ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 1, с. 10-13
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ КРОСС-ДИФФУЗИИ © 2015 г. Я. И. Белопольская
Представлено академиком РАН И.А. Ибрагимовым 08.07.2014 г.
Поступило 30.07.2014 г.
DOI: 10.7868/S086956521507004X
Вероятностные представления решений краевых задач для нелинейных параболических уравнений и систем представляют как теоретический, так и практический интерес, поскольку на их основе можно строить новые эффективные численные методы решения этих задач. Системы квазилинейных параболических уравнений можно разделить на два класса, а именно, системы с диагональной главной частью, которые были рассмотрены в монографии [1], и системы с недиагональной главной частью, называемые иногда сильно связанными системами, рассмотрение которых было начато в работе [2]. Вероятностные представления классических решений задачи Ко-ши для квазилинейных параболических систем с диагональной главной частью были построены в работе [3]. Соответствующие представления решения обобщенных решений задачи Коши для этого класса систем были построены в работе [4], а вязкостные решения — в работе [5]. Однако для сильно связанных систем, возникающих при построении математических моделей различных явлений в биологических, химико-биологических, а также экономических системах, такие представления не известны. В этой работе построено вероятностное представление обобщенного решения задачи Коши для сильно связанной системы параболических уравнений
д1Ы{ = 1 Шу(У и1 + У[ ы1ы2 ]) + и( а1 - а1ы1 - к;и2),
2 (1)
и1 ( 0, х) = ы10(х),
соответствующей одной из простейших моделей с кросс-диффузией [6]. Здесь - = 1, 2, а, а,-, к,- — положительные константы, ? > 0, х е Я'.
Пусть Н = Нк(Я') — соболевское пространство, состоящее из локально суммируемых функ-
ций к: Я' ^ Я таких, что производная Уак порядка а для каждого мультииндекса а с |а| = ^ ау- < к существует в обобщенном смысле и принадлежит
1?. Обозначим Н — замыкание пространства С бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в Нк, и пусть (и, к) = = |и (х)к(х)аХ.
я'
По определению [2, 7] задача Коши (1) имеет обобщенное решение и = (и1, и2), и, е Х2((0, 7); Н),
д(и1 е £2((0, 7); Но), если для любой дифференцируемой функции к({) е Н2 выполняются интегральные тождества
(к(Г), и(0) - (к(0), и(0)) = = |((а1 - аи(^) - к;и2(^))к^), и¡^))ds +
( [esk(s) + 2 ß2(u)Дh(s)"
u¡(s))ds, i = 1, 2, (2)
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: yana.belopolskaya@gmail.com
о
где 1 р2 (и) = 1 + и2, 1Р2 (и) = 1 + и1.
Процедуру построения вероятностного представления обобщенного решения задачи (1) разобьем на три этапа.
На первом этапе предположим, что существует единственное регулярное (дифференцируемое) ограниченное обобщенное решение задачи Коши (1) и, используя результаты теории стохастических потоков Куниты [8], а также результаты работы [4], построим случайные процессы £,'(?), - = 1, 2, ассоциированные с системой параболических уравнений, сопряженной (в смысле приведенных выше интегральных тождеств) с системой (1), затем построим вероятностное представление решения задачи (1) в терминах обращенных во времени
0
+
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
11
Р' с^ л\ п ^ а ^ единственное сильное (т.е. согласованное с пото-случаиных процессов с, (0) = с/(? — 0), 0 < 0 <
Другими словами, на первом этапе мы сведем ис- ком ст^одажебр ст^ге^ы 9 горожджтш
ходную задачу (1) к решению некоторой стохастической задачи.
На втором этапе следует доказать существование и единственность решения этой задачи и изучить свойства этого решения. В частности, нужно показать, что, решив эту задачу, мы построим некоторые функции ы^), и2(0 из требуемого класса Н1.
На третьем этапе нам останется проверить, что построенные на втором этапе функции ы1(!), ы2(!) удовлетворяют в обобщенном смысле задаче Ко-ши (1).
В этой работе будут приведены утверждения, связанные с первым и третьим этапами, которые можно трактовать как условные утверждения. В заключение мы приведем один результат, свя- сят от параметров (у, у, !) и дифференцируемы по
винеровским процессом '№()) решение £,'(?) СДУ (3)
для I = 1, 2. При этом процессы С,у (!), С2,у (О, удовлетворяющие (3), обладают производными по параметру у (определенными в средне-квадратичном) и процессы У(1) = УС5,. (!) е В? х I = 1, 2, удовлетворяют линейным стохастическим уравнениям г
Т(г) = I- 2|уЫ;.(0,с:,.(0)))^(0)^^.(0), (4)
где I — единичная (? х ?)-матрица.
Поскольку решения С5 у (!) непрерывно зави-
занный со вторым этапом.
Рассмотрим вероятностное пространство (О, 9, Р) и пусть w,(!) е В?, I = 1, 2, — это заданные на нем независимые винеровские процессы.
Предполагая, что существует регулярное (дифференцируемое) обобщенное решение ы = (ы1, ы2) задачи (1), рассмотрим случайные процессы С (!) е е В?, ' = 1, 2, удовлетворяющие стохастическим цессом С. (!). дифференциальным уравнениям (СДУ) в форме у
Стратоновича
у, то соотношения С'(!) = Ф5, г(у) порождают отображения ф5,г: В? ^ В?, обладающие эволюционным свойством фд,, ° Ф5>0 (у) = фу, ((у) п.н. Такое
отображение ф5, г называется стохастическим потоком С1-диффеоморфизмов, порожденным про-
<(0) = -Ь( и(0,С(0))) d0 -
- в(и(0, С(0))) ° dw¡(0), С(0) = У е Ял. (3) Здесь
р!(и(г, X)) = + и2(X), М и (г, X)) = [Ур1 (и (г, X ))]р1( и (г, х)) =
= 1 Уи2(г, х) , р2( и (г, X)) = VI + и!( г, X),
и (г, X)) = [Ур2 (и (г, X ))]р2( и (г, X)) =
= 2 Уи1 (г, X).
Отметим, что рассмотрение СДУ в форме Страто-новича, а не в форме Ито, упрощает ряд вычислений. При этом если дифференциал Ито процесса С(!) имеет вид = А(<С(!))?ц>(!), то его дифференциал в форме Стратоновича задается соотношением
А(С(г)) ° dw(г) = = 1 УА (С( г)) А (С( г)) dг + А(С( г)) dw( г).
Пусть (ы1, ы2) — регулярное решение системы (1), тогда, в силу классической теоремы о существовании и единственности решения СДУ, существует
Обозначим у г,: = [ Ф5, г ] 1 отображение, обратное к ф5, г, и пусть /г>: = ёе^Уу^: ] > 0 — это его якобиан. Тогда, используя формулу Ито-Вентце-
ля, можно показать, что процессы р: (х) = : (х) удовлетворяют СДУ:
d у;, X (0) = .т и (у;, X (0)) ь( и (г, X»d 0+
+ т и (у;, X (0))р;( и (г, X)) ° dwi(0), (5)
где р г, е = [Уфе, г ]-1 — матрица Якоби, обратная к
матрице Якоби е . При этом .1е удовлетворяет стохастическому уравнению
Т!(:) = I + |}!(0) -
У и 2 ( 0 - рр ( 0 ) ) л/1 + и2(0, р1(0))
dw1(0) +
^(0)
[Уи2]2(0, Р (0))
4[ 1 + и2(0, Р!(0))]
d0,
(6)
р2(:) = I + . (0)-
Уи 1(0 , р (0)) л/1 + и!(0, р2(0))
dw2 (0) +
+
^ [Уи!]2(0,Р (0))
.(0)
d0.
(7)
4[ 1 + и!(0,р (0))]
:
+
:
:
:
12
БЕЛОПОЛЬСКАЯ
Пусть g¡(u) = у;[а; - аи - ки], где 71 = 1, У2 = у, и
г) = 1 + и(0, £;'(0))Ж0)d0.
(8)
Тогда процесс 5'(0 = УХ'(1) е Я'х ' удовлетворяет уравнению
г
5;'(0 = -|у,[а,Уи1 (0, £0,у(0)) +
о
+ к,Уи2(0, £0,у(0))]С'(0)^(0)d0 +
г
+ 1 |у,[а,- - аи(0, £,0,у(0)) -
-к(и2(0, £0,у(0))]8'(0)d0.
(9)
Наконец, зададим функции и,({) и Уи() соотношениями
и,-( О = Е[(^(г)и0,) ° V,0], Уи,(О = Е[5,(г) ° V, 0J'г,0и0, ° Щ, 0 + + [А.,(г)Уи0,] ° V 00 ].
(10)
(11)
Система (5)—(11) — это замкнутая система уравнений, решение которой, если оно существует и обладает нужными свойствами, позволяет определить вероятностное представление обобщенного решения задачи Коши (1) с помощью соотношений (10).
Для того чтобы установить связь между системами (5)—(11) и (1), заметим, что для заданной пары функций и0; е Н1, ' = 1, 2, композиция и0; со
стохастическим потоком ф^,, — это случайная величина со значениями в Н1. Если к1, к2 е Н1, то случайную величину (к' ° ф^,,) , также можно рассматривать как элемент из Н1. Отметим, что аналогичное утверждение верно и для нерегулярных обобщенных функций, например, для и0; е И1 [8]. При этом из формулы интегрирования по частям для финитных функций к е Н нетрудно вывести соотношения
( и (I, 0) иы, к) = Е
|и 01(У[ ,(х ))к (х) ^
= Е
| и0,( У) к(ф[,(У)) г(У) ^У
= ( и0„ и+ (0, /)к) (12)
У к е Н1, Р - п.в.
Соотношение (12) позволяет связать между собой двойственные эволюционные семейства Ц и и+ ,
порожденные процессами £'(?) и (1), и сформулировать следующие утверждения.
Тео р е ма 1. Пусть пара и1(1), и2(1) е Н1 представляет собой регулярное обобщенное решение системы (1). Тогда существует решение стохастической системы (5)—(11) и функции и1, и2 вида (10) определяют вероятностные представления обобщенного решения задачи Коши (1).
Для того чтобы доказать справедливость этого утверждения, заметим, что если и, — ограниченные дифференцируемые функции, то решение СДУ (3) существует и дифференцируемо по начальным данным, а следовательно, существуют и
процессы у^е (х) = £ (0) = £'(1 — 0), удовлетворяющие СДУ (5). При этом процессы £'(0) обладают марковским свойством и, следовательно, порождают эволюционные семейства Ц-(1, 0) ограниченных отображений, действующих в Н1, а также соответствующие сопряженные эволюционные семейства и+(0, 1), откуда вытекает следующая
Теорема 2. В условиях теоремы 1 семейство операторов К+(0, 1) вида
¥+ (0, 0и0, = Е[[Х,(0и0,] ° V,0]
действует в пространстве Н1 и обладает полугрупповым свойством
У+ (г + г) ¥+ (г, 0) = У+ (г + 0).
Вычисляя соответствующие производящие операторы этих семейств, можно проверить, что функции и1(1), и2(1), заданные соотношением (10), в обобщенном смысле удовлетворяют (1). Верно и обратное утверждение.
Теорема 3. Пусть существует решение стохастической системы (5)—(11) и функции и(, х), заданные соотношением (10), принадлежат классу Н1. Тогда и;(1, х) удовлетворяют интегральным соотношениям (2) и, следовательно, удовлетворяют в слабом смысле задаче Коши (1).
Как уже упоминалось в начале работы, за рамками обсуждения (ввиду ограниченности объема) осталось следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть и0; е Н1. Тогда существует единственное локальное по времени решение и (1) системы (5)—(11), такое, что функции и(1), ' = 1, 2, заданные соотношениями (10), принадлежат классу Н1. Временной интервал, на которо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.