научная статья по теме ВЕКОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ КАК ИСТОЧНИК ДИНАМИЧЕСКОЙ ХАОТИЧНОСТИ В ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ВЕКОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ КАК ИСТОЧНИК ДИНАМИЧЕСКОЙ ХАОТИЧНОСТИ В ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 4, с. 280-289

УДК 523

ВЕКОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ КАК ИСТОЧНИК ДИНАМИЧЕСКОЙ ХАОТИЧНОСТИ В ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ

НЕУПРАВЛЯЕМЫХ СПУТНИКОВ © 2014 г. Т. В. Бордовицына, И. В. Томилова, И. Н. Чувашов

Томский госуниверситет, Томск e-mail: tvbord@sibmail.com; bord@niipmm.tsu.ru Поступила в редакцию 25.02.2013 г. После исправления 30.05.2013 г.

В работе представлены результаты MEGNO-анализа долговременной орбитальной эволюции неуправляемых объектов спутниковых радионавигационных систем (СРНС), размещенных в зонах МЕО (medium Earth orbits) и GEO (geostationary orbits). Показано, что вековые резонансы, действию которых подвержены данные объекты, способны приводить к возникновению динамической хаотичности в их долговременной орбитальной эволюции.

DOI: 10.7868/S0320930X14040045

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа является продолжением нашей работы (Бордовицына, 2012), в которой были представлены результаты исследования долговременной орбитальной эволюции ИСЗ Эталон-1 и -2, а также результаты анализа динамики неуправляемых объектов систем ГЛОНАСС и GPS на орбитах функционирования и утилизации. Показано, что для орбит с наклонениями, выбранными для созвездий навигационных систем, возмущения от вековых резонансов приводят к возрастанию эксцентриситетов орбит, что существенно меняет положение этих орбит в пространстве. Исследования были проведены на интервале времени 100 лет.

Расширив временной интервал исследования орбитальной эволюции ИСЗ Эталон-1 и -2, мы обнаружили, что после достижения эксцентриситетами орбит этих спутников значений 0.4 в движении объектов начинает наблюдаться динамический хаос, который отчетливо фиксируется результатами MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby ОЛк)-анализа. Выяснение причин этого явления показало, что периоды возникновения хаотичности совпадают с периодами наложения вековых резонансов разных порядков. Нас заинтересовали эти результаты, и мы провели исследование долговременной орбитальной эволюции неуправляемых объектов трех СРНС: российской ГЛОНАСС, американской GPS и китайской BEIDOU IGSO, учитывая, что все три системы имеют наклонения орбит, способные приводить к возникновению вековых резонан-сов. Кроме того, объекты систем GPS и BEIDOU

Ю80 подвержены влиянию тессеральных резонансов. Результаты этих исследований приведены в настоящей работе. Поскольку орбитальная эволюция объектов системы ВЕГООи Ю80 рассматривается нами впервые, мы приводим здесь более подробный анализ динамики этих объектов.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для исследования влияния вековых резонан-сов на отработавшие объекты навигационных систем был проведен численно-аналитический эксперимент, состоящий из трех частей:

— выявления вековых резонансов аналитическим способом;

— численное моделирование долговременной орбитальной эволюции с помощью программного комплекса "Численная модель движения систем ИСЗ" (Бордовицына и др., 2009), реализованного в среде параллельного программирования на кластере ТГУ;

— МЕОМО-анализ (СтеоИа и др., 2003) динамической эволюции объектов.

Методика выявления вековых резонансов подробно рассматривалась нами в (Бордовицына и др., 2012). Напомним коротко ее суть.

Запишем аргумент возмущающей функции для однократно и двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел в виде

у = (l - 2p' + q')M + (l - 2р)ю -- (l - 2p>' + y(Q-Q'),

Таблица 1. Резонансные соотношения

№ Резонансное соотношение № Резонансное соотношение № Резонансное соотношение

1. MS - Ю + (¿2 - Q 's ) + id's 11. (¿2 - ¿1 5 ) - (О + (й8 21. ММ - (п -ПМ)

2. мS - (о - (Q - QS) + (S 12. (¿2 - ¿2 5) + 2(0 - 2(05 22. ММ - 2(0 + 2(0М

3. M's - 2(0 + (q - QS) - 2(bS 13. (¿2 - ¿2 ) - 2(0 + 2(0*5 23. ММ - со + (0 М

4. M S + 2 (q -Q S) 14. (" -«5) 24. (о -О 'М) + ю-ю М

5. M S - 2 (q -Q S) 15. ММ - (о + (^ - ^М) + оМ 25. (¡1 - &М ) - (О + (ОМ

6. MS + (n -n S) 16. ММ - (0 - (^2 - М) + (о М 26. (¿2 - ¿2 'М) + 2(Ь - 2(Ь М

7. MS - (n -nS) 17 ММ - 2(0 + (^ - 'М) - 2(оМ 27. (¿2 - ¿2 'М) - 2(Ь + 2(Ь М

8. MS - 2(0 + 2(0S 18. ММ + 2 (о -ПМ) 28. (« М)

9. MS - b + (b S 19. ММ - 2 (п -¿2М) 29. (О

10. (q - QS) + ю - юS 20. мММ + (п - пМ)

у = (I - 2р)ю - (к - 2+ ДО - О), (2)

где

ю = ю0 + ю (I - ¿0), О = О0 + О - ¿0) — долготы перицентра и восходящего узла спутника; М' = М0 +

+ - ¿0), ю' = ю0 + ю' ^ - ¿0), О' = О 0 + - ¿0) — средняя аномалия и долготы перицентра и восходящего узла третьего тела.

Тогда условие возникновения резонанса можно записать в следующем виде

у = 0, у = 0.

