ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2014
УДК 534.1
© 2014 г. Крупенин В.Л.
ВИБРОУДАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СЕМЕЙСТВЕ УПРУГИХ СИСТЕМ С ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ ГРАНИЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ПОСРЕДСТВОМ НЕНЬЮТОНОВСКИХ УДАРОВ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва
Предложена схема анализа динамических систем, составленных из большого числа упругих систем простой структуры с произвольным числом степеней свободы. Предполагается, что данная составная система содержит ряд зазоров, присутствие которых может вызывать развитие сильно нелинейных режимов движения вследствие контактного взаимодействия, не предполагаемого ньютоновским. Строится обобщение методик частотно-временного анализа виброударных процессов и сингуляризации, пригодное для исследования этих систем. Выводятся общие определяющие соотношения, даны примеры расчета.
1. Используем операторные формы записи уравнений движения [1, 2]. Следуя работе [3], рассмотрим семейство стационарных склерономных линейных упруговязких систем с полной диссипацией энергии, обозначаемое далее A = (Aq, Ab..., AN) (рис. 1). Каждой из систем Ar семейства A отвечает поле перемещений ur(xr, t) е R3, причем векторы xr е Xr с R3 суть векторные координаты точек систем Ar, t е R, r = 0, 1,., N. Заметим, что в настоящей статье везде предполагается, что в моделях ньютоновские соударения заменены взаимодействием в неких жестких упругих буферах; чтобы не перегружать рисунки, будем пользоваться сокращенными обозначениями (рис. 1).
Динамика всех членов семейства A определяется системами матричных операторов динамической податливости [1, 2] L(r)) (yr, xr;p), гдеp — оператор дифференцирования. Эти операторы имеют размерность [3 х 3] и ставят в соответствие силовым полям fr(xr, t) [xr е Xr] поля перемещений
Ur(x„ t) = L (y„ Xr; p) fr(y„ t). (1)
Каждый оператор L(r) является интегродифференциальным оператором и строится либо при посредстве исходной системы уравнений движения и необходимых дополнительных (например, граничных) условий, либо на основании обработки экспериментальных данных [4, 5]. Отметим, что в присутствии нелинейных сил fr(ur; t) представление (1) обращается в нелинейное операторное уравнение.
Предположим, что каждая из систем Ar (r = 1,., N) взаимодействует (соударяется) с системой A0 следующим образом.
Во-первых, взаимодействие является одномерным и осуществляемым вдоль некоторой линии, т.е. в случае мгновенного удара можно говорить о прямом центральном ударе взаимодействующих точечных тел.
Во-вторых, при отказе от обязательного применения гипотезы Ньютона, предполагающей мгновенность соударений, используются результаты, изложенные в работе [6] и [1, 2].
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим класс пороговых функций |Ф|Д, относя сюда функции Ф(х) = = у(х — А)п(х — А), где х — скалярная величина (координата), п(х) — функция Хеви-сайда, у(х) — такая монотонно возрастающая гладкая функция, что у(0) = 0; А — ("порог") координата начала взаимодействия (зазор). В приложениях наиболее важны случаи, когда функции у(х) выпуклы. В дальнейшем будем рассматривать быстровозрас-тающие пороговые функции. Введем большой параметр Х > 1. Дальнейшие рассмотрения ограничим системами с сильными нелинейностями порогового типа ХФ(х) е Х{Ф}Д — класса сильных пороговых нелинейностей [1, 2]. Таким образом, можно получить изображение рис. 2. Функции из класса Х{Ф}Д описывают упругую составляющую силы взаимодействия при учете конечной продолжительности удара. Вопрос об описании диссипативных потерь при коротких ударных взаимодействиях механических систем определяет самостоятельную проблему и в настоящей статье специально не рассматривается. В простейших случаях некоторые рассмотрения были проведены в [1, 2 и 6]. Далее будем полагать взаимодействие упругим. Имеется также возможность учитывать потери энергии во время взаимодействия при помощи феноменологических гипотез, включая гипотезу Ньютона о коэффициенте восстановления и принципа энергетического баланса [1, 2].
2. Пусть при хг = хг0 в каждой из систем Аг установлен буфер, снабженный жесткой пружиной, при деформации которого система Аг взаимодействует (соударяется через буфер) с системой А в точках х0 = х0г. Таким образом, объединенная система (семейство) А содержит N сосредоточенных ударных пар, в которых возможны короткие соударения конечной продолжительности. Введем относительные координаты
и обозначим ФГ[ХГ, иг(?)] упругую составляющую силы удара в г-й ударной паре, где {Хг} — семейство больших параметров одного порядка Хг > 1 для всех г. Физический смысл больших параметров Хг и есть упругость пружин в г-м буфере. Тогда можно записать систему из N + 1)-го операторного уравнения движения объединенной виброударной системы А [1]
и,( 1) = и0(х0г, 1) - и(хг0,1)
(2)
ио(Хо, 1) = Ь ;(Уо, Хо; р){Го(у„ 1) - ЕФ,[Х„ и,(1 )]5(Уо - Хо,)}, и,(Х„ 1) = Ь (У,, Х,; Р){Г,(У,, 1) + Ф,[Х,, и,( 1 )]5(у,, х,о)},
(о)
(3)
где суммирование ведется по г = 1,..., N 8(х) — 8-функция Дирака.
