М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.546:536.25
© 2014 г. Р. Р. СИРАЕВ
ВИБРАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ В НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ В ОТСУТСТВИЕ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ МЕЖДУ ТВЕРДОЙ И ЖИДКОЙ ФАЗАМИ
Теоретически изучается вибрационная тепловая конвекция в насыщенной пористой среде на основе неравновесной тепловой модели, в соответствии с которой температуры пористой среды и насыщающей ее жидкости не совпадают. В приближении вибраций высокой частоты получены осредненные уравнения конвекции. Обнаружена зависимость направления вибрационной силы от коэффициента межфазного теплообмена и частоты вибраций. Исследована вибрационная конвекция в цилиндрическом слое. Показано, что в зависимости от значений коэффициента межфазного теплообмена возможны два вида течений, отличающихся направлением циркуляции жидкости.
Ключевые слова: вибрационная конвекция, насыщенная пористая среда, неравновесная тепловая модель, межфазный теплообмен, цилиндрический слой, конвективный факел.
Впервые действие вибраций на конвективную фильтрацию исследовано в [1]. Для случая высокочастотных линейных вибраций выведена замкнутая система уравнений для осредненных полей скорости, температуры и давления и установлено стабилизирующее влияние вертикальных колебаний. Позже в [2] было отмечено, что в пористой среде влияние вязкости приводит к сдвигу фазы колебаний скорости и температуры по сравнению с вынуждающей силой, и это необходимо учитывать при выводе осред-ненных уравнений.
Теоретическое изучение конвекции в насыщенных пористых средах проводится преимущественно на основе равновесной тепловой модели в предположении равенства температур твердой и жидкой фаз. В настоящей работе изучается фильтрационная вибрационная конвекция в невесомости для случая, когда тепловое равновесие между твердой и жидкой фазами отсутствует и возможен межфазный теплообмен.
Цель работы — изучение влияния межфазного теплообмена на возникновение и развитие вибрационной конвекции, а также определение условий, при которых возможно установление теплового равновесия между фазами.
1. Осредненные уравнения. Рассмотрим область с пористой средой, характеризуемой коэффициентом пористости е и проницаемостью К, совершающую гармонические колебания вдоль единичного вектора п с амплитудой А и частотой
Уравнения конвективной фильтрации жидкости в приближении Буссинеска и в тепловом неравновесном приближении с учетом силы сопротивления Дарси имеют вид [3]
(р ср) = к,А5 (Н — Б)
(1.1)
(рСр ) 5Н = к*АН + ~ ( — Н) — (рСр ) VVH
V-V = 0
В этой системе уравнений v — скорость фильтрации, S — температура твердой фазы, H — температура жидкой фазы, v — вязкость жидкости, Р — коэффициент теплового расширения жидкости, р — плотность, cp — теплоемкость, к — коэффициент теплопроводности, а — коэффициент межфазного теплообмена, индексы s и h обозначают твердую и жидкую фазы.
Сопоставление характерных времен тепловой конвекции и распространенных в технике колебаний указывает на целесообразность рассмотрения высокочастотных вибраций малой амплитуды. В этом случае метод осреднения позволяет получить замкнутую систему уравнений, описывающих осредненные поля скорости, температуры и давления.
Для получения осредненных уравнений представим скорость, температуру и давление в виде суммы усредненных vj, Sp Hy, pi и пульсационных v0, S0, H0, p0 компонент. Выделяя в уравнениях (1.1) пульсационные компоненты и оставляя в них главные по амплитуде слагаемые, получим систему
-1 dv 0 Vp0 у 2
е —- = ——--v0 + AQ. вH1n • cos Qt
dt K
Msf = ^c-S-) (1.2)
(PCp е {S0 - H0 )-(P CP )h v-VHi
V^ v 0 = 0
Решения системы можно записать в виде
v о = Re(we'nt), p0 = Re(qe'nt), S, = Re(Tse'nt), Ho = Re(Tke'nt) Уравнения для амплитуд пульсационных полей имеют вид
'Q Vq v tr-J-n ТТ — w =-----w + AQ в H1n
E Ph K
(pCp) ЮTs =-a-(Th - Ts) (1.3)
1 - £
(pcp)h MTh = a(Ts - Th) - (pcp)h (wV)H1
Удобно изменить масштаб переменной w, выделив из нее множитель е/ (е + 'D.K/ v)
K Vq aQ2BK „ .л
w =---2- +-1— H1n (1.4)
V Ph V
В результате нормировки поле w становится вещественным, так как во втором слагаемом в правой части выражения (1.4) переменная H1 и стоящий перед ней коэффициент являются действительными величинами, а поле q вещественно вследствие ди-вергентности w.
