научная статья по теме ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОТОКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫМИ ВНУТРЕННИМИ ВОЛНАМИ НА ШЕЛЬФЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОТОКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫМИ ВНУТРЕННИМИ ВОЛНАМИ НА ШЕЛЬФЕ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015

УДК 532.51.517:551.466.8

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОТОКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫМИ ВНУТРЕННИМИ ВОЛНАМИ НА ШЕЛЬФЕ

© 2015 г. А. В. НОСОВА, А. А. СЛЕПЫШЕВ

Морской гидрофизический институт, Севастополь e-mail: slep55@mail.ru

Поступила в редакцию 31.03.2014 г.

Рассматриваются свободные внутренние волны с учетом коэффициентов горизонтального турбулентного обмена в вертикально-неоднородном стратифицированном течении. В линейном приближении находятся дисперсионное соотношение, декремент затухания волны. Во втором порядке по амплитуде волны определяются вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа и волновые потоки тепла и соли. Показано, что основной вклад в волновой перенос вносит вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа, которая при учете турбулентной вязкости и диффузии отлична от нуля. Волновой поток соли превосходит турбулентный. Учет течения приводит к уменьшению вертикальных волновых потоков, однако волновой поток соли все равно превышает турбулентный.

Ключевые слова: внутренние волны, турбулентность, стоксов дрейф.

Внутренние волны повсеместно присутствуют в океане, так как постоянно действуют энергические источники, их порождающие: возмущения атмосферного давления, ветровые напряжения на поверхности моря, взаимодействие течений и приливов с не-однородностями рельефа дна [1], неустойчивость течений [2]. Внутренние волны существуют, благодаря плотностной стратификации, которая присутствует всюду глубже верхнего перемешанного слоя. Вертикальный обмен в морской среде обычно связывается с мелкомасштабной турбулентностью, имеющей перемежаемый характер и учитываемой введением "эффективных" коэффициентов турбулентного обмена. Влияние турбулентной вязкости на внутренние волны исследовано в статьях [1, 3], где показано, что внутренние волны затухают.

Нелинейные эффекты при распространении пакетов внутренних волн проявляются в генерации средних на масштабе волны течений [4, 5]. Вертикальная скорость индуцированного течения на переднем и заднем фронтах пакета имеет разные знаки, поэтому интегральный вертикальный перенос в области внутренней волны не происходит. Вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа у фиксированной моды внутренних волн в невязком случае равна нулю. При наличии турбулентной вязкости и диффузии вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа и волновые потоки тепла (и3Т) и соли (u3S) отличны от нуля [6, 7] (здесь и3 — вертикальная составляющая скорости, Т, S — волновые возмущения температуры и солености, скобки означают осреднение по периоду волны).

Ниже рассматривается влияние средних течений на указанные волновые потоки, на вертикальную составляющую скорости стоксова дрейфа и на суммарный волновой перенос. В реальных морских условиях коэффициенты вертикального турбулентного обмена на 3—5 порядков меньше коэффициентов горизонтального обмена, поэтому

здесь изучается влияние только коэффициентов горизонтального обмена на внутренние волны при учете средних течений.

1. Постановка задачи. Рассматриваются свободные внутренние волны на вертикально-неоднородном течении при учете горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии в приближении Буссинеска. В линейном приближении находятся вертикальное распределение амплитуд внутренних волн, дисперсионное соотношение и декремент затухания волны. Во втором приближении по малой амплитуде волны определяются вертикальная составляющая скорости стоксова дрейфа и волновые потоки тепла и соли.

