научная статья по теме ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ ФОРМАМИ Математика

Текст научной статьи на тему «ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ ФОРМАМИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 1, с. 7-10

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ ФОРМАМИ © 2015 г. С. А. Исхоков, М. Г. Гадоев, Т. П. Константинова

Представлено академиком РАН В.А. Ильиным 27.03.2013 г.

Поступило 21.02.2014 г.

DOI: 10.7868/S0869565215130034

1. Работа Л.Д. Кудрявцева [1] положила начало систематическим исследованиям краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом, основанным на теории весовых функциональных пространств. Позже идеи и результаты этой работы обобщались и развивались многими авторами (см., например, [2—4] и имеющиеся там ссылки). Примененный этими авторами метод существенно опирается на коэрцитивность полуторалинейной формы, с помощью которой задается основной дифференциальный оператор. Случай некоэрцитивных форм сопряжен со многими техническими трудностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах (см., например, [5—7]).

В нашей работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой, и в отличие от ранее опубликованных работ рассматривается случай, когда младшие коэффициенты формы принадлежат некоторым весовым Хр-пространствам, а условие эллиптичности задается только с помощью старших коэффициентов.

2. Пусть О — ограниченная область в и-мерном евклидовом пространстве Я" с замкнутой (и — 1)-мерной границей дО, удовлетворяющей условию конуса. Обозначим через р(х) регуляризованное расстояние от х е О до дО. Пусть г — натуральное и а — вещественное числа. Введем пространства

а (О), а (О) функций и(х), х е О, имеющих

Институт математики

Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе Политехнический институт Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова, Мирный Республики Саха (Якутия) E-mail: sulaimon@mail.ru

обобщенные в смысле С.Л. Соболева производные и(к)(х), \к\ < г, с конечными нормами

VI; а(П)|| = | £jР2a(*)lu(k)(X)| V ^ Ik = r a

л 1/2

+ jp2a-2r(x)\u(x)|2dx > ,

\u; ^ a(Q^ = J XIР2а(X)lu(k)(X)l2dx

^ Ik = r a

+

+

jl u (x )|:

1/2

dx

соответственно. Здесь и далее к = (к1, к2, ..., к") — мультииндекс, \к\ = к1 + к2 + ... + ки — длина муль-

тииндекса к. Если В одно из пространств У^. а (О),

Ж. а (О), то символом В' обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на В, наделенное нормой сопряженного пространства, а символом В — пополнение класса С" (О) в норме пространства В. Обозначим через Ьр. а(О), р > 1, весовое пространство

с нормой

|| u; Lp; a(Q)|| = j jppa(x )| u (x )| pdx\

i/p

Пустьpk(x) = pa r + |k|(x). Рассмотрим полуторали-нейную форму

B[u, v] = X \Pk(x)Pi(x)aki(x)u(k)(x) v(l)(x)dx,

k, И < r a (1)

коэффициенты akl(x) которой являются ком-плекснозначными функциями.

+

a

a

a

Сформулируем вариационную задачу Дирихле с вещественным параметром А, связанную с формой (1).

Задача Dx. Для заданного функционала F е

е (У[. а (О))' требуется найти решение U(x) уравнения

Вх [ и, V] = В[ и, V] + А |р2а - 2(х) и(х) ф) йх =

= {F, v), Vv е С"(Q),

(2)

принадлежащее пространству Уг2 а (О)

Разрешимость задачи Dx при А = 0 исследовалась в работах С.М. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина С.А. Исхокова и др. (см. [2—4] и имеющуюся там библиографию), в которых предполагалось, что коэффициенты ак(х), x е О, |к|, |/| < г, ограничены и удовлетворяют следующему условию эллиптичности: найдется положительное число с0 такое, что

Re

X akl(x)Pk(.x)Pl(x)ZkZ >

\k\, |'| <г

(3)

> Сор^(х) £ |У2

|к| = г

для всех x е О и любого набора комплексных чисел ^ = {Ск}\к\ <г- Условие (3) обеспечивает У[. а (О)-коэрцитивность формы (1) относительно L2(О). Отметим, что здесь и далее коэрцитивность формы понимается в смысле определения 2.0.1 работы [2], т.е. если Н0 — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, -)0 и нормой ||-||0, Н+ — другое гильбертово пространство с нормой ||-||+, плотно вложенное в Н0, то определенная в Н+ по-луторалинейная форма Р[и, V] называется Н+-ко-эрцитивной относительно Н0, если найдутся числа

2 2

е Я, 50 > 0 такие, что ЯеР[и, и] + ц0||и||0 > 50||и||+ для всех и е Н+.