Вековые ускорения в движении спутника определяются влиянием второй зональной гармоники и третьего тела и вычисляются по известным формулам, представленным, например, в (Бордовицына, Авдюшев, 2007). Полный набор резонансных соотношений приведен в табл. 1. В настоящей работе, поскольку временной интервал, на котором изучается орбитальная эволюция, велик, мы рассматриваем все резонансные соотношения без каких-либо упрощений и сокращений.

Программный комплекс "Численная модель движения систем ИСЗ", описанный нами в (Бордовицына и др., 2009), дополнен программой вычисления параметра МБОМО (Бордовицына и др., 2010). Комплекс имеет следующую структуру. Уравнения движения совместно с уравнениями параметров МБОМО (Уа1к и др., 2009), записанные в инерциальной системе координат, интегрируются численно с помощью интегратора Гаусса—Эверхарта высокого порядка (Авдюшев, 2010). Потенциал гравитационного поля Земли представлен в виде разложения по шаровым функциям в системе координат, жестко связанной с Землей. Шаровые функции и их первые и вторые частные производные по координатам вычисляются с использованием рекуррентного алгоритма Каннингема (Бордовицына, Авдюшев, 2007). Все параметры разложения потенциала Земли берутся из модели геопотенциала БОМ96, имеющей 360 порядок и степень. Влияние приливных деформаций, происходящих в теле Земли под действием притяжения от Луны и Солнца, вводится в виде добавок в мгновенные значения коэффициентов разложения гравитационного поля Земли.

При вычислении возмущений от Луны и Солнца используется фонд координат больших планет DE406/LE406, предназначенный для исследования долговременной орбитальной эволюции космических объектов. При учете возмущений от светового давления вводится функция тени. Аналитические условия вхождения в тень вычисляются через прямоугольные координаты спутника Солнца (Бордовицына, Авдюшев, 2007).

Расширенный программный комплекс реализован на кластере "Скиф Cyberia", который по структуре доступа к оперативной памяти относится к виду кластеров с распределенной оперативной памятью и позволяет задействовать в процессе обработки данных ресурсы как оперативной памяти узла, так и процессорной памяти. Основной применяемый нами принцип распределения вычислений по ядрам кластера — это распределение по объектам. Возможность варьировать разрядную сетку от 32 до 128 бит позволяет управлять точностью численной модели и ее быстродействием.

Данные по оценке точности прогнозирования движения с помощью описанного программного комплекса приведены в нашей работе (Бордови-цына и др., 2012). Оценки получены по результатам прямого и обратного интегрирования. Они показывают, что при работе на 64-битной разрядной сетке на 100-летнем интервале времени гарантирована точность 10 метров, а на 128-битной сетке — миллиметровая точность.

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ MEGNO

Усредненный параметр MEGNO (Cincotta и др., 2003) представляет собой взвешенную по времени интегральную форму ляпуновского характеристического числа (LCN).

Пусть динамическая система определяется системой уравнений

dx(t) = f(x(t),a), x 6 R2", dt

(3)

где х(?) — шестимерный вектор состояния системы, а а — вектор параметров модели сил. Пусть далее ф (?) = ф (?, х0, ?0) есть решение системы (3) при начальных условиях (?0, х0), тогда LCN определится как

Х = HmllnMi,

t t ||0фСо)||

(4)

ностью до бесконечно малых первого порядка может быть описана вариационным уравнением вида

бф = ^Ьф(?) = .Щф(?)))5ф(?), (ф(?))) = ^ (ф(?)), (5) dt дх

где . (ф (?)) есть матрица Якоби системы дифференциальных уравнений. Параметр LCN может быть представлен также в интегральной форме.

А. = liml f

t — t 1 8ф(5)

(6)

причем 5ф = ¡5, 5ф = 5ф • 5ф/5ф.

Параметр MEGN0 Уф (?) вводится как взвешенная по времени интегральная форма LCN:

t .

* (') = 2 Jt^

t 0 Sфф

(7)

а средняя величина Yф (t) получается как

Y>(t) = 1 [ Yф(s)ds. t J

(8)

Эволюция величин Уф (?) и Уф (?) во времени обладает рядом особенностей для различных типов орбит. Так, например, известно, что для квазипериодических (регулярных) орбит Уф (?) осциллирует около 2, а Уф (?) всегда стремится к 2. Для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора Уф (?) = 0.

В задачах численного моделирования целесообразно (Уа1к и др., 2009) заменить интегральные соотношения (7) и (8) дифференциальными уравнениями и интегрировать совместно с уравнениями движения (3) и уравнениями в вариациях (5) и еще два уравнения

dy = 1, = 2y,

dt 5 • 5 dt t

(9)

причем величины y и w связаны с параметрами MEGNO как

Y (t) = 2y(t)/1, Y (t) = w(t)/1.

(10)

где 5 ф(?) — так называемый касательный вектор, который измеряет эволюцию начального бесконечно малого отклонения 5ф (?0) = 50 между решением ф (?) и очень близкой орбитой. Эта эволюция с точ-

Результаты разработки алгоритма вычисления параметров MEGNO в задачах динамики ИСЗ и данные тестирования той части программного комплекса, которая связана с вычислением параметров MEGNO, подробно описаны в нашей работе (Бордовицына и др., 2010).

о

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В данной работе мы рассматриваем долговременную орбитальную эволюцию неуправляемых объектов СРНС и спутников Эталон-1 и -2.

В настоящее время в околоземном пространстве функционируют две глобальные СРНС: российская ГЛОНАСС и американская GPS, а также китайская система BEIDOU IGSO, не являющаяся пока глобальной и обслуживающая Азиатско-тихоокеанский регион.

Основные орбитальные параметры объектов, орбиты которых расположены в зоне МЕО, приведены в табл. 2. Зависимость орбитальной эволюции

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком