ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 427, № 4, с. 474-476
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 517.958.533.1/5
ВАРИАЦИОННАЯ ПРИРОДА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ЧАПЛЫГИНА И ИХ АНАЛОГОВ
© 2009 г. А. И. Рылов
Представлено академиком В.В. Козловым 23.03.2009 г. Поступило 26.03.2009 г.
Вариационные принципы механики составляют важный раздел математической физики. Они используются как при исследовании качественных свойств решений задач механики, так и для построения численных алгоритмов. Изложение многих разделов механики в университетских курсах опирается на вариационные принципы. Сказанное в большей степени относится к классической механике [1-4]. В то же время в газовой динамике ситуация существенно иная. Здесь список работ ограничивается несколькими статьями, обсуждаемыми в [5]. Многие вопросы остаются открытыми.
В представляемой работе построен вариационный принцип, порождающий нелинейные уравнения Чаплыгина на плоскости потенциала. Далее, построено преобразование, переводящее этот вариационный принцип в бесконечное множество вариационных принципов, каждый из которых порождает один из стационарных [6] или нестационарных [7] аналогов уравнений Чаплыгина. Этот факт дает дополнительное объяснение с общематематических позиций построенным в [6, 7] бесконечным множествам однородно-дивергентных уравнений и отвечающим им законам сохранения.
1. ВАРИАЦИОННЫМ ПРИНЦИП ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА
Рассмотрим плоские потенциальные течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа. На плоскости годографа (г, 6) эти течения описываются линейными уравнениями Чаплыгина первого и второго порядка [8-11]
куе + фг = 0, у г - фе = 0,
к Уее + Угг =
(1) (2)
Здесь и далее q, 6 - модуль и угол наклона вектора скорости, р - плотность, ф, у - потенциал и функция тока, х, у - координаты на физической плоскости, и, V - компоненты вектора скорости, М - число Маха,
г = 1dq, к( г) =
1-М2
На плоскости потенциала (ф, у) система (1) выглядит так [9, 10]:
кгф+ 6у = 0,
гу - еф =
(3)
Система (3), так же как (1), отличается от системы Коши-Римана лишь одним неединичным сомножителем к. Поэтому в отличие от (1) ее логично называть нелинейной системой уравнений Чаплыгина на плоскости потенциала (ф, у), и эта нелинейность определяется коэффициентом к(г).
Перейдем к построению вариационного принципа для системы (3), т.е. к построению функционала
1 = Ц Ь dф dу,
(4)
экстремум которого дает систему (3).
Исследование ведется на плоскости потенциала (ф, у), поэтому изначально предполагается, что иу - ^ = 0 и, как следствие, гу - 6ф = 0. Это говорит о том, существует функция Я, такая, что г = Яф, 6 = Яу, и поэтому первое из уравнений (3) может быть записано в виде уравнения второго порядка
кЯфф + Яуу
= 0.
(5)
Непосредственная проверка показывает, что искомое выражение для Ь из (4), при котором экстремум функционала (4) отвечает уравнению (5), имеет вид
ЯУ
е2
Ь = - --У- /(Яф) = ------ / (г),
(6)
Институт математики им. СЛ. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
где / (г) определяется равенством / "(г) = к(г).
Итак, вариационный принцип для нелинейного уравнения Чаплыгина второго порядка (5), а значит и для уравнений (3), выглядит так:
ВАРИАЦИОННАЯ ПРИРОДА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
475
53 = 8|Д-Я*-/(Яф)1 йф йу = 0.
(7)
- Уzz = 0'
(8)
+ гу = 0, гф = 0
у *ф
(9)
Здесь функции ^ и г является решениями линейной системы Чаплыгина на плоскости годографа
ksе + г, = 0, sz - ге = 0.
(10)
кг, + еs = 0, - е( = 0,
(11)
Ь из (6), в которой функции е = Яу и I = Яф суть функции s и г:
Одновременно отметим, что равенство у = Ь, где Ь определено в (6), является полиномиальным решением второго порядка по четным степеням е [6, 12, 13] некоторого нового уравнения
Ь = -
<( s, г)
- /(Яф(s, г)) =
е2( s, г)
- /(г(s, г)) = 0.
(12)
отличающегося от уравнения (2) лишь знаком при втором слагаемом. Иными словами, указанное решение уравнения(8) через вариационный принцип (7) пораждает нелинейные уравнения Чаплыгина (3) и (5).
Необходимо также подчеркнуть, что вопрос о физическом смысле функции Ь даже в случае несжимаемой жидкости, когда Ь = -2 (е2 + 1п2д), остается открытым.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ АНАЛОГОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА
В связи с этим рассмотрим бесконечное множество систем уравнений газовой динамики, построенных в [6],
С потенциальными течениями функции s и г связаны соотношениями у = s, ф = г.
