Автоматика и телемеханика, № 8, 2009
РЛСЯ 89.70.+с
© 2009 г. А.Н. КАТУЛЕВ, д-р техн. наук,
А.Н. КУДИНОВ, д-р физ.-мат. наук, М.Ф. МАЛЕВИНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (Тверской государственный университет)
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Изложен метод вычисления вероятностных характеристик нелинейной стохастической динамической системы, основанный на аппроксимации решения нелинейной стохастической системы параболических уравнений отрезком равномерно сходящегося обобщенного ряда Котельникова. Метод распространяется на любые законы распределения вероятностей случайных коэффициентов уравнений, для которых существуют математические ожидания, и приводит к высокой точности решения при учете меньшего количества узлов интерполяции по сравнению с известными методами.
1. Введение
В качестве вероятностных характеристик случайного процесса на выходе динамической системы (объекта) с распределенными параметрами здесь рассматриваются математическое ожидание, моменты высшего порядка и закон распределения вероятностей.
Необходимость вычисления вероятностных характеристик исходит из актуальной потребности анализа функционирования нелинейных стохастических динамических систем при их идентификации в реальных условиях без линеаризации уравнения состояния и замены случайных возмущений средними. Имеется достаточно большое число нелинейных стохастических динамических систем различного назначения, описываемых параболическими и гиперболическими уравнениями, для оценки характеристик качества функционирования которых хороших практических методов не существует. При этом отметим, что все реальные динамические системы обладают конечной полосой пропускания, а потому случайные процессы на выходе стохастических систем должны быть представимы в частотной области финитными функциями. Это обстоятельство является принципиальным и обусловливает необходимость построения метода анализа нелинейных динамических систем в базисе функций Котельникова, а в общем случае - обобщенных функций Котельникова [1, 2].
Цель настоящей статьи - получить расчетные соотношения для вычисления вероятностных характеристик случайного процесса с финитным спектром на выходе стохастической нелинейной динамической системы с распределенными параметрами.
К настоящему времени разработаны и широко используются различные приближенные методы: гармонической и статистической линеаризации [3], эквивалентных
возмущений [3, 4], интерполяционный метод [3, 4], метод теории марковских процессов при условии, что исследуемое решение имеет неограниченный спектр [3], метод сведения исходной системы к стохастической системе типа Ито [5], методы сеток [6], статистических испытаний и имитационного моделирования [3] и метод разложения [7]. Однако эти методы, за исключением двух последних, непосредственно неприменимы для анализа стохастических систем с распределенными параметрами, к тому же они разработаны без учета отмеченного выше обстоятельства. Анализ таких систем очень сложен. Так, в [7] подобную задачу предложено исследовать теоретико-операторным методом при допущении ее сведения к сумме линейной и нелинейной частей и представлении линейной части суммой детерминированной и стохастической компонент. Затем введено предположение о существовании для выделенных частей и компонент обратных операторов, и на этой основе предложена итерационная схема построения обратного оператора для исходной задачи; в результате формируется приближенное решение с последующим определением его вероятностных характеристик с использованием классических приемов теории вероятностей. Сеточные методы формируют результат решения в виде таблиц, что существенно затрудняет расчет вероятностных характеристик исследуемой параболической системы в точках между узлами пространственно-временной сетки: требуется нахождение интерполирующей функции двух переменных, но это приводит к дополнительным ошибкам при расчете искомых характеристик. Метод Монте-Карло менее точен, чем сеточный [6]. В [8] собраны воедино важные достижения последних лет в области анализа биологических моделей и нелинейной динамики; однако стохастические задачи, по существу, в [7] не затронуты.
2. Постановка задачи
Будем рассматривать нелинейную стохастическую динамическую систему с распределенными параметрами, представимую параболическими уравнениями с независимыми случайными коэффициентами и заданными начальными условиями, т.е. представимую задачей Коши - задачей нахождения решения системы уравнений:
дх1 (г, г) 82х1(г,т)
—¿Г" ~ ¿¡^2 = <^(ЛЬ\2,ХъХ2),
дх2 (г, г) д2Х2 (г, г) —01--Л6—0^2— =ММ,М,хих2),
удовлетворяющей начальным условиям Х1 (0,г) = хх(г), Х2(0,г) = Х2(г), где г € Д1, г € Д1, г - пространственная переменная, коэффициенты А1, Л2, А3, Л4, Л5, Аб -независимые случайные величины с известными плотностями распределения вероятностей /8(Л8), в = 1, 6, для которых существуют математические ожидания. Заметим, что если система случайных величин будет коррелированной, то ее известным линейным преобразованием [9] можно свести к некоррелированной.
Очевидно, что искомые характеристики будут вычислены, если будет получено решение задачи Коши (1). В основу ее решения принимается следующая теорема.
Теорема. Пусть в задаче Коши (1) для нелинейной стохастической системы параболических уравнений функции ^1(А1, Л2,х1 ,х2) и <^2(Л4, Л5,х1 ,х2) непрерывны, ограничены при любых значениях Л1; Л2, и Л4, Л5 и имеют ограниченные производные по переменной г в каждой полосе [0,Т], Т > 0, [0,Т] С Д1, начальные условия х1 (г) и х2 (г) - ограниченные функции с ограниченными производными и решение системы имеет финитный спектр.
Тогда исследуемая задача Коши имеет в классе функций х1 (г,г), х2(г,г) при любых значениях г, Л1, Л2, Л3, Л4, Л5, Лб из ограниченной области единственное
непрерывное решение в каждой полосе [0, Т], Т > 0, и аппроксимирующий его обобщенный ряд Котельникова
(2)
ж» (г,т, Л1 ,Л2,..., л6) =
г,
«1 п
а.\ '
кбп к^п
а.6 ' а7
п
8 = 1
8ш[а8(Л8 - (к3-к/аз))}
а8(Л8 - (к8п/а8))
г<?е г = 1,2, аг = 1,7, - граничные значения спектров функций х\(£, г), хг(£,г) по аргументам Х8, в = 1, 6, иг, <71,..., <77 - заданные целые положительные числа, сходится равномерно в этой области.
Доказательство приведено в Приложении.
Требуется построить метод вычисления вероятностных характеристик решения системы (1).
9
к
3. Решение параболической системы, вероятностные характеристики
Сведем задачу Коши (1) к системе стохастических дифференциальных уравнений с обыкновенными производными относительно переменной г - времени. Для этого воспользовавшись идеей метода коллокации [10], представим решение системы в виде
N7
(3) Ж1 (г,т, Л)= ^ аи7 (Ь,Л)фк7 (т),
к7 = -N7
N7
ж2(г,т, Л)= ^ Ьк7 (ь,л)фк7 (т),
к7 = -N7
где фк7 (т), «7 = —N7, N7 - координатные функции обобщенного ряда Котельникова, Л = (Л1 ,...,Лб), ак7 (г, Л), Ьк7 (г, Л) - функции, подлежащие вычислению, они непрерывны и непрерывно дифференцируемы, их производные ограничены. В (3) сделаем замену переменной к7 на I =N + 1 + к7, I = 1,2,..., п = 2 N7 + 1. Положим (Лх, Л2, Ж1, Ж2) = А1Х1 (£, г) + Л2Ж1(4,г)х2(4,г), ¥>2(^4, Л5,Х1,Х2) = = л4ж2(4, г) +л5ж1 (£, г)жг (£, г). На координатной оси г введем сетку узлов п, I = 1, щ затем подставим функции Л) и жг, А) в исходные уравнения и из условия
равенства левых и правых частей последних в выбранных узловых точках г;, I = 1, п, получим систему из 2п нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с обыкновенными производными:
п ^ ф» (т)
¿¡(г, Л) = \\aiit, А) + Л2аг(4,Л)Ьг(4, Л) + А3 Л)——,
г=1
(4) А) = А46;(г, А) + Л5а;(^, А)Ь;(£, Л) + АвХ>М) , г =
г=1
с непрерывно дифференцируемыми по г и ограниченными правыми частями. Решение системы (4) должно отыскиваться при начальных условиях:
(5) аг(0,Л)= Ж1(тг), Ьг(0,Л)= Ж2 (тг)
для каждого узла г;; эта система соответствует исходной системе (1) и также представляет задачу Коши. Перепишем ее в таком виде:
(6) ¿¿(г) = д^г, 21,22,..., гп,\1, Л2,... ,Л6), г = 1,2гг,
с начальными условиями £¿(0), где 21, 22, • • •> %2П— векторы фазовых координат А), А)), I = 1,п, объекта, А) = А), г = 1,п; А) = А),
г = гг + 1,2гг, <7г(£, 21, ,г2,..., -г2и, А1, А2,..., Аб) - нелинейные правые части уравнений системы (4).
Для каждой выборки значений случайных величин Л1, Л2,..., Лб система (6) становится детерминированной нелинейной системой с начальными условиями (5), т.е. классической задачей Коши для нелинейной системы (6). В соответствии с теоремой решение системы (6) при каждом г аппроксимируем отрезком обобщенного ряда Котельникова и запишем в виде
^ (г,Л1 ,Л2,... ,Лб) =
_ ЛГ1^__;ЛГв / ¡^ квтЛ Л- /8ш[а8(А8 - (к8тт/а8))}
~ кв=-^ "Л' ос! осе ) У V <*а(\а - (fc.Tr/a,))
где &17г/а1,..., &б7г/а:б)) г = 1,2п — известные решения, полученные в результате интегрирования системы (6) при конкретных реализациях случайных величин Л1 ,Л2,...,Лб, т.е. при Л1к1 = &1п/а1,..., Лб&в = fcбп/аб, как статистических узлов интерполирования Л1,..., Лб. Погрешность аппроксимации оценивается ограниченной сверху детерминированной величиной [1, 2]
Л
м[д^д(г,г, Л)] = у |х(г, г, Л) - х„,,(г,г, Л)| /(а)^л <
-Л
Л
у/Щь^г)- А«'1 Г (А-А)2^+(Л + А)2^ ^ „ " ^(2,-1) |81П(Л7Г/А) 1 V-[Л2 - А2]2?-1-/(Л)£гЛ'
оо
2
где Л= ЖА, Д = п/а, а = аьа2,...,а7, N = ЖЬЖ2,...,Ж7, Е(г,г) = / х2(г,г,Л)^Л-
— о
конечная энергия функции х(г,г, А) по аргументу А.
Заметим, что в этом проявляется преимущество разрабатываемого метода перед методом Монте-Карло, который характеризуется лишь вероятностью того, что максимальная ошибка будет не больше заданной величины.
Введем функцию Ф(г, А1, А2,..., Аб) и также аппроксимируем ее отрезком обобщенного ряда Котельникова
(7) Ф(г,А1 ,Л2 ,...,Аб) =
_ ЛГ1^__;ЛГв / ¡^ квтЛ Л- /8ш[а8(А8 - (к8тт/а8))}
~ к1=-м, М=-м6 V ' «1 '" '' «6 ) Ц V <*а(\а - {к81т/а,))
При отыскании искомого решения системы (6) будем использовать выражение для математического ожидания М[Ф(г)] = М[Ф(г, А1, А2,..., Аб)] введенной функции; такое выражение имеет вид
(» Е • .....% П«,,.
к1 =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.