Позже К.Х. Бойматов [6, 7] доказал однозначную разрешимость задачи при А > А0, где А0 > 0 — некоторое большое число, в случае, когда коэффициенты ак1(х), |к|, |/| < г непрерывны в замкнутой области О и удовлетворяют условиям

\argA (х,0|<ф, (4)

X \Ц2 < ^Re{Y(x)A(x,Z)}

(5)

|k|:

для всех х е О и любого набора комплексных чисел ^ = {Щщ <г. В этих условиях А(х, =

= £ ак1 (х)^кСI, у(х) — некоторая непрерывная

к, М < г

в О функция, которая не обращается в нуль, ф —

некоторое положительное число меньше я, число M > 0 не зависит от x, Z; функция arg г принимает значения на отрезке (—я, я]. При выполнении условий (4), (5) форма (1) может не удовлетворять условию коэрцитивности (см. пример 1 работы [5]).

В настоящей работе, в отличие от перечисленных выше работ, предполагается, что младшие коэффициенты akl(x), \k\ + \l\ < 2r — 1, принадлежат некоторым весовым Z^-пространствам, а старшие

коэффициенты akI(x), \k\ = \l\ = r, непрерывны в Q и для всех x е Q, Z е Rn удовлетворяют условиям

arg X aki(x)Z Z

k, М = г

<Ф,

Re

Y(x) X aki(xКкZ' [> cd ZI2г.

(6)

(7)

k, l'l = г

Здесь Z = (Zi, Z2, •, Zn) е Rn, Zk = ZiV ••• ZZ, \Z\ =

.2 (.2

, к\у к2 - к

Ь») е Я , Ь = Ь1 Ь2 = {Ь2 + Ь2 + •" + Ь2 )1/2. Отметим, что в отличие от наших условий (6), (7) в (4), (5) участвуют и младшие коэффициенты формы (1), и даже в случае, когда форма (1) имеет только старшие коэффициенты, условия (6), (7) слабее, чем условия (4), (5).

Прежде чем сформулировать основной результат работы, каждой паре мультииндексов к, I та-

ких, что \k\, \l\ < r, \k\ + ответствие число pkl:

< 2r — 1, сопоставим в со-

1) Pk' =

г - k

+ S,

= г,

г -

+ S,

n > 2(г - \k\), kl = Г, n > 2(г - II);

2) если \k\ < r — 1, \l\ < r — 1, то

Pk'

2г - \k\ - И

+ s, n > 2 (г - \k\), n > 2 (г-|

n

г - И + s n

г - kl + s

, n < 2(г - \k\), n > 2(г - И), , n > 2( г - kl), n < 2( г - I');

3) Ры — любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях.

Здесь б — достаточно малое положительное число.

Тео р е ма 1. Пусть коэффициенты ащ(х), |к| = = |/| = г, формы (1) непрерывны в замкнутой области О и удовлетворяют условиям (6), (7). Пусть коэффициенты ак1(х) при |к|, |/| < г и |к| + |/| < 2г — 1 принадлежат пространству . _п/р (О).

п

Тогда найдется число > 0 такое, что при X >

для любого заданного функционала Ее (У2г. а (О))' существует единственное решение и(х) задачи и при этом справедлива оценка

11^. г2. а(О)||< м0\\е. (У2. а (О))|,

где число М0 > 0 не зависит от X и Е.