Безразмерные переменные вводятся по формулам [6, 7] (штрихом обозначены размерные физические величины)

х' = Hxi, ( = 1 + 3), I' = I/ю*, и0 = Нт*и0, У0 = Ню*К0 и' = Н га*щ, р' = р0(0)р, р0(хз) = р0(О)р о(хз)

Р' = р0(0)Н2ш*Р, К ' = Кц, М ' = Мц, С ' = НС

где ю* — характерная частота волны, х1, х2, х3 — две горизонтальные и вертикальная координаты, ось х3 направлена вертикально вверх, щ (; = 1 - 3) — соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения, р и Р — волновые возмущения плотности и давления, р0 — невозмущенная средняя плотность воды, Н — глубина моря, К, М — коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии, ц = К', ^ — вертикальное смещение свободной поверхности моря. Две компоненты скорости среднего течения и0,У0 предполагаются зависящими от х3. Коэффициенты горизонтального турбулентного обмена постоянны. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска имеет вид

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Здесь £2 = р./ю*Н2 — малый параметр, пропорциональный значению горизонтальной турбулентной вязкости р.

Граничные условия на свободной поверхности (х3 = 0)

(1.6)

к ^ = 0, К ^ = 0 (1.7)

дх1 дх2

дЛ + и о К + Ко ^ = «3 (1.8)

д1 дх1 дх2

Динамические условия (1.6) и (1.7) определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напряжений, (1.8) — кинематическое условие на свободной поверхности [8].

Параметр g1 по используемым ниже данным очень велик: gl ~ 103, отсюда С - 0 в (1.6). Условие С = 0 — условие "твердой крышки" для внутренних волн — отфильтровывает поверхностные волны [9]. Отсюда в силу (1.8) и3(0) = 0. В дальнейшем будет использоваться именно это условие на поверхности.

Граничные условия на дне — условие "твердой крышки" и отсутствие тангенциальных напряжений (условие "гладкого скольжения" [3])

«з(-1) = 0 (1.9)

Кдиз = 0, Кдиз = 0, х3 =-1 (1.10)

дх1 дх2

Ввиду того что коэффициентами вертикального обмена пренебрегаем, тангенциальные напряжения у дна нулевые.

2. Линейное приближение. Решения линейного приближения ищем в виде

«з = и30(х3)Ле'в + с.с., и° = и10(х3)Ле'в + с.с., и° = и20(х3)Ле'в + с.с.

/0 Ю

Р1 = Р10(х3)Ле + с.с., р1 = р10(х3)Ле + с.с. (2.1)

где с.с. — комплексно сопряженные слагаемые, Л — амплитудный множитель, 0 — фаза волны; д9/дх1 = к, д9/дt = -ю (к — волновое число, ю — частота). Предполагается, что волна распространяется вдоль оси х1.

После подстановки (2.1) в систему (1.1)—(1.5) следует связь амплитудных функций

U10, U20, рнь Р10 с uзo

«10 = /, П = ю- к ■ и0

к дх3

б2 йи30 + / йи0

к2 йх3 к йх3

Р10 = (/П-б 2 Кк + и30

(/ П- е 2Ик 2)р10 = и30 йр0 йх3

(/О - е2Кк2)«20 = и30

йх3

Функция u30 удовлетворяет уравнению

(/п-е2к • к2)±йи30 + 1™! «з0 к2 йх3 к йх3

(П - е2Ы • к2) \ /Пи30 - — У йх3

2и30 = 0 Граничные условия для u3^

- е2К • к2и30 !> +

30 (2.2)

х3 = 0: и30 = 0, (2.3)

х3 = -1: и30 = 0 (2.4)

При этом граничные условия (1.9), (1.10) выполняются автоматически. Уравнение (2.2) имеет малый параметр е , следуя методу, изложенному в [8, 10], решение и30 и частота ю представляются в виде асимптотических рядов по е :

2

«30(хз, е) = ^0(хз) + е^1(хз) + е ^(хз) +... (2.5)

Ю = Ю0 + £Ю1 + £ 2Ю2 + ... (2.6)

После подстановки разложений (2.5), (2.6) в (2.2) получаем краевую задачу для в нулевом приближении по е:

^ + к 2 Щ Щ = 0 (2.7)

йх3 ^о ^0 йх3

2

где -йр0/йх3 = N — квадрат частоты Брента—Вяйсяля, = ю0 - к • и0 — частота волны со сдвигом Доплера.

