УДК 550.34:519.2
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ СЕЙСМИЧНОСТИ НА ПРИМЕРЕ КАТАЛОГА
КАМЧАТСКИХ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ
© 2010 г. В. В. Богданов, А. В. Павлов, А. Л. Полюхова
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН
684034 Камчатский край, с. Паратунка, e-mail: vbogd@ikir.ru Поступила в редакцию 15.12.2008 г.
Каталог камчатских землетрясений представляется в виде вероятностного пространства трех объектов F, P}. Каждое землетрясение рассматривается как единичный исход в пространстве элементарных событий Q, мощность которого за рассматриваемый период определяется их числом. В свою очередь, характеризуется системой случайных величин: энергетическим классом k, широтой ф(-, долготой X, глубиной h. Время единичного исхода в данной статье из этой системы исключено. Случайные события образуют подмножества в множестве F и задаются с помощью многомерных законов распределения либо функцией распределения F (ф, X, h, k), либо плотностью распределения /(ф, X, h, k), вычисленных на основе конкретного каталога землетрясений. Вероятности P определяются в частотном представлении. На примере закона повторяемости (ЗП), записанного в виде степенной зависимости для плотности распределения /(k), в котором исходным является начальное значение функции распределения /(k0) [Богданов, 2006], а не сейсмическая активность A0, расчетами для представительного класса kmin > 9 показано, что для разных интервалов координат и времени распределение /0(k) очищенного от афтершоков каталога землетрясений тождественно распределению /^(k), соответствующего неочищенному каталогу. Из расчетов следует, что для разных начальных значений энергетического класса k0 (8 < k0 < 12) /(k0) принимает практически одинаковые численные значения. Причем, чем больше рассматриваемых событий, тем это отличие меньше. Высказана гипотеза, что с ростом числа событий значения /(k0) имеют тенденцию группироваться вокруг числа равного 2/3. На основе критерия Колмогорова проверена гипотеза о совместимости аналитического вида вероятностного ЗП на основе функции распределения с начальным значением /(k0) = 2/3 и статистических законов повторяемости. Рассмотрены примеры статистических распределений гипоцентров землетрясений по глубине и эпицентров по различным площадям за различные периоды.
К наиболее опасным стихийным бедствиям с их неопределенностью по силе, месту и времени возникновения относятся катастрофические землетрясения (второе место по числу жертв за один год [Голицын и др., 1999]). Человечество прилагает огромные усилия в исследовании, как самого землетрясения, так и сопутствующих явлений, которые могли бы рассматриваться в качестве предвестников надвигающейся катастрофы. Существует большое разнообразие в методах изучения землетрясений, и в настоящее время разработаны различные модели, описывающие физические, механические, термодинамические и другие процессы, а также различные методы прогноза землетрясений, успешно примененные на практике [Добровольский, 1991; Кейлис-Борок, Кособо-ков,1986; Матвиенко, 1998; Писаренко и др., 1984; Федотов и др., 1987]. Но есть общее, отражающее суть сейсмических явлений, заключающееся в том, что их природа имеет стохастический характер.
Общую (упрощенную) схему, описывающую формирование сейсмического события, можно представить как постепенный непрерывный процесс накопления в недрах Земли упругих напряжений а. В случайный момент времени 1 и в случайной области S могут сложиться условия, приведшие к превышению предела прочности пород. Происходит дискретный сброс сформировавшихся напряжений. Это случайное событие характеризуется энергией Е и координатами гипоцентра $(ф, X, И). Очевидно, что распределение непрерывных напряжений в зависимости от координат и времени несет в себе информацию о вероятностях возникновения сейсмических событий [Болдырев, 2002; Ризниченко, 1985]. Иначе говоря, знание пространственно-временного распределения а(ф, X, И, 1) дает, по крайней мере, в принципе, возможность получить представление о распределении вероятностей многомерных сейсмических явлений как функции случайных непрерывных величин % = (ф, X, И, к, 1) — координат, энергии (или энергети-
ческого класса к = lgE) и времени. Однако очевидно и обратное — распределение вероятностей несет в себе информацию о распределении напряжений с(ф, А, h, t). В свою очередь, любой случайный процесс может быть задан законом распределения, который представляется либо функцией распределения Дф, А, h, к, t), либо плотностью/(ф, А, h, к, t), определяющих вероятности случайных событий Р. Следовательно, с формальной точки зрения, если в пятимерном пространстве для конкретного региона закон распределения известен, то тем самым сейсмический режим описан полностью. При этом необходимо учесть следующее. Выполняя статистическую обработку и опираясь при этом на законы распределения случайных непрерывных величин, логичнее начинать с вычислений статистических рядов распределений. Последние описывают частоту попадания групп событий в те или иные заданные интервалы случайных величин