научная статья по теме ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РАДИАЛЬНОГО ГАЗОВОГО ПОДШИПНИКА Физика

Текст научной статьи на тему «ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РАДИАЛЬНОГО ГАЗОВОГО ПОДШИПНИКА»

М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015

УДК 532.516

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РАДИАЛЬНОГО ГАЗОВОГО ПОДШИПНИКА

© 2015 г. Ю. Я. БОЛДЫРЕВ, Е. П. ПЕТУХОВ

Санкт-Петербургский политехнический университет, Институт прикладной математики и механики, Санкт-Петербург e-mail: boldyrev@phmf.spbstu.ru

Поступила в редакцию 28.05.2014 г.

Рассматривается вариационная задача для радиального подшипника с газовой смазкой в одномерной постановке. Особенность задачи связана с тем, что для уравнения Рейнольдса привлекается дополнительное условие газообмена с окружающей средой — условие Элрода-Бург-дорфера. Проведен качественный анализ системы необходимых условий экстремума, и на его основе построена вычислительная процедура. Выявлена асимптотическая связь решения рассматриваемой вариационной задачи с решением задачи для случая, когда давление задано на границах области ("открытый профиль"). Результаты представлены для широкого диапазона параметров.

Ключевые слова: газовая смазка, вариационное исчисление, максимум подъемной силы, периодическая задача, число сжимаемости, условие Элрода—Бургдорфера.

Решение вариационных задач теории смазки (задач об оптимальной форме профиля-зазора смазываемой области) восходит к работе Рэлея, опубликованной в 1918 г. [1]. Эта работа, относящаяся к несжимаемой смазке, сильно опередила свое время и ее результаты были повторены Мэдеем (Maday C.J.) только в 1967 г. [2]. Тогда же Мэдеем была решена и первая вариационная задача теории газовой смазки [3]. Следует отметить, что все названные работы были связаны с одномерными задачами. Вопрос о решении пространственных вариационных задач долгое время оставался актуальным. Отметим, что в комментариях к работе [3] ее автор указывал, что "...проделал определенную работу в этом направлении.". Однако первая пространственная задача теории смазки была решена в России в 1975 г. [4]. Все указанные работы [1—4] были связаны с краевыми условиями первого рода для уравнения Рейнольдса. Однако значительное число устройств с газовой и жидкой смазкой имеют периодическую форму профиля [5, 6], и поэтому решение задач об оптимальном в каком-либо смысле периодическом профиле долгое время оставалось актуальной проблемой. Как было выяснено в [7, 8], решение пространственной вариационной задачи с условиями периодичности представляет нетривиальную проблему, приводящую к появлению пространственных скользящих режимов. Проблема оказалась тесно связанной с вопросами существования решений вариационных задач Лагранжа в том или ином классе функций. Это обусловлено тем, что функция профиля входит в коэффициенты главной части дифференциального оператора, уравнения Рейнольдса, что и приводит, в частности, к отсутствию кусочно-гладких (классических) решений в ряде классов задач [9], связанных с уравнениями эллиптического типа. Решение одномерных периодических вариационных задач также долгое время не было в поле внимания исследователей. Первое решение такой задачи в одномерном случае приведено в работе [10]. В ра-

боте [11] рассмотрен радиальный газовый подшипник, работающий при малых числах сжимаемости, отвечающий случаю относительно медленного движения газа. В отечественных работах [12, 13] даны решения вариационных задач для радиальных подшипников, при дополнительных условиях — наличии "питающей щели" и торцевых уплотнений. В настоящей работе представлено решение периодической вариационной задачи для радиального подшипника с газовой смазкой для произвольных чисел сжимаемости. Один из важных результатов — установление связи периодической вариационной задачи с вариационной задачей для открытого профиля.

1. Постановка задачи. Рассмотрим одномерный радиальный газовый подшипник, сообщающийся с внешней средой на бесконечно удаленных торцах. Ось ротора подшипника совпадает с началом системы координат. Ротор вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ю, центральный угол 9 отсчитывается в сторону вращения. Предполагаем, что линия действия нагрузки W фиксирована. Стационарное поле давления p в газовом слое описывается уравнением Рейнольдса теории газовой смазки [5], которое запишем в безразмерном виде

ALipdp-Лрн\ = 0, Л = ^ (1.1)

В (1.1) безразмерное давление p отнесено к давлению внешней среды pa, h — толщина смазочного слоя, отнесенная к заданному минимально допустимому значению зазора hmin, R — радиус шипа, Л — "число сжимаемости", являющееся физическим критерием подобия [5], а ц — динамическая вязкость газа.

Особенность краевых условий для уравнения (1.1) (в рассматриваемой задаче) состоит в том, что кроме условия периодичности

p(0) = p(2n) (1.2)

они включают и условие газообмена с окружающей средой — условие Элрода-Бург-дорфера [5, 6], имеющее следующий вид:

2п

J h3(p2 - 1)d9 = 0 (1.3)

о

Уравнение (1.1) перепишем в виде системы уравнений первого порядка

h3 pdp -Лph = - C, — = 0 (1.4)

d0 d0 V ;

где C — зависимая переменная, пропорциональная расходу газа, которая положительна, поскольку при dp/d9 = 0, C = Aph, откуда имеем C > 0.

Будем разыскивать минимум функционала, нормированного по величине Rpa

2п

F4 =- J p cos(9-y)d9 (1.5)

0

Это равносильно разысканию максимума модуля главного вектора сил давления F, направленного по линии действия нагрузки (здесь у — так называемый угол нагрузки).

