ИЗВЕСТИЯ РАИ. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2007, том 71, № 3, с. 423-429
УДК 539.17
ВЕРШИННЫЕ КОНСТАНТЫ (АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НОРМИРОВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ) И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ РАДИУСЫ ДЛЯ ГИПЕРЪЯДЕР В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
© 2007 г. Л. Д. Блохинцев1, В. О. Еременко1, Б. Ф. Иргазиев2, Ю. В. Орлов1
E-mail: blokh@srd.sinp.msu.ru
Рассчитаны вершинные константы, асимптотические нормировочные коэффициенты и среднеквадратичные радиусы для ряда Л-гиперъядер в широком интервале массовых чисел. Взаимодействие Л-гипе-рона с ядром-остовом описывалось потенциалами Вудса - Саксона, Хюльтена и Юкавы. Геометрические параметры потенциала Вудса - Саксона брались из литературы, сила взаимодействия подгонялась по экспериментальной энергии связи основного состояния данного гиперъядра. Параметры потенциалов Хюльтена и Юкавы подбирались таким образом, чтобы воспроизвести одновременно энергию связи гиперона и его среднеквадратичный радиус, рассчитанный с потенциалом Вудса - Саксона. В предположении справедливости приближения эффективного радиуса низкоэнергетические параметры для рассеяния гиперона на ядре-остове выражены через вершинные константы и найдены их численные значения.
ВВЕДЕНИЕ
Вершинные константы (ВК) [1], определяющие процессы виртуального развала ядра на два фрагмента (или обратного процесса синтеза), и пропорциональные им асимптотические нормировочные коэффициенты (АНК) ядерных волновых функций в соответствующих бинарных каналах активно используются при анализе ядерных процессов, в первую очередь астрофизических ядерных реакций [2]. В последнее время в ряде научных лабораторий обсуждаются и планируются возможные эксперименты по рождению релятивистских ги-перъядер и исследованию вызванных ими реакций, для анализа которых будет важно иметь информацию о значениях ВК для отделения гиперона от гиперъядра. В связи с этим в данной работе рассчитаны ВК и АНК (а также среднеквадратичные радиусы) для основных и возбужденных состояний ряда гиперъядер в широком интервале массовых чисел. Отметим, что ВК и АНК для гиперъядер ранее не рассчитывались. Взаимодействие Л-гиперона с ядром-остовом описывалось потенциалами Вудса - Саксона, Хюльтена и Юкавы. Для численных расчетов использована специально разработанная программа решения уравнения Шредингера, позволяющая с хорошей точностью вычислять волновые функции связанных состояний в асимптотической области и находить значения ВК и АНК. Для ^-состояний в потенциале Хюльтена, для волновых функций которых существуют аналитические решения, было проведе-
но сравнение численных и аналитических результатов, что позволило оценить надежность и точность программы. Для двухпараметрических потенциалов Хюльтена и Юкавы получены ограничения сверху на значения безразмерной величины а = к2(г2}, где к2 = 2ц£, £ - энергия связи Л-гиперона, ц - приведенная масса Л-гиперона и ядра-остова, (г2}1/2 - среднеквадратичный радиус Л-гиперона*. Отметим, что помимо состояний дискретного спектра программа рассчитана также и на описание состояний рассеяния.
1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕРШИННЫМИ КОНСТАНТАМИ И АСИМПТОТИЧЕСКИМИ НОРМИРОВОЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ВК 0ЛВС - это матричный элемент виртуального процесса Л ^ В + С в данном парциально-волно-вом состоянии. Она выражается непосредственно через вычет парциальной амплитуды упругого ВС-рассеяния в полюсе, отвечающем связанному состоянию Л [1]:
G2abc( LS) = res (LSI M (E )|LS>| z
(1)
1 Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ им. М.В. Ломоносова.
2 Ташкентский университет, Узбекистан.
Здесь Ь, Б и 3 - соответственно орбитальный, спиновый и полный угловой моменты канала, Е -относительная кинетическая энергия В и С, £ЛВС = = тВ + тс - тЛ - энергия связи Л относительно развала на В + С, т, - масса частицы (ядра) I. Нормировка амплитуды в (1) выбрана таким образом, что для бесспиновых частиц
* Мы используем систему единиц, в которой h = c = 1.
ABC
ЩМ1( Е )|Х) = -
2 п ехр (/5 ь) 8т 51
Ц
(2)
к2 = 2 Ц Е,
5Ь - фаза рассеяния.
ВК Олвс(Ь$) может быть связана с АНК, определяющим асимптотику радиального интеграла перекрытия 1лвс(ЬБ; г) нормированных волновых функций ядер Л, В и С (г - расстояние между центрами масс фрагментов В и С). При г ^ ^ 1ЛВС(ЬБ; г) (в отсутствие кулоновского взаимодействия между В и С) ведет себя следующим образом:
1лвс(LS; г)® Слвс(LS)е кг/г = = Т2к Слвс( LS) ек г / г, к2 = 2це
(3)
лвс-
В научной литературе используются оба типа
АНК: и Слвс, и С лвс. Отметим, что если Iлвс(LS; г) отвечает волновой функции нулевого радиуса действия, то безразмерный АНК Слвс равен единице. Соотношение между GЛBC(LS) и Слвс(^^ имеет вид [1]
Gлвс( LS) = -/Х(п ^вс)1/2 ¡7 Слвс( LS). (4)
Ц
Комбинаторный коэффициент Ывс возникает из-за учета тождественности конституэнтов (в случае ядерных систем, нуклонов) и равен числу перестановок между тождественными частицами, входящими во фрагменты в и С: Ывс = (пв + пс)\(пв\пс\), где ni - число учитываемых тождественных частиц во фрагменте /. Следует подчеркнуть, что численное значение Ывс зависит от конкретной модели, используемой для описания волновых функций ядер л, в и С. Если эффекты тождественности совсем не учитываются (например, ядро л рассматривается как двухчастичное связанное состояние бесструктурных частиц в и С), то Ывс = 1. Если все нуклоны считаются тождественными, то Ывс = (лв + +лс)!/(лв!лс!) (л,- - массовое число ядра /). Если антисимметризация проводится отдельно по протонам и нейтронам, то Ывс = (2в + ZC)!(NB + + Ыс)!/(2в! ZC!NB !ЖС!), где ZiN) - число протонов (нейтронов) в ядре /. Возможны и другие варианты, например, когда в антисимметризации участвуют лишь нуклоны внешних ядерных оболочек. Различным вариантам соответствуют различные значения Ывс, лежащие в интервале 1 < Ывс < (лв + + лс)!/(лв!лс!).
Из сказанного выше следует, что ВК являются более фундаментальными величинами, чем АНК. Действительно, из (1) следует, что ВК определяется универсальным и безмодельным образом через амплитуду упругого рассеяния. С другой стороны, коэффициент пропорциональности в формуле (4), связывающей ВК Gлвс и АНК Слвс, зависит от
ядерной модели, и, следовательно, АНК модельно зависим. В конкретных расчетах определенные значения АНК можно использовать лишь вместе с волновыми функциями, отвечающими той модели, в которой эти значения были получены.
В рассматриваемом в данной работе случае, когда в качестве фрагментов в и С выступают Л-ги-перон и ядро-остов, Ывс = 1.
2. ПРОЦЕДУРА РАСЧЕТОВ
Для нахождения характеристик гиперъядер использована разработанная для среды МаШетайса программа, решающая радиальное уравнение Шредингера для произвольных локальных потенциалов (включая кулоновский) и выдающая целый ряд параметров системы, в том числе энергию связи, волновую функцию, среднеквадратичный радиус и АНК. Соответствующие ВК находились по формуле (4) с Ывс = 1. Ввиду слабой спиновой зависимости ЛЖ-сил и недостаточной экспериментальной информации о характеристиках гиперъядер, мы, как и в ряде других работ, например в [3], ограничились центральным взаимодействием между Л-гипероном и ядром-остовом. В качестве потенциалов, описывающих это взаимодействие, выбраны потенциалы Вудса - Саксона (Уш), Хюльтена (Ун) и Юкавы (УД Потенциал Вудса - Саксона записывался в стандартном виде:
Vws( г) = -V
1 + ехр
г - Я
(5)
Здесь г - расстояние между гипероном и центром масс ядра-остова. Геометрические параметры потенциала Вудса - Саксона Я и ё брались из [3]: Я = = г0л1/ъ, г0 = 1.1 фм, ё = 0.6 фм (л - массовое число ядра-остова). Сила взаимодействия У0 для каждого гиперъядра подгонялась по экспериментальной энергии связи £ Л-гиперона в основном состоянии данного гиперъядра; значения £ брались из [4].
Потенциалы Хюльтена и Юкавы брались в виде
Ун(г) = -Уо/[ехр(уг) -1 ], Уг (г) = -У0ехр (-уг)/уг.
(6)
Параметры этих потенциалов для каждого гиперъядра подбирались таким образом, чтобы воспроизвести одновременно энергию связи гиперона £ и его среднеквадратичный радиус <г2)1/2, рассчитанный с потенциалом Вудса - Саксона. Такая подгонка оказалась возможной только для легких гиперъядер. Это обстоятельство связано с тем, что, как следует из наших численных расчетов (п. 4) (а также из аналитических формул для потенциала Хюльтена (п. 3)), для двухпараметрических потенциалов Хюльтена и Юкавы существуют ограничения сверху на значения безразмерной величины а = к2(г2). Отметим, что а является скейлинговой
ВЕРШИННЫЕ КОНСТАНТЫ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ РАДИУСЫ ДЛЯ ГИПЕРЪЯДЕР 425
переменной и для двухпараметрических потенциалов зависит лишь от безразмерного параметра k0R,
где k0 = 2цР"0, R = 1/у - радиус потенциала. Для потенциала Вудса - Саксона а определяется двумя безразмерными параметрами: k0R и R/d.
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ХЮЛЬТЕНА
В случае потенциала Хюльтена радиальное уравнение Шредингера для .-состояний имеет аналитическое решение [5, 6]. Для низшего .-состояния нормированная радиальная волновая функция имеет вид
¥(г) = х(г)/г = С(- е~Рг)/г
= У2 к р ( к + р) = 42 к ( 1 + х ) в - к 1 - х
Здесь С совпадает в определенным в п. 1 АНК
С =
х = к/р.
(7)
С
ЛВС
2 2 2 2 к = ^, р = к + у = ^ + У
2 У
2 У '
22
ko- У ,2 0мТ,
X = —-2, ko = 2ц Vo.
k 0 + у
(8)
< г2} = ||у( г )| 2г4dг
(9)
= 1 4 х (1 + х ) I 1 к2 ( 1 - х )2 18
8 х3 (1+ х )3
Из этого выражения следует, что при 0 < х < 1 величина а = к2(г2} меняется в пределах
1/2 < а < 3.
(10)
Отметим, что в случае потенциала Хюльтена решение для .-волновой функции уп(г) может быть получено в аналитическом виде для произвольного значения главного квантового числа п. Это решение (ненормированное) имеет вид [6]
уп(г) = со^е р( 1- е р)х х(2V + 1 + п, 1 -п, 2V + 1; е~р)/р.
(11)
Величины к = ,У2Ц£ и р связаны с параметрами потенциала (6) следующим образом:
Здесь - гипергеометрическая функция, р = = уг, V = к/у. Укажем, что в данном случае гипергеометрический ряд вырождается в полином относительно переменной е~р. Для п = 1 выражение (11) совпадает с (7). Для п = 2, вычисляя явно нормировочный интеграл, нетрудно получить
V2 (г) = С(е^' - е-рг)
■1 + х / (3 -х)(2-х)
л 3 +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.