Система (10) имеет бесконечно много решений, для построения которых могут быть использованы, в частности, известный метод разделения переменных и менее известный метод построения полиномиальных решений [6, 12, 13]. Необходимо подчеркнуть, что явный вид функций s = s(z, е) и г = г(г, е) здесь никак не используется, используется лишь система дифференциальных уравнений (10) и ее следствия.
Далее, система (9) отличается от системы (3) лишь заменой зависимых переменных, поэтому систему (9) логично называть аналогом нелинейной системы Чаплыгина (3).
Меняя местами зависимые и независимые переменные, систему (10) можно переписать в виде
Подставляя Ь в функционал 3 из (4) и затем варьируя его и приравнивая вариацию 83 нулю, получаем уравнение Эйлера и, с учетом (11), его следствия
^А^^АдЬ = АА_ + АЯ =
дЯ дфдЯф дуЯу дфдЯф + ду у = /"(г^ф + 1,гф) + е^у + еггу = = ег (kSф + гу) + е5( Sу - гф) = 0. (13)
Условие потенциальности с учетом (11) дает
гу - еф = ^у + гггу - ^ф - еггф =
= ,г(kSф + гу) + zs(Sу - гф) = 0. (14)
Совместный анализ последних равенств из (13) и (14) говорит о том, что в областях знакопосто-янства якобиана
; = дНл = г*ег - ,ге5 = + кг2 (15) д( s, г)
реализуется требуемая система уравнений газовой динамики (9).
В дозвуковых течениях якобиан ] может обращаться в нуль лишь в изолированных точках = = гг = е, = ег = 0. В сверхзвуковых течениях линиями перемены знака якобиана ] могут быть лишь характеристики, что следует из (15)
Тем самым вариационный принцип для систем (9) выглядит так:
83
= 8Ц
<(S, г)
- /(Яф(s, г)))йф йу = 0. (16)
производные из которой будут использованы ниже.
Итак, рассмотрим некоторое решение г), которому отвечают функции г^, г) и е^, г). Функция
Замечание. Вариационный принцип (16) порождает не только бесконечное множество однородно-дивергентных систем (9), но и бесконечное множество законов сохранения на плоскости потенциала и на физической плоскости (х, у).
3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АНАЛОГОВ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА
На плоскости спидографа (р, и) одномерные нестационарные изоэнтропические течения удобно описывать в виде следующих нестационарных аналогов уравнений Чаплыгина [7]:
гр + к у и = 0, ги + у р = 0.
(17)
2
476
РЫЛОВ
Здесь р, р(р), и, а(р) - соответственно давление, плотность, скорость и скорость звука, ' - время, у -функция частицы: dу = р йх - ри dt, х - геометрическая координата, к = р-2а-2.
На плоскости событий (у, ') система (17) переписывается так:
kpt + м¥ = 0, Ру + ut = 0.
(18)
В соответствии со вторым из уравнений (18), являющимся условием изоэнтропичности, существует функция Я: Я = р, Яу = -и. Тогда первое из уравнений (18) запишется так:
kRtt- Ryy =
(19)
Теперь по аналогии с первым разделом можем выписать вариационный принцип для одномерных нестационарных изоэнтропических течений
5Я(-1 (Я') + 1) dt dу = 0, (20)
где / (Я') = / (р) такова, что / "(р) = к = а~2р-2.
Система (18) имеет бесконечно много решений вида
t = U(p, u), у = V(p, u),
(21)
которые могут быть построены, в частности, с помощью разделения переменных [7] или в виде полиномиальных решений по степеням и [12, 13].
Как было показано ранее [7], переход от (и, р) к (V(и, р), V(u, р)) переводит систему (18) в систему
kVt - Uy = 0, Vy - Ut = 0.
(22)
И, наконец, по аналогии со вторым разделом, вариационный принцип, порождающий систему (22), записывается так:
8||(-¡(Я(V, V)) + Ку(и2' ^dt dу = 0. (23)
В областях знакопостоянства якобиана j = ^ ^ u)
д( U, V)
вариационный принцип (23) при выполнении условия изоэнтропичности
Ру( U, V) + ut(U, V) = 0
приводит к системе (22).
Замечание. Вариационный принцип (23) порождает не только бесконечное множество систем (22), но и бесконечное множество законов сохранения на плоскостях (у, t) и (x, t).
Работа выполнена в рамках проекта № 103 СО РАН (постановление № 10 2009 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вариационные принципы механики. Сборник статей / Под редакцией Л.С. Полака. М.: ГИФМЛ, 1959. 959 с.
2. Козлов В В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995. 432 с.
3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Физматгиз, 1958. 206 с.
5. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 232 с.
6. Рылов А.И. // ДАН. 2002. Т. 383. № 1. С. 34-36.
7. Рылов А.И. // ПММ. 2005. Т. 69. В. 2. С. 245-257.
8. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 588 с.
9. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 208 с.
10. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.
11. Черный ГГ. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.
12. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2002. http://eqworld.ipm-net.ru.
13. Рылов А.И. // ДАН. 2007. Т. 417. № 4. С. 468-470.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.