Толщина смазочного слоя h должна удовлетворять неравенствам

h . = 1 < h < h (1.6)

m.n — max

где левое неравенство определяется выбранным способом нормировки функции h, причем равенство обязательно должно иметь место хотя бы в одной точке периода 0 < 9 < 2п. Правое ограничение-неравенство определяется либо, исходя из требований технологичности подшипника, либо из соображений применимости уравнения Рей-нольдса, т.е. должно удовлетворять условию 10—4 < hmin/hmax < 10—3. Величину hmax будем считать заданной и ее выбором распорядимся далее.

Сформулируем задачу Лагранжа вариационного исчисления: найти кусочно-непрерывную функцию ^9), непрерывную функцию p(9) и постоянную C, удовлетворяющие ограничениям (1.2)—(1.4) и (1.6), дающие минимум функционалу (1.5). Нетрудно видеть, что особенность рассматриваемой задачи — условие (1.3), которое будучи специфическим "краевым" условием для системы уравнений (1.4), одновременно носит характер изопериметрического условия в вариационной задаче.

2. Система необходимых условий и ее анализ. Выпишем систему необходимых условий вариационной задачи. Следуя подходам неклассического вариационного исчисления [14, 15], введем вспомогательную управляющую функцию и(9), переходя от ограничений-неравенств (1.6) к ограничению-равенству

У = ^та* - h)(h - 1) - и2 = 0 (2.1)

Составим вспомогательный функционал

2п

I = Г /(р, С, к, V, —р, — И (2.2)

•' Г —е —е/

0

где f — расширенная функция, включающая систему ограничений, а и определяется из (2.1)

/ = -р 008(9 - + X0 — + X (рк — - Лрк + С) + X2к3(р2 - 1) + Х3у ¿9 \ ¿9 !

Здесь А,0, ^ и Х3 — функциональные множители, а ^ —

числовой множитель Лагран-жа. Варьируя функции p, C, h и и в функционале (2.2) и приравняв к нулю его первую вариацию, получим систему уравнений Эйлера—Лагранжа [14]

- 008(0 - + ^ (к3 — - Лк) + Тк2кър - — (^рк3) = 0

\ —0 ! —0 (2 з)

^ - —^ = о .

1 —0

3к2 (а.1 + X2(р2 - 1)) - Х,Ар + Мктах - 2к +1) = 0 (2

Х^ = 0

Условия Эрдманна—Вейерштрасса [14] в точках разрыва функции h и производной —р/—9, а также с учетом непрерывности —С/—9, согласно (1.4), имеют вид

[Х1к3]! = 0, [Х0 ]- = 0,

X2к\р2 -1) - X рк

= 0 (2.5)

где символом [•]+ обозначена разность величин, вычисленных непосредственно слева и справа от точки разрыва.

Условия трансверсальности [14] в силу независимости вариаций в концевых точках 9 = 0 и 9 = 2п имеют вид:

= О, [X о = О (2.6)

Здесь учтены непрерывность и периодичность давления, а также равенство 89 = 0 при 9 = 0 и 9 = 2п. Из (2.6) получаем систему краевых условий для уравнений Эйлера (2.3)

М0)й3(0) = М2я )к3(2п ), ^(0) = ^0(2л ) (2.7)

Неравенство Вейерштрасса [14] сильного минимума функционала I (2.2) имеет вид

Е = АЕ — 8Е > 0 (2.8)

Здесь Е — функция Вейерштрасса, а АЕ и 8Е — полная и первая вариации соответственно. Она имеет следующий вид:

Е = X2(Я3 - Л3)(р2 - 1) - \хрНЪ (Ц -^ > О (2.9)

где волна обозначает произвольные значения производной, а Н — допустимые значения функции профиля к.

Приведем результаты анализа системы необходимых условий (2.3—2.9) для оценки качественного характера решения вариационной задачи. Вначале укажем на то обстоятельство, что из условия Элрода—Бургдорфера (1.3) следует, что подынтегральная

функция &3(р2 -1) должна быть знакопеременна на промежутке [0, 2п ], что может достигаться только за счет того, что на его частях имеются области разреженияр < 1. Исходя из периодичности задачи, выберем р(0) < 1, полагая величину р(0) равной минимальному значению давления газа на [0, 2п ]. Тогда, согласно условию периодичности (1.2), имеем р(2п ) < 1. Таким образом, к границам периода должны примыкать области разрежения. Обозначим 91 и 92 правую и левую границы областей разрежения, примыкающих к точкам 9 = 0 и 9 = 2п соответственно. Тогда в точках 9: и 92 имеем

p (01) = p (02) = 1, I

> о, ddp

dQ

< 0 (2.10)

Из первого уравнения Эйлера (2.4) для промежуточного режима 1 < к < кшах, отвечающего случаю Х3 = 0, получаем следующее выражение для к:

3h2 =-XiAp 2

X1pdp/d9 -X2(p - 1)

Откуда, для тех точек, в которых имеет место равенство p =1, получаем 3h2 = = A/(dp/d9). В таких точках всегда dp/d9 > 0, а значит, в областях промежуточного режима h не может начинаться зона разрежения, так как в ее начале необходимо p = 1 и dp/d9 < 0. Таким образом, там, где 1 < h < hmax, не может быть более одной области с p < 1, причем здесь область разрежения может только заканчиваться.

Далее, выражение для dp/d9 при h = 1 имеет вид dp/d9 = Л — C/p, причем в точках с p = 1 имеем dp/d9 = Л — C. Аналогично, для области промежуточного режима при p = 1 получаем dp/d9 = (Л — C/h)/h2. Отсюда, учитывая, что C > 0 для неравенств (2.10) естественно рассмотреть такие варианты:

dp d9

> о и h(91) > 1; dP

= Л- C < 0 и h(92) = 1

7 = ^2

h2 d 9

Из этих неравенств

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»