В дальнейшей процедуре осреднения представляет интерес вещественная часть амплитуды температуры Th, для которой из системы (1.3) получается выражение
) _ wГУЯ! «В2 - БгЬе/ +гВ + аЬе/
ке(тн) _ —~—6-2-2—2-2-
п (62 +ю2)(Ье2^ + В2) (1.5)
в _®а-б), ¿е/ _ 1 + ¿1-6
а ■ Da 6
В (1.5) для упрощения записи введены величины В и Ье/, включающие параметры е , Ба = К/1}, Ь = (рср)^(рср)Н, а также ю = ОК/V — безразмерную частоту вибрации и
а = аЬ2/(рср)^ V — безразмерный параметр, характеризующий межфазный теплообмен.
Уравнения для усредненных величин VI, 51, Ну, р1 выводятся с использованием процедуры осреднения по времени системы уравнений (1.1). В уравнении фильтрации жидкости не учитывается слагаемое с ускорением ввиду его малости. В результате получается система
^ = -Ур + 1 ЛПвВН (у/У)Н1п - В„ (у V) w К Рн 2
(рср) ^ = к51 + ^ (Ну - 51)
(рср) дН = кнАН1 + а(51 - Н1) - (рср) VlVН1 (1.6)
у ^ =_ К ^ + АО^РК Н1П
V р Н V
V • V1 = 0, V • у1 = 0 Здесь
>В2 - Ше/ + еВ + ЮЬе/ Б _ Ю (17)
БН -£-2-2-2-2-, В™ _ ~2 2 (1.7)
(Е2 + ю2)(Ье/ + В2) 82 + ю2
Для перехода к безразмерным переменным выберем масштабы расстояния, скорости, давления, пульсационной скорости, пульсационного давления, времени и температуры соответственно 1, и/Ь, рНи2/К, АО 2р© К /и , А^2рНр©Ь, 12/и, ©, где 1 — характерный размер и © — характерная величина температуры. В безразмерной форме система уравнений (1.6) примет вид
V = - Ур + ОиВН (у V) Нп - ОиВК (у V) у
^ = ± д5 + (Н - 5) дt Рг 1 -£ ;
дН = — АН + а (5 - Н)- vVН (1.8)
д1 Рг е
у = -Уд + Нп
V - V = 0, V - у = 0
В уравнениях (1.8) опущены индексы '1' у величин V!, л 5\, Ну, и они содержат безразмерные параметры
Л 0
-0.04 -0.08 -0.12
^--
ш
3
- 23
1 1 1 ^
0
10
20 1п а
Фиг. 1. Зависимость Вн от 1п а: ю = 1.12 • 10 4, 3.37 • 10 4,3.37 • 10 3 (1-3); Бя = 10-10
А 2 П Зр202К 2 2и3 '
Рг =
X н
й =
X н
(1.9)
Последние два слагаемых в уравнении конвективной фильтрации в системе (1.8) образуют вибрационную силу
Е„ = ОиВн (V) На - ОиБ„ (V)
(1.10)
В отличие от аналогичного выражения для вибрационной силы в обычной жидкости (1.10) содержит множители Вк и В^. Важно отметить, что один из них В^ знако-определен, а знак ВИ может изменяться. Это означает возможность изменения направления силы на противоположное при варьировании входящих в Вк параметров.