3. Приведем вкратце схему доказательства теоремы 1. Сначала рассмотрим случай нулевых младших коэффициентов, т.е. предположим, что ак1(х) = 0 (х е О) при \к\, \/\ < г и \к\ + \/\ < 2г - 1. Так же как в работе [7], для достаточно малого положительного числа V берем неотрицательные функции фДх), г|у(х) е С"(О),] = 1, 2, ..., Ы, такие,

что функции фу- (х),] = 1, 2, ..., Ы, образуют разбиение единицы области О, функция п/х) обращается в единицу в некоторой окрестности множества Биррфу и 0 < Пу(х) < 1 для всех х е О . Кроме того, \у(х) — у(у)\ < V для всех х, у е 8ирр г|у- (] = 1, 2, ..., Ы).

Далее, фиксируя точки х} е 8ирр г|у,] = 1, 2, ..., Ы, вводится полуторалинейная форма

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ где

В^[и, V] = X |р2а(х)а^х)ик)(х) V1)(х)йх +

к, 1И = г п

+ X |р2(а Г)(х) и(х) v(x)йх,

п

где акку (х) = (1 — ц](х))у(х])аы(х]) + ц](х)у(х)аы(х), и, поступая так же, как в доказательстве теоремы 3.1 работы [8], доказывается, что при X > Х0, где Х0 — некоторое неотрицательное число, имеет место неравенство

Яеи, V] > С0|и. У2. а(О)||2, У и е К а (О),

(8)

число С0 не зависит от и.

Вх[и, V] = В*[и, V] + Д,[и, V],

(9)

В*[ и, V] =

= X ]Рк(х )Р1 (х) аы(х) и( к) (х) Vе 1) (х) йх.

к + И < 2г _ 1 п

Согласно полученному выше результату при X > Х0 существует ограниченный оператор ^з^):

(У2. а (О))' а (О) такой, что

В* [ ад) Е, V] = < Е, V), У V е У2. а (О). (10)

Определим оператор К^): (Уг2. а (О))' ^ (У2. а (О))', действующий по формуле ([^Е, V) = = В,[ЗД)Е, V], У V е У2. а (О). Из (9), (10) следует, что ([^Е, V) — <Е, V) = В^^Е, V].

В интегралах составляющих форму В^ [и, V] хотя бы одна из производных и(к)(х), ^(х) имеет порядок меньше г. Поэтому, учитывая конструкцию оператор-функции ^^ и применяя интегральное неравенство с малым параметром т > 0 (см. лемму 2.2 из [8])

(

Як

( \ 2 Як\ (к)|

Рк(х )Р \и I

йх

1/Як

<т|| и. Г2. а(О)||

+

+ с0т \\и.

^^ У"' ^Р'. а - г

справедливое при \к\ < г — 1,

1 _ !_ к 2 Як п

(О)||,

Ик =

-

Як

1

На основе неравенства (8), поступая так же как в доказательстве теоремы 2 работы [7], строится ограниченный оператор (X > X0), действующий из (У2. а (О))' в У2. а (О) такой, что для любого

Е е (УГ. а (О))' функция и(х) = (Ш(^)Е)(х) будет решением задачи Б-к.

Для доказательства существования решения задачи Б-к в общем случае форму Вх[и, V] представим в виде

- _ г_!к! < I , если и — 2(г — \к\) > 0, 2 п Як

— любое конечное число > 2,

если и — 2(г — \к\) < 0,

доказывается, что

|В*[Е, Vрб^ЦЕ. (У2. а(О))||IV. У2. а(О)||,

где 5(X) ^ 0 при X ^ да.

Таким образом, существует число X0 > 0 такое, что при X > X0 оператор К^) имеет вид К^) = Е +

+ б^), где норма оператора G0(X): (У2. а (О))' ^

г 1

^ (У2. а (О))' не превосходит - . Поэтому оператор

ВД.) непрерывно обратим и [О1 (X) = (Е + б^))"1. Далее непосредственной проверкой можно убедиться в том, что для любого заданного функциона-

ла F е (У2. а (О))' функция Щ(х) = (^0(А) К-1 (А^)(х) является решением задачи Dx.

Доказательство единственности решения задачи Dx основано на построении непрерывных

операторов вида ^0(А), К0(А), К-1 (А) для сопряженной задачи и проводится по стандартной схеме (см., например, [5, 6]).

4. Поскольку класс С" (О) плотен в У^. а (О), то задача Dx соответствует случаю однородных граничных усл

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком