научная статья по теме ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПОЛЯ СКОРОСТИ В ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ УПРУГОЙ ПЛЕНКОЙ Физика

Текст научной статьи на тему «ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПОЛЯ СКОРОСТИ В ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ УПРУГОЙ ПЛЕНКОЙ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015

УДК 532.6

ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПОЛЯ СКОРОСТИ В ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ПОКРЫТОЙ УПРУГОЙ ПЛЕНКОЙ

© 2015 г. Е. Л. АВЕРБУХ*, Т. Г. ТАЛИПОВА***, А. А. КУРКИН*

* Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Нижний Новгород ** Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород e-mail: averbukh.lena@gmail.com; tgtalipova@mail.ru; aakurkin@gmail.com

Поступила в редакцию 14.10.2014 г.

Рассчитаны поля скоростей течений в волнах на свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, покрытой упругой пленкой. Обсуждается вертикальная структура поля скорости течения в волнах гравитационно-капиллярной моды и моды Марангони в приповерхностном пограничном слое для различных значений параметра вязкости жидкости и упругости пленки. Подробно рассмотрена изменчивость горизонтальной скорости в точках совпадения действительной или мнимой части частоты обеих мод.

Ключевые слова: вязкая жидкость, пленки поверхностно-активных веществ, гравитационно-капиллярные волны, волны Марангони.

Присутствие пленок поверхностно-активных веществ (ПАВ) на поверхности жидкости приводит ко многим интересным эффектам. Одним из наиболее важных является эффект сильного затухания гравитационно-капиллярных волн на поверхности жидкости, покрытой пленкой ПАВ, хорошо исследованный в литературе еще в середине прошлого века [1—3] и рассматриваемый в приложении к физике моря и в настоящее время [4—7].

Следующим этапом в исследовании волновых движений на поверхности жидкости, покрытой упругой пленкой, стали работы [8, 9], где наряду с гравитационно-капиллярными рассматриваются продольные волны Марангони, являющиеся другой ветвью дисперсионного уравнения. Волны Марангони представляют собой упругие продольные волны в пленке (горизонтальная скорость значительно больше вертикальной), которые вследствие вязкости захватывают подлежащий пограничный слой жидкости, приводя его в движение. Эти волны — сильнозатухающие, при этом их вклад в динамику пограничного слоя достаточно велик. В частности, отмечено, что при фиксированных значениях параметров вязкости и упругости наибольшее затухание испытывают гравитационно-капиллярные волны, длина которых наиболее близка к соответствующей волне Марангони [8—10]. Тем не менее теоретическое исследование дисперсионного соотношения волн обеих мод на поверхности жидкости, покрытой упругой пленкой, ранее проводилось в предположении малой вязкости жидкости.

Влияние упругих пленок на структуру поля скорости течений в гравитационно-капиллярных волнах на поверхности маловязкой жидкости рассматривалось в работах [10], где анализировалась взаимосвязь между потенциальной и вихревой компонентами скорости течений в гравитационно-капиллярных волнах и представлены вертикальные профили орбитальной скорости частиц. Интересный эффект влияния пленок ПАВ на структуру поля скорости течений во внутренних волнах в приповерхностном погранслое отмечен в [11], где показано, что в лабораторных условиях поле горизон-

тальнои скорости на поверхности жидкости может менять знак по отношению к знаку поля скорости в глубине жидкости.

Точное дисперсионное соотношение для волн на поверхности вязкоИ жидкости, покрытоИ упругой пленкоИ, без ограничения значении вязкости жидкости и упругости пленки впервые исследовано авторами статьи в предыдущей работе [12]. Благодаря этому становится возможным провести исследование поля скоростей обеих волновых мод в приповерхностном погранслое в широком диапазоне изменения параметров вязкости и упругости, что представляется достаточно интересной задачей.

Широкий разброс параметров упругости возможен у полимеров, трубки из которых применяются, например, в медицине, где по ним течет достаточно вязкая кровь, или в транспортных нефте-газомагистралях, где по ним течет вязкая нефть с различными коэффициентами вязкости, что делает эту задачу достаточно актуальной. Исследованию структуры поля скорости частиц в волнах обеих мод и посвящена настоящая работа.

1. Постановка задачи. Рассматривается структура поля скорости течений в волнах на поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, покрытой упругой пленкой. Динамика жидкости описывается линеаризованными уравнениями Навье—Стокса в рамках двумерного движения жидкости в плоскости z), где ось x направлена вдоль свободной поверхности, а ось z — вертикально вверх с нулевой точкой, лежащей на поверхности жидкости

(1.1)

где u, w — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости жидкости, p — давление, р — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, V — коэффициент кинематической вязкости.

Система уравнений (1.1) дополнена граничными условиями на свободной поверхности жидкости (г = 0) — кинематическим граничным условием и двумя динамическими граничными условиями. Первое условие — равенство нормальных напряжений, отвечает за баланс нормальной составляющей тензора напряжений (сил давления и вязкого трения) и капиллярного давления. Второе — равенство тангенциальных напряжений соответствует балансу касательной составляющей тензора вязких напряжений и силы, определяемой градиентом поверхностного натяжения, выраженного через градиент концентрации, а также условием баланса органического вещества в рамках адвекционной модели. Эта система полностью описана в [12]

ди _ 1 др + 1 ---— + V рдх 1 д2и

дг ~ удх2 дг2 J

дк _ 1 др :---— + V рдг | д2к + д 2к

дг ~ 1дх2 + дг 2

ди + _ 0 дг

дх

^ = -Р + 2у— = 4

дг р дг дх

ди + 1 = Е ду

хдг дх) р дх г=0 '

д! + ди = 0

г=0' дг дх

где — волновое возмущение свободной поверхности над уровнем z = 0, Е = -Г0 1 o/dT\г=г — модуль упругости пленки, ст — поверхностное натяжение жидкости, Г0 — невозмущенное значение концентрации пленки на поверхности жидкости, предполагаемое величиной постоянной, у = ДГ/Г0, где ДГ — возмущение концентрации ПАВ.

Решение системы уравнений (1.1) с граничными условиями будем искать в виде гармонической волны частоты ю, состоящей из потенциальной и вихревой компонент

и = (1кЛвк1 - 1С в1 )в(кх)

V = (кЛвкг + 1кСвк )в(кх-ш ) (1.2)

. к1 1(кх-а?)

р = ;рюЛе • ву - pgz

где I2 = к2 — т^ — волновое число вихревой компоненты волны, к — волновое число потенциальной компоненты волны, А и С — произвольные постоянные. Здесь считаем к заданной и действительной величиной. Поскольку решение должно описывать поверхностную волну, спадающую в глубь жидкости, то полагаем Яе I > 0 (Яе — действительная часть). После несложных преобразований получаем алгебраическую систему уравнений относительно постоянных А и С

Л Г/ - 1 + 4) 4 + 2у3 - 2у

—^-^ + 1С §-г-= 0

2 л 2 л

у - 1 у - 1

Л1.2у2 -2+Х) _ С (у'-1у,. 0

(1.3)

2 л 2 л

у - 1 у - 1

Здесь 9 = vk2/ю0 — безразмерный параметр вязкости жидкости, т.е. обратное волновое число Рейнольдса; ю0 = к + стк3/р)1/2 — частота гравитационно-капиллярных волн в отсутствие вязкости и пленки ПАВ; % = Ек3/(рю02) — безразмерный параметр упругости пленки; у = 1/к — отношение вертикальных масштабов вихревой и потенциальной частей волны или безразмерное вихревое волновое число. Приравнивая нулю определитель системы (1.3), находим уравнение для определения безразмерного вихревого волнового числа у, содержащее два параметра, 1/92, или квадрат волнового числа Рейнольдса, и %/92

У Л , 1Ч2

у4 + 2у2 - 4у +1 + -1

1 -2 ] = (1.4)

V 02(у - 1)(у +1)2) б2 (у +1)2

Уравнение решается относительно у, а дисперсионное соотношение выглядит как ю = ;9ю0(у2 - 1) (1.5)

Для фиксированной длины волны при найденных значениях I и ю из уравнений (1.4), (1.5) поле скорости частиц в линейных волнах находится из (1.2) для различных значений параметров вязкости и упругости.

Аналитические решения уравнения для поля скорости течений в волнах можно найти из (1.2), (1.4), (1.5) в приближении маловязкой жидкости [12]. В общем случае, это решение находится численно.

2. Поле скорости течений в волнах. Для удобства представим пространственную структуру поля скорости в безразмерном виде для фиксированной длины волны. Вводя безразмерные переменные кг = г', кх = X и нормируя поле скоростей частиц жидкости в волне как и = и/кЛ и V = V/кЛ, получим (множитель ехр(ш1) опущен)

и = (гег -гЖу)еугУх' V = (в1' - ¥(у)вуг')вЫ'

9

Фиг. 1. Зависимость частоты от безразмерного коэффициента вязкости и положение точек, для которых анализируется поле скорости при % = 0.01: а, б — реальная и мнимая части частоты

где

Р (у) =

у4 -1+А

2у3 - 2у + ^

е2

(2.2)

Результаты расчетов для поля горизонтальной скорости представлены ниже на фиг. 1—3. Для более детального рассмотрения поля скорости будем выбирать точки на дисперсионной кривой зависимости действительной и мнимой частей частоты ю от параметра вязкости 9 при разных значениях параметра упругости %. Далее знаки штриха и тильды опущены.

Для значения безразмерного параметра упругости пленки % = 0.01 (фиг. 1) выделены две характерные точки, соответствующие разным значениям безразмерного коэффициента вязкости — 9 « 0.05; 1.2. Фактически имеем четыре точки, поскольку существуют две моды волн — гравитационно-капиллярная (О и волна Марангони (М). Точки Ох и О2 соответствуют моде гравитационно-капиллярных (поперечных) волн, на которые влияние пленки достаточно мало и существенно не изменяет амплитуду (модуль) и горизонтальной компоненты скорости. Точки М: и М2 соответствуют продольным волнам или моде Марангони.

В точке Ох поле скорости поперечной моды в горизонтальном направлении носит осциллирующий характер во времени, частота этой моды отлична от нуля, и декремент значительно меньше реальной части частоты. На фиг. 2, представляющей реаль-

0 п/2 п 3п/2 х 2п 0 0.5 \и\ 1.0

Фиг. 2. Поле горизонтальной скорости (слева) и ее амплитуда (модуль) (справа) для гравитационно-капиллярных волн в точках и 02 (а, б) и моды Марангони в точках М: и М2 (в, г). Палитра градации серого (слева) соответствует значениям скорости на отрезке [—1, 1] с шагом 0.1

Фиг. 3. Зависимость частоты от безразмерного коэффициента вязкости и положение точек, для которых анализируется поле скорости при % = 1: а, б — реальная и мнимая части часто

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»