Рассмотрим для примера зависимости Вк и В^ от частоты вибраций и параметра а для случая, когда твердая фаза состоит из алюминия, а жидкая фаза — вода. Предположим, что характерный размер задачи Ь = 1 м, коэффициент проницаемости пористой среды К = 10-10 м2, пористость среды г = 0.3. Множитель Вь, как следует из фиг. 1, не зависит от а при малых и больших значениях этого параметра. При малых значениях
коэффициента межфазного теплообмена Вн « Вн0, где Вн0 = еюДе2 + ю2). Когда а велико, справедлива асимптотика Вн « Вн/Ь^. Однако в области значений а ~ 106—109 величина Вк заметно изменяется со сменой знака. Анализ выражения (1.10) позволяет предположить существование в указанном интервале параметра а эффекта "инверсии" силы, т.е. изменения направления ¥и на противоположное по сравнению с обычным. Для проверки этого предположения обратимся к конкретной задаче.
2. Вибрационная конвекция в цилиндрическом слое. Рассмотрим слой насыщенной пористой среды, ограниченный твердыми цилиндрическими поверхностями с радиусами и Я2. Слой вместе с заполняющей его вязкой несжимаемой жидкостью совершает вибрации перпендикулярно оси. Цилиндрические границы поддерживаются при различных температурах: внутренняя имеет температуру 71, внешняя — Т2 < 7]. Выберем в качестве характерного размера радиус внешнего цилиндра Ь = Я2, а в качестве характерной температуры 0 = Т - Т2. Конвективная фильтрация в слое описывается
и
Оо =
-3.4
Фиг. 2. Линии тока (а, г), изотермы Н (б, д) и £ (в, е) конвективного движения: Я = 0.3, Рг = 6.13, Бя = 10-10, © = 3.37 • 10-4; а = 4.6, Ог„ = 5 -104 (а, б, в); a = 4.6 • 106, Ог^ = 2500 (г, д, е); стрелки (а) — направление колебаний
уравнениями (1.8). К безразмерным параметрам (1.9) добавится отношение радиусов цилиндров Я = Я2/Я1.
Для температуры на границах слоя выполняются условия
г = Я: S = 1, Н = 1; г = 1: 5 = 0, Н = 0 (2.1)
На обеих цилиндрических поверхностях обращаются в ноль нормальные компоненты осредненной и пульсационной скорости фильтрации
ип = 0, wn = 0
(2.2)
Для определения значений безразмерных параметров примем некоторые предположения. Будем считать, что твердая фаза состоит из алюминия, а жидкость — вода. Температура жидкости близка к 20°С, давление близко к нормальному атмосферному. Предположим, что характерный размер задачи Ь = 1 м, коэффициент проницаемости пористой среды К = 10-10 м2, пористость среды в = 0.3. Это позволяет зафиксировать значения некоторых параметров: Рг = 6.13, Ба = 10-10, Ь = 0.583, Ь^ = 1.25, й = 3.09.
Сформулированная краевая задача решалась численно методом конечных разностей. Расчеты проводились для различных значений вибрационного числа Грасгофа, параметра а и толщины слоя.
Рассмотрим результаты решения для толстых слоев, характерной особенностью которых является эволюционное развитие течения с увеличением Ог^ и формирование конвективного факела при больших значениях Ог^. На фиг. 2 представлены структуры
Фиг. 3. Линии тока (а—в) и изотермы (г—е) конвективного движения: Я = 0.7, Рг = 6.13, Ба = 10-10, ю = 3.37 • 10-4; а = 4.6, Gгu = 104 (а, г) , 105 (б, д); а = 4.6 • 106, Gгu = 104 (в, е); стрелки (а) — направление колебаний
стационарных движений для двух значений параметра а в толстом слое Я = 0.3. Рядом с рисунком указаны значения функции тока в центре вихря. Течение, изображенное на фиг. 2 а—в, возникает при а = 4.6. Жидкость притекает к нагретому цилиндру, вдоль оси вибрации и растекается в перпендикулярных направле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.