклассической масштабно-зависимой теории стержней Тимошенко выводятся с использованием вариационного формализма, применяемого для построения прикладных теорий стержней и пластин. Показывается, что полностью симметричная градиентная модель является согласованной с формальной кинематикой теории стержней. Приводится качественное исследование решений построенной теории масштабозави-симых стержней для тестовых задач изгиба, анализируются собственные частоты. Дается сравнительный анализ полученных решений с решениями, полученными в работах [6, 7].
2. Градиентные теории упругости. Рассмотрим вариационную постановку линейной градиентной теории упругости в перемещениях для изотропных центросимметричных материалов. Используя принцип Лагранжа, получим:
6о = 0, О = и - А (2.1)
и = 2 |СукЛ,]Як,1^У + 1 \С1ук1тпЯ1,уЛ^
А = | /ЛйУ + (| {Ц + дЛ упу ^
Здесь и — потенциальная энергия деформации обобщенной среды, записанная с учетом градиентов дисторсий, А — работа внешних сил, заданных в объеме тела и на его
поверхности, Я — вектор перемещений, Я,у = дЯ1/дху, Я,ук = д Я//дхудхк, /{ и г,-, д — векторы заданных сил в объеме тела У и на его поверхности 5, щ — нормаль к поверхности тела в рассматриваемой точке, С¡ук1 и Сук1тп — соответственно тензор модулей классической теории упругости и тензор шестого ранга градиентных модулей для изотропных материалов. Компоненты тензора напряжений ау и псевдотензора и "мо-ментных" напряжений ^¡ук определяются равенствами Грина:
О ¡у = дЕ/дЯ1, у = С1ук1Як,Ь Цук = дЕ/дЯ1, ук = Сук1тпЯ1,тп (2.2)
Предполагается, что для тензоров классических и градиентных модулей выполняются следующие необходимые условия потенциальности:
дк1 СкЫ], Сук1тп С1тпдк
С,
(2.3)
Для изотропной симметричной теории упругости тензор модулей упругости Сщ определяется через коэффициенты Ламе X, р: Сук1 = Х8у8 к1 + |а(5гк8 ^ + 8ц8 ¡к), где 8у — дельта Кронекера.
Градиентную теорию упругости, в которой потециальная энергия определяется тензором дисторсии будем называть градиентной теорией дисторсии. Более частным случаем, когда имеет место симметрия по первым двум индексам в тензорах упругости, является градиентная теория деформаций. Для определения структуры тензоров градиентных модулей упругости в теории деформаций следует ввести дополнительно условия симметрии по первой паре индексов:
Сцк1тп = С]1к\тп (2.4)
Вычисляя вариацию функционала потенциальной энергии (2.1) получаем уравнения равновесия и естественные статические граничные условия для градиентной теории упругости:
Если на части поверхности упругого тела заданы поля перемещений и поворотов Я, дЯ/дп, то статические граничные условия (2.6) должны быть дополнены кинематическими краевыми условиями для вектора перемещений Я и вектора нормальных первых производных Я ( Я = дЯ /дп = пу (дЯ/дху)):
Я = Я, Яп = дЯ/дп
Система разрешающих уравнений (2.5), записанная в перемещениях, имеет повышенный порядок по сравнению с уравнениями Ламе классической теории упругости. Расширенный спектр краевых условий обеспечивает полноту формулировки краевой задачи и, в частности, позволяет обеспечить более полное сопряжение по кинематическим и статическим факторам в контактных задачах. Неклассические граничные условия для "моментных" напряжений позволяют дополнительно к усилиям на поверхности учесть влияние заданных внешних моментных факторов, приложенных на границе поверхности тела.
Рассмотрим подробнее тензор модулей упругости шестого ранга, определяющий физические свойства сред, связанные с масштабными характеристиками рассматриваемых материальных структур. Для изотропных тел тензор неклассических градиентных модулей (шестого ранга) имеет в общем следующую структуру [8, 9]:
Сук1тп = С1<5у8к/8 тп + кт^1п + кп^1т + тп + уп$Ы +
+ ¡п^1т + ]Фтп + ут^кп + ¡п^кт + С105™$уФы + (2.7)
+ С11<5™3 ]\Ькп + СПр1п$ к1 + С13<5т<5 ¡Фы + С1Ап<3 кт + С15ут^к\
При этом тензор градиентных модулей упругости С ук1тп должен удовлетворять условиям потенциальности (2.3).
Отметим одно важное обстоятельство. В градиентной теории упругости тензор кривизн Я, ¡к = Я,ку является симметричным в отношении индексов ук, т.е. вторые производные от вектора перемещений не должны зависеть от порядка дифференцирования.
°у,у - №ук,к] + Л - 0
^укп]пк = Чь ЪцШ - Р-уКп - (Р-укпк),у + (^дкп]пк),1п1 = и
(2.5)
(2.6)
Это соответствует условию существования непрерывных дисторсий Я у. Рассмотрим выражение для псевдотензора моментных напряжений ^¡ук в (2.2) и представим в этом выражении тензор градиентных моделей упругости в виде симметричной и антисимметричной составляющих относительно индексов тп:
Цук = (1/2)(Сук1тп + Сук1пт)Я1,тп + (1 /2){Сук1тп - Сук1пт)Я1,тп = Цук + Ц1]к
Очевидно,что
Мук _ Сук1тпЯ1,тп = (1/2)(Сук1тп + Сук1пт)Я1,тп
Следовательно, можно говорить о том, что антисимметричная часть тензора градиентных модулей Сук1тп в отношении второго—третьего и пятого—шестого индексов является "невидимой" в отношении тензора моментов ^¡ук. Более того, очевидно, что антисимметричная часть тензора градиентных модулей Сук1тп является "энергетически невидимой" и в выражении для градиентной плотности энергии деформации Сук1тпЯ1 ¡Л тп в силу того, что свертка симметричных и несимметричных тензоров равна нулю. Аналогично, нетрудно видеть, что антисимметричная часть тензора градиентных с модулей Сук1тп относительно второго—третьего и пятого—шестого индексов является и "статически невидимой". Т.е. уравнение равновесия (2.5) выполняется при любых значениях (1 /2)(Сук1тп - Сук1пт). С другой стороны, нетрудно проверить, что антисимметричная часть тензора градиентных модулей упругости Сук1тп дает ненулевой вклад во второе краевое условие (2.6), сформулированное относительно перемещений, что недопустимо для корректной теории. Так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.