Граничные условия для

^„(0) = 0, >у0(-1) = 0 (2.8)

Краевая задача (2.7), (2.8) в случае отсутствия течения при и0 = 0 имеет счетный набор собственных функций — набор мод. Причем каждому значению волнового числа к соответствует определенное значение частоты ю0 < max(N), отвечающее данной моде. При и0 ^ 0 дискретного спектра действительных собственных частот может не существовать [11]. Это связано с сингулярностью в уравнении (2.7) при = 0 (рассматриваются гидродинамически устойчивые течения). При наличии такой сингулярности существует критический слой, где фазовая скорость волны равна скорости потока. Однако в реальных морских условиях на масштабах наблюдаемых внутренних волн фазовая скорость волн превышает скорость течения нередко в 2—3 раза, поэтому дисперсионные кривые при учете течения изменяются незначительно [12]. Это иллюстрируют приводимые ниже расчеты дисперсионных кривых первых двух мод.

Следующий член в разложении (2.5) определяется из уравнения

й1 , 2 N2 -О0) + к й2и0 _ ю1 ^ ~'2- - ~'2

2 + ^^-^_

йх3 О° О0 йх3 О с

-0 й - kw0 й и0 йх° О 0 йх3

2к1 - 2 ^ - . ^ I _ /1 (х3) (2.9)

х3 О0 "0 йх3 "0 V

Граничные условия для функции ^ 1^(0) = 0, 1х(-1) = 0 (2.10) Условие разрешимости краевой задачи (2, 9), (2, 10)

| /10йх3 = 0

Данное условие при о ф 0 в общем не выполняется, и краевая задача (2.9), (2.10) решений не имеет.

Следующее приближение по параметру е удовлетворяет уравнению

0

^0

-к2 + 4

йх3

2 2

щ2 + N к щ2 + к • ^ 0

2

й 2и0

йх

■Щ =

= (-ю2 - /Мкг) (

2 2 Л

й,2^ й и0

—2° • - к ¿20Щ0 + к--20 щ0

V йх3

+ ^0

®2

Л

,2 й »0 к щ--20

йхз ;

йх3

2

- /Кк —20 + /Кк щ0 йх3

= Ф

Граничные условия для функции щ2(0) = 0, щ2(-1) = 0

Условие разрешимости краевой задачи (2.11), (2.12)

(2.11)

(.12)

IФ • щ0йх3 = 0

-1

Отсюда находим выражение для ®2:

^2 Л

2 й Щ0

. г М1к ,г2 ™ 2 а Щ0 4

®2 =-/ 11 — о N Щ0 - Кк -^ + к Кщ,

1 йх2

Щ0 йх-^0 ■

Л'^ 2к

+

^ (2 йхз у

М,к аг2.

1 у ^ ¿0 йхз

Уравнение диффузии для волновых возмущений солености 5 имеет вид

2 2 . к й 2 Л

щ'0)йх3

дs

дs

дs

дs

дБ,

— + (и1 + и0)— + (и2 + К0)— + + щ^0 = е2 —

2 д

дt

дх}

дх2

дх3

дх3

дхл

дхл

М \ + е2^

дх2

М

дх2

(2.13)

где Б0(х3) — средний профиль солености.

Решения линейного приближения будем искать в виде

51 = 510(х3)ЛеЮ + с.с., функция 510 выражается через и30

/и30 йБ0

510 - --;—

О + /е к М йхз

3. Нелинейные эффекты. Скорость стоксова дрейфа частиц жидкости определяется по формуле [13]

(2.14)

(2.15)

= ( |(ийт • У)и

где и — поле волновых эйлеровых скоростей, скобки означают осреднение по периоду волны. Вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны имеет вид

28ю й I 2. . ,*

«з* = — • — (щ0)Л1 Л1 ю0 йх3

Здесь 5® = е2®2// — декремент затухания волны на турбулентности, Л^ = Л ехр(8ю- 0. При равенстве нулю коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии (К = М = 0) декремент затухания и вертикальная компонента скорости стоксова дрейфа также равны нулю.

(3.1)

0

0

Фиг. 1. Вертикальные профили температуры (а) и солености (б)

Фиг. 2. Временной ход вертикальных сме

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»