Д. Поэтому наиболее простым является получение в численном виде статистических рядов плотностей распределений /Дф, ДА, М, Дк, Д) или распределений вероятностей Р(Дф, ДА, Дк, Дк, Д), которые можно представить в виде таблиц или соответствующих гистограмм. Эти ряды характеризуют возможности попадания случайных событий в соответствующие интервалы Д-случайных величин (ф, А, к, к, t). На основе распределений частот можно построить ступенчатую многомерную функцию ДДф, ДА, Дк, Дк, Д), которая задает в пространстве и времени описание сейсмического режима, и тем точнее, чем меньше F и больше число рассматриваемых событий п. Исходным для статистических расчетов является каталог землетрясений конкретного региона. При теоретико-вероятностном описании имеет смысл этот каталог представить в виде вероятностного пространства трех математических объектов, а именно: Q — пространство
элементарных событий, F — множество подмножеств случайных событий, Р — вероятности [Колмогоров, 1974]. При этом каждое землетрясение рассматривается как единичный исход ю i в пространстве Q, мощность которого за рассматриваемый период задается числом событий каталога. В свою очередь, каждый исход ю определяется системой случайных непрерывных величин: широтой ф;, долготой А,,глу-биной hi, энергетическим классом к = lgE, и временем t. Составляя комбинации из случайных величин и фиксируя в заданных пределах другие, можно построить подмножества случайных событий в F. Полагаем, что пространственные и энергетические характеристики землетрясений Камчатского региона за период 1962—2009 гг. отражают в среднем его сейсмический режим [Болдырев, 2002]. На примере вероятностного представления закона повторяемости Гутенберга—Рихтера (Gutenberg, Richter) в работе
[Богданов, 2006] продемонстрированы преимущества и перспективность предлагаемой стохастической модели сейсмичности.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Вычисление вероятностей. Будем полагать [Соболев, 1993], что на фоне внешних возмущений в недрах Земли сформировался комплекс условий Ф [Колмогоров, 1974], определивший развитие в некоторой очаговой зоне нелинейных процессов с последующим переходом среды в неустойчивое состояние и ее разрушением [Богданов и др., 2006]. Единичный исход ю; сопровождается регистрацией пяти случайных величин: энергетического класса к, трех координат (широты ф, долготы А и глубины к) и времени В данной статье будем рассматривать только пространственные и энергетические распределения при фиксированном временном интервале, поэтому время единичного события как случайная величина из дальнейшего анализа в предлагаемой модели будет исключено. В этом случае элементарное событие ю; определяет вектор §((ю(), задаваемом четырьмя случайными непрерывными величинами \ = (ф ,, А;, И, к). Распределение событий за некоторый период Т в объеме, задаваемого интервалом координат Дф,, ДА, и Дк,, будет представляться как распределение в четырехмерном пространстве п точек, соответствующих концу вектора
Случайные события могут представлять произвольную комбинацию из переменного числа случайных величин (при фиксировании других) и образовывать в ^ некоторые подмножества А, В, С и т.д. В качестве примера определим подмножества случайных событий этого множества.
Событие А: "Попадание сейсмических событий в разные интервалы энергетического класса Ак в заданном объеме V" (ЗП в вероятностном представлении).
Событие В: "Попадание гипоцентров землетрясений в заданные интервалы глубин Дк, в выбранном объеме V".
Событие С: "Попадание в заданные интервалы Дф,, ДА, эпицентров сейсмических событий, произошедших в выбранном в объеме V".
Объем V задается максимальными и минимальными значениями координат ф, А и глубиной к, которые могут изменяться. Определив случайные события, естественно получить для них на основе конкретного каталога землетрясений соответствующие функции распределения вероятностей. Перечень случайных событий можно расширить.
Рассмотрим, например, случайное событие С. Пусть ему благоприятствовали Шф ^ случаев, т.е. из п событий только шфд попали в заданные интервалы Дф, и ДА,. Тогда характеристикой степени объективной возможности появления события С при выпол-
нении комплекса условий Ф является "относительная частота" V = шфд/п. Эта частота в некоторой степени характеризует существующую связь между складывающимися условиями в недрах Земли и событием С, показывая как часто эти условия формируют наше событие. Практическое применение методов теории вероятности и статистики в различных областях человеческих знаний, где имеют дело с массовыми случайными явлениями, показало удивительную закономерность, связанную с устойчивостью частот. С ростом числа реализаций частоты колеблются вокруг некоторых чисел. Поэтому естественно связать эти числа с каждым индивидуальным событием, формирующимся в случайном эксперименте [Вентцель, 1962]. В дальнейшем под относительной частотой события будем понимать ее математический аналог Р, который характеризует вероятность возникновения события при единичной реализации к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.