ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 1, с. 7-10
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕКОЭРЦИТИВНЫМИ ФОРМАМИ © 2015 г. С. А. Исхоков, М. Г. Гадоев, Т. П. Константинова
Представлено академиком РАН В.А. Ильиным 27.03.2013 г.
Поступило 21.02.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215130034
1. Работа Л.Д. Кудрявцева [1] положила начало систематическим исследованиям краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом, основанным на теории весовых функциональных пространств. Позже идеи и результаты этой работы обобщались и развивались многими авторами (см., например, [2—4] и имеющиеся там ссылки). Примененный этими авторами метод существенно опирается на коэрцитивность полуторалинейной формы, с помощью которой задается основной дифференциальный оператор. Случай некоэрцитивных форм сопряжен со многими техническими трудностями и рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах (см., например, [5—7]).
В нашей работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой, и в отличие от ранее опубликованных работ рассматривается случай, когда младшие коэффициенты формы принадлежат некоторым весовым Хр-пространствам, а условие эллиптичности задается только с помощью старших коэффициентов.
2. Пусть О — ограниченная область в и-мерном евклидовом пространстве Я" с замкнутой (и — 1)-мерной границей дО, удовлетворяющей условию конуса. Обозначим через р(х) регуляризованное расстояние от х е О до дО. Пусть г — натуральное и а — вещественное числа. Введем пространства
а (О), а (О) функций и(х), х е О, имеющих
Институт математики
Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе Политехнический институт Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова, Мирный Республики Саха (Якутия) E-mail: sulaimon@mail.ru
обобщенные в смысле С.Л. Соболева производные и(к)(х), \к\ < г, с конечными нормами
VI; а(П)|| = | £jР2a(*)lu(k)(X)| V ^ Ik = r a
л 1/2
+ jp2a-2r(x)\u(x)|2dx > ,
\u; ^ a(Q^ = J XIР2а(X)lu(k)(X)l2dx
^ Ik = r a
+
+
jl u (x )|:
1/2
dx
соответственно. Здесь и далее к = (к1, к2, ..., к") — мультииндекс, \к\ = к1 + к2 + ... + ки — длина муль-
тииндекса к. Если В одно из пространств У^. а (О),
Ж. а (О), то символом В' обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на В, наделенное нормой сопряженного пространства, а символом В — пополнение класса С" (О) в норме пространства В. Обозначим через Ьр. а(О), р > 1, весовое пространство
с нормой
|| u; Lp; a(Q)|| = j jppa(x )| u (x )| pdx\
i/p
Пустьpk(x) = pa r + |k|(x). Рассмотрим полуторали-нейную форму
B[u, v] = X \Pk(x)Pi(x)aki(x)u(k)(x) v(l)(x)dx,
k, И < r a (1)
коэффициенты akl(x) которой являются ком-плекснозначными функциями.
+
a
a
a
Сформулируем вариационную задачу Дирихле с вещественным параметром А, связанную с формой (1).
Задача Dx. Для заданного функционала F е
е (У[. а (О))' требуется найти решение U(x) уравнения
Вх [ и, V] = В[ и, V] + А |р2а - 2(х) и(х) ф) йх =
= {F, v), Vv е С"(Q),
(2)
принадлежащее пространству Уг2 а (О)
Разрешимость задачи Dx при А = 0 исследовалась в работах С.М. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина С.А. Исхокова и др. (см. [2—4] и имеющуюся там библиографию), в которых предполагалось, что коэффициенты ак(х), x е О, |к|, |/| < г, ограничены и удовлетворяют следующему условию эллиптичности: найдется положительное число с0 такое, что
Re
X akl(x)Pk(.x)Pl(x)ZkZ >
\k\, |'| <г
(3)
> Сор^(х) £ |У2
|к| = г
для всех x е О и любого набора комплексных чисел ^ = {Ск}\к\ <г- Условие (3) обеспечивает У[. а (О)-коэрцитивность формы (1) относительно L2(О). Отметим, что здесь и далее коэрцитивность формы понимается в смысле определения 2.0.1 работы [2], т.е. если Н0 — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, -)0 и нормой ||-||0, Н+ — другое гильбертово пространство с нормой ||-||+, плотно вложенное в Н0, то определенная в Н+ по-луторалинейная форма Р[и, V] называется Н+-ко-эрцитивной относительно Н0, если найдутся числа
2 2
е Я, 50 > 0 такие, что ЯеР[и, и] + ц0||и||0 > 50||и||+ для всех и е Н+.
Позже К.Х. Бойматов [6, 7] доказал однозначную разрешимость задачи при А > А0, где А0 > 0 — некоторое большое число, в случае, когда коэффициенты ак1(х), |к|, |/| < г непрерывны в замкнутой области О и удовлетворяют условиям
\argA (х,0|<ф, (4)
X \Ц2 < ^Re{Y(x)A(x,Z)}
(5)
|k|:
для всех х е О и любого набора комплексных чисел ^ = {Щщ <г. В этих условиях А(х, =
= £ ак1 (х)^кСI, у(х) — некоторая непрерывная
к, М < г
в О функция, которая не обращается в нуль, ф —
некоторое положительное число меньше я, число M > 0 не зависит от x, Z; функция arg г принимает значения на отрезке (—я, я]. При выполнении условий (4), (5) форма (1) может не удовлетворять условию коэрцитивности (см. пример 1 работы [5]).
В настоящей работе, в отличие от перечисленных выше работ, предполагается, что младшие коэффициенты akl(x), \k\ + \l\ < 2r — 1, принадлежат некоторым весовым Z^-пространствам, а старшие
коэффициенты akI(x), \k\ = \l\ = r, непрерывны в Q и для всех x е Q, Z е Rn удовлетворяют условиям
arg X aki(x)Z Z
k, М = г
<Ф,
Re
Y(x) X aki(xКкZ' [> cd ZI2г.
(6)
(7)
k, l'l = г
Здесь Z = (Zi, Z2, •, Zn) е Rn, Zk = ZiV ••• ZZ, \Z\ =
.2 (.2
, к\у к2 - к
Ь») е Я , Ь = Ь1 Ь2 = {Ь2 + Ь2 + •" + Ь2 )1/2. Отметим, что в отличие от наших условий (6), (7) в (4), (5) участвуют и младшие коэффициенты формы (1), и даже в случае, когда форма (1) имеет только старшие коэффициенты, условия (6), (7) слабее, чем условия (4), (5).
Прежде чем сформулировать основной результат работы, каждой паре мультииндексов к, I та-
ких, что \k\, \l\ < r, \k\ + ответствие число pkl:
< 2r — 1, сопоставим в со-
1) Pk' =
г - k
+ S,
= г,
г -
+ S,
n > 2(г - \k\), kl = Г, n > 2(г - II);
2) если \k\ < r — 1, \l\ < r — 1, то
Pk'
2г - \k\ - И
+ s, n > 2 (г - \k\), n > 2 (г-|
n
г - И + s n
г - kl + s
, n < 2(г - \k\), n > 2(г - И), , n > 2( г - kl), n < 2( г - I');
3) Ры — любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях.
Здесь б — достаточно малое положительное число.
Тео р е ма 1. Пусть коэффициенты ащ(х), |к| = = |/| = г, формы (1) непрерывны в замкнутой области О и удовлетворяют условиям (6), (7). Пусть коэффициенты ак1(х) при |к|, |/| < г и |к| + |/| < 2г — 1 принадлежат пространству . _п/р (О).
п
Тогда найдется число > 0 такое, что при X >
для любого заданного функционала Ее (У2г. а (О))' существует единственное решение и(х) задачи и при этом справедлива оценка
11^. г2. а(О)||< м0\\е. (У2. а (О))|,
где число М0 > 0 не зависит от X и Е.
3. Приведем вкратце схему доказательства теоремы 1. Сначала рассмотрим случай нулевых младших коэффициентов, т.е. предположим, что ак1(х) = 0 (х е О) при \к\, \/\ < г и \к\ + \/\ < 2г - 1. Так же как в работе [7], для достаточно малого положительного числа V берем неотрицательные функции фДх), г|у(х) е С"(О),] = 1, 2, ..., Ы, такие,
что функции фу- (х),] = 1, 2, ..., Ы, образуют разбиение единицы области О, функция п/х) обращается в единицу в некоторой окрестности множества Биррфу и 0 < Пу(х) < 1 для всех х е О . Кроме того, \у(х) — у(у)\ < V для всех х, у е 8ирр г|у- (] = 1, 2, ..., Ы).
Далее, фиксируя точки х} е 8ирр г|у,] = 1, 2, ..., Ы, вводится полуторалинейная форма
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ где
В^[и, V] = X |р2а(х)а^х)ик)(х) V1)(х)йх +
к, 1И = г п
+ X |р2(а Г)(х) и(х) v(x)йх,
п
где акку (х) = (1 — ц](х))у(х])аы(х]) + ц](х)у(х)аы(х), и, поступая так же, как в доказательстве теоремы 3.1 работы [8], доказывается, что при X > Х0, где Х0 — некоторое неотрицательное число, имеет место неравенство
Яеи, V] > С0|и. У2. а(О)||2, У и е К а (О),
(8)
число С0 не зависит от и.
Вх[и, V] = В*[и, V] + Д,[и, V],
(9)
В*[ и, V] =
= X ]Рк(х )Р1 (х) аы(х) и( к) (х) Vе 1) (х) йх.
к + И < 2г _ 1 п
Согласно полученному выше результату при X > Х0 существует ограниченный оператор ^з^):
(У2. а (О))' а (О) такой, что
В* [ ад) Е, V] = < Е, V), У V е У2. а (О). (10)
Определим оператор К^): (Уг2. а (О))' ^ (У2. а (О))', действующий по формуле ([^Е, V) = = В,[ЗД)Е, V], У V е У2. а (О). Из (9), (10) следует, что ([^Е, V) — <Е, V) = В^^Е, V].
В интегралах составляющих форму В^ [и, V] хотя бы одна из производных и(к)(х), ^(х) имеет порядок меньше г. Поэтому, учитывая конструкцию оператор-функции ^^ и применяя интегральное неравенство с малым параметром т > 0 (см. лемму 2.2 из [8])
(
Як
( \ 2 Як\ (к)|
Рк(х )Р \и I
йх
1/Як
<т|| и. Г2. а(О)||
+
+ с0т \\и.
^^ У"' ^Р'. а - г
справедливое при \к\ < г — 1,
1 _ !_ к 2 Як п
(О)||,
Ик =
-
Як
1
На основе неравенства (8), поступая так же как в доказательстве теоремы 2 работы [7], строится ограниченный оператор (X > X0), действующий из (У2. а (О))' в У2. а (О) такой, что для любого
Е е (УГ. а (О))' функция и(х) = (Ш(^)Е)(х) будет решением задачи Б-к.
Для доказательства существования решения задачи Б-к в общем случае форму Вх[и, V] представим в виде
- _ г_!к! < I , если и — 2(г — \к\) > 0, 2 п Як
— любое конечное число > 2,
если и — 2(г — \к\) < 0,
доказывается, что
|В*[Е, Vрб^ЦЕ. (У2. а(О))||IV. У2. а(О)||,
где 5(X) ^ 0 при X ^ да.
Таким образом, существует число X0 > 0 такое, что при X > X0 оператор К^) имеет вид К^) = Е +
+ б^), где норма оператора G0(X): (У2. а (О))' ^
г 1
^ (У2. а (О))' не превосходит - . Поэтому оператор
ВД.) непрерывно обратим и [О1 (X) = (Е + б^))"1. Далее непосредственной проверкой можно убедиться в том, что для любого заданного функциона-
ла F е (У2. а (О))' функция Щ(х) = (^0(А) К-1 (А^)(х) является решением задачи Dx.
Доказательство единственности решения задачи Dx основано на построении непрерывных
операторов вида ^0(А), К0(А), К-1 (А) для сопряженной задачи и проводится по стандартной схеме (см., например, [5, 6]).
4. Поскольку класс С" (О) плотен в У^. а (О), то задача Dx соответствует случаю однородных граничных усл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.