МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 541.64:539.3
© 2014 г. С. Л. БАЖЕНОВ
УВЕЛИЧЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ШЕЙКИ
В ПОЛИМЕРАХ
Исследован разогрев при распространении шейки в полимерах. Модифицировано уравнение теплопроводности, описывающее температуру шейки. Получено аналитическое решение, описывающее максимальную температуру шейки. Разработан метод определения коэффициента теплоотдачи. Температура разогрева шейки в полиэтилентерефталате может достигать 155°С, что значительно выше, чем принято считать. Для поликарбоната соответствующее значение составляет лишь 31°С.
Ключевые слова: полимеры, шейка, растяжение, температура, адиабатический разогрев, холодная вытяжка, предел текучести.
1. Введение. При растяжении упругого материала в адиабатических условиях, когда теплоотдачей в окружающую среду можно пренебречь, обычно наблюдается небольшое уменьшение температуры, называемое эффектом Томсона [1]. Типичная величина снижения температуры не превышает одного градуса [2, 3]. В отличие от упругого поведения при пластическом деформировании полимеров температура возрастает [4—9]. Разогрев при пластическом течении полимеров аналогичен разогреву жидкости при совершении механической работы в опытах Джоуля. По величине это явление в полимерах примерно в сто раз сильнее эффекта Томсона. При анализе тепловыделения в [5] предположено, что вся производимая механическая работа переходит в тепло.
Согласно экспериментальным данным [10] в полиэтилентерефталате (ПЭТФ) вся механическая работа целиком переходит в тепло. В последующих публикациях показано, что некоторая доля работы способна накапливаться, особенно при небольших деформациях (<20—30%) [11]. Доля работы, выделяющейся в виде тепла при распространении шейки, варьируется в пределах 0.7—1 в зависимости от полимера [7]. Для полиэтилентерефталата (ПЭТФ) она возрастает при увеличении скорости растяжения и может превысить единицу [7], что обусловлено кристаллизацией при быстрой вытяжке.
Данные различных авторов о величине температуры разогрева различаются. Для адиабатических условий температура разогрева поливинилхлорида (ПВХ) и ПЭТФ оценена теоретически как АТ = 59 и 57°С соответственно [5, 12]. Первое значение примерно в 10 раз превышает экспериментально полученную температуру разогрева при скорости растяжения 18 мм/мин [5, 6]. Напротив, для ПЭТФ оценка совпадает с экспериментальным значением АТ = 57°С при скорости растяжения 500 мм/мин [13]. В [14] получено значительно более высокое значение температуры разогрева ПЭТФ, равное 100°С.
Разогрев ПЭТФ и поликарбоната (ПК) в неадиабатических условиях экспериментально исследован лишь в двух работах [13, 15]. Показано, что при малых скоростях растяжения, когда практически всё тепло уходит в окружающую среду, температура полимера близка к комнатной. При увеличении скорости растяжения до 500 мм/мин температура ПЭТФ и ПК возрастает на 57°С и 25°С соответственно.
Зона тепловыделения
Зона прогрева 8
Г\
V
Неориентированный
полимер
N
X
Фиг. 1
Разогрев может приводить к автоколебательному распространению шейки, состоящему в периодическом чередовании скачков и замедления фронта шейки [16, 17]. Эти скачки сопровождаются колебаниями температуры [14]. Развитие теории неадиабатического разогрева при вытяжке полимеров было непростым и до данной работы сводилось к теории автоколебательного распространения шейки. Первый шаг в создании теории сделан в [18], где предложена модель, сводящая уравнение теплопроводности к дифференциальному уравнению первого порядка. Иными словами, был предложен новый математически некорректный метод. Температура и растягивающее напряжение описывались системой из двух дифференциальных уравнений первого порядка, анализ которых весьма прост. В модели Баренблатта имеются две серьезные неаккуратности, и дальнейшее развитие теории состояло в их устранении. В [19] сделан отказ от модели Баренблатта и возврат к классическому уравнению теплопроводности. Уравнения Баренблатта и Тоды объясняют автоколебания в принципе, но конкретно для ПЭТФ они предсказывают их отсутствие, что обусловлено недооценкой разогрева. Поэтому в [19] использован подгоночный параметр, увеличивающий величину разогрева в 2.5 раза. Эта неаккуратность была исправлена в [20], что позволило объяснить появление автоколебаний в ПЭТФ. Тем не менее, проверка теории выявила 102— 104-кратное расхождение с экспериментальными значениями критической податливости возникновения колебаний, что явилось следствием использования модели Баренблатта [21]. Обе основные неаккуратности были исправлены в работе [22], в результате чего было достигнуто удовлетворительное согласие с экспериментом [23]. Разработанный математический подход является общим и может быть применен для описания температуры при стационарном распространении шейки.
Целью данной работы является получение аналитического распределения температуры при стационарном распространении шейки, а также сравнение теории с экспериментальными данными.
2. Метод и решение. При выводе основных уравнений предполагалось, что тепло выделяется в бесконечно тонкой переходной зоне (Ах ^ 0 на фиг. 1), где локализовано пластическое течение и ориентация полимера. Деформирование полимера считалось упругопластическим, т.е. предполагалось, что он ведет себя упруго при напряжении ниже предела текучести и течет при пределе текучести. Начало системы координат располагалось в зоне тепловыделения (фиг. 1). Изменение растягивающего напряжения описывается уравнением [20]:
¿ст = V- ( X - 1) и <Н Б
(2.1)
Здесь ст — растягивающее напряжение; V — скорость растяжения; и — скорость распространения шейки; X = Ь/Ь0 — степень вытяжки полимера в шейке, равная отношению длины образца Ь после прохождения шейки к начальной длине Ь0; В = АЬ/ст — податливость системы при упругом растяжении в расчете на единицу площади поперечного сечения; АЬ = Ь — Ь0 — удлинение образца. Уравнение (2.1) при X = 2 сводится к соответствующему уравнению Баренблатта [18].
Предполагалось, что поток тепла в окружающую среду пропорционален величине разогрева ЬТ = Т — Т0 и площади теплового контакта, что соответствует охлаждению конвективными потоками. Скорость неориентированного полимера относительно переходной зоны равна и, и температура пленочного образца описывается уравнением [22]:
дТ = Щ + идГ -2РСГ-Т0) (2.2)
дг дх дх рек
Здесь Т и Т0 — температура полимера и окружающей среды соответственно; а =
л/х/ре ; х — коэффициент теплопроводности, р — плотность и с — теплоемкость; в — коэффициент теплообмена.
В выбранной системе координат скорость шейки равна Хи, и её температура опишется уравнением:
дТ = + Xи— - 2в(Т- Т0) (2.3)
д г дх2 дх рекп
где кп — толщина образца в шейке.
Тепловыделение вызывает поток тепла из переходной зоны:
Х^Т - д-Т ) = -а(Х - 1 )ааи х х
х ^ +0
х
(2.4)
х ^ -0
где ста — напряжение распространения шейки, т.е. нижний предел текучести и а — доля произведенной работы, выделяющейся в виде тепла.
Второе граничное условие состоит в равенстве температур полимера и окружающей среды на бесконечности:
Тх = То (2.5)
Скорость стационарного распространения шейки определяем из уравнения (2.1) при условии йст/& = 0:
и8 = V/(X - 1) (2.6)
При стационарном распространении шейки ЗТ/З? = 0. Заменой переменных Т5 = Т — Т0 уравнения (2.2) и (2.3) сводится к виду
^ + Р^Т - Т = 0, х > 0 (2.7)
х2 х 2Т Т
5 + Хр—5- дпТ8 = 0, х< 0 (2.8)
х2 х
Р = и Р е/Х, Я = 2Р/(к Х), Яп = 2 Р/(кпХ)
Граничные условия приобретают вид TS ^ 0 при х ^ ±<»; TS|x ^ -0 = TS|x ^ +0. Решение уравнений (2.7) и (2.8) имеет вид
Т3 _ ДТехр(-ух), х > 0 (2.9)
Т5 _ ДТехр(-у«х), х < 0 (2.10)
где ЛT — увеличение температуры переходной зоны (х = 0).
Показатели экспоненты находятся из характеристических уравнений у2 — py — q = 0
2
и У« — Хруп — = 0 соответственно. Для выполнения граничных условий у должно быть больше нуля при х > 0, а уп при х < 0 — отрицательным:
У
У,
Ур с
2(^ - 1)Х _ Ук р с
+
У2 р2с2 И ( к - 1) 2 X2
+ 2Р, х > о X Л
Ук2 р 2 с
+ —, х < 0 [4(к - 1 )2х2 XЛ«
(2.11)
(2.12)
2(к - 1)х
Величину разогрева переходной зоны ЛТ находим из уравнений (2.4), (2.6) и (2.9)—(2.12)
(
ДТ _ аст.У
\У1к1 р 2 с 2
+ 2-хР +
У2
22 р с
+
2хР.
Урс 2
(2.13)
^ 4 (к - 1)2 Л« V 4 (к - 1)2 Л ,
3. Анализ решения. В асимптотике высоких скоростей (У2Х2р2с2/(Х — 1)2 §> 8%Р/кп), когда условия растяжения являются адиабатическими, уравнение (2.13) упрощается:
ДТ _ ааа(к - 1)/(рс) (3.1)
Формула (3.1) может быть выведена непосредственно из закона сохранения энергии [8]. При а = 1 формула (3.1) использована в [6]. Вывод уравнения (3.1) из (2.13) служит проверкой асимптотической корректности (2.13). Отметим, что уравнение (3.1) позволяет определять температуру разогрева из калориметрических экспериментов.
Погрешности вычисления температуры в адиабатических условиях, т.е. при больших скоростях растяжения могут быть обусловлены только неточностью определения коэффициента а. Этот коэффициент является интегральным, и его отклонение от единицы может быть связано с различными физическими процессами накопления энергии [7].
Для оценки адиабатического разогрева ПЭТФ будут использоваться значения а = 1.35 [7], р = 1332 кг/м3, с = 1.13 кДж/(кг К) [24]. При скорости растяжения V = 1000 мм/мин нижний предел текучести аа = 37 МПа, а X = 6.5 [22]. На основании (2.13) получаем ЛТ = 181°С. Если учесть возрастание теплоемкости с температурой [24], величина ЛТ снижается до 155°С.Тем не менее, в комнатных условиях температура оценивается как 177°С, что значительно выше температуры стеклования ПЭТФ: Т = 75°С. Это означает, что полимер вблизи зоны тепловыделения находится в вязкотекучем состоянии.
Скорость растяжения будем считать высокой, если можно пренебречь теплоотдачей в окружающую среду. Это условие в (2.13) выполнено при V2X2р2c2/(X — 1)2 > 8%Р/кп. Пренебрегая уменьшением ширины образца и предполагая, что в шейке уменьшается только его толщина кп = к/Х, и это условие записывается в виде V> V*, где
У* _
8 в ( к - 1) 2 X ' р с к Л
(3.2)
X
Фиг. 2
При V V* разогревом можно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.