При помощи (2) можно понизить число анализируемых уравнений. Проведя N вычитаний второго уравнения (3) из первого уравнения (3), получаем для относительных координат (2) при r = 1,..., N
Ur(t) = Uro(t) - L(0)(Xor, Xo; p)ЕФr[X„ ur(t)]L(r\xr„ xr; р)Фг[Х, ur(t)], (4)
где суммирование ведется по r = 1, ..., N и обозначено Ur0(i) = L(0)(y0, x0; p)f(y0, t) — — L(r)(yr, xr; p)f(yr, t) — изменение относительных координат (2) в отсутствие взаимодействия. Кроме того введены операторы
Lk(0 r)(p) = L(Q)(xor. xo; р); Lor(р) = L0)(xor> xor; р) + Lr)(x-o. x-o; p).
Таким образом соотношения (3) можно переписать так
Ur(t) = Uro(t) - Lor(p^r[K Ur(t)] - L(0)(xor, xo; p)2Фk[X, uk(t)], (5)
причем суммирование по k осуществляется при k Ф r.
Выведенные соотношения общие, так как описывают поведение представительного класса линейных между взаимодействиями систем. Если необходимые системы операторов динамической податливости и распределения внешних сил заданы, а гипотеза взаимодействия, определяющая функции конкретизирована, то, найдя из системы уравнений (4) представления относительных координат ur0, можно при помощи соотношений (3) найти перемещения любой точки семейства A. В работе [3] гипотеза удара была конкретизирована: рассматривалась гипотеза Ньютона. Здесь рассматриваются гипотезы взаимодействия, описываемые классом 1{Ф|Д.
3. При решении поставленной задачи (5), будем использовать метод сингуляриза-ции [6], состоящий в замене непрерывной сильной нелинейности из семейства 1{Ф|Д нелинейностью, описываемой сингулярной обобщенной функцией, отвечающей гипотезе Ньютона, или другим гипотезам. предполагающим мгновенность соударения [1, 2, 6]. Суть метода заключается в следующем.
Пусть имеется консервативная сильно нелинейная система вида
х(t) = -Lo(р)[ХФ(х)], Фе (Ф}д, ImLo(/ю) = o , (6)
где линейная часть системы предполагается фильтрующей, так что L0(p) = O(p-2).
Для отыскания периодических режимов некоторого периода T0, необходимо решить нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна
To
X(t) = - Jxx(t- s)Ф[х(s)]ds. (7)
o
Ядро x(t) — периодическая функция Грина (ПФГ), отвечающая оператору L0(p). Представления законов движения виброударных систем разных типов через ПФГ линейных систем лежат в основе частотно-временного анализа виброударных процессов [1, 2, 4]. ПФГ — реакция линейной системы на силовое возбуждение, заданное периодической 8-функцией Дирака. Имеют место соотношения для T-периодической 8-функции
да да
8^t) = ^ X ехр(in™t) = X 8(t- hT), T = 2пю-1. (8)
n = -да h = -да
Для T-периодической ПФГ соответственно имеем
Х(О = 1- ^ хо(п1(а)ехР(¿и®0. (9)
п = -да
Существуют приемы, позволяющие просуммировать бесконечный ряд Фурье, входящий в (9) и представить ПФГ в конечной форме. Эти вопросы подробно рассмотрены в приведенных источниках.
Выражение Ф[х(з)] отлично от нуля только при х > А и в этой зоне к координате х приведены еще и дополнительные, малые по сравнению с потенциальной силой ХФ(х), структурные потенциальные силы упругости системы. При больших X и скоростях взаимодействия этими силами можно пренебречь и приближенно описать изменение координаты х уравнением второго порядка
тх + ХФ(х) = 0, х(0) = А, х(0) = К0, (10)
где для определенности начало взаимодействия совмещено с началом отсчета времени; У0 — скорость начала взаимодействия. Величина т имеет размерность массы и ее можно вычислить, например, как приведенную массу взаимодействующих тел или исходя из вида оператора Ь0(р) [1, 2, 5].
Обозначим — малое время взаимодействия. Таким образом период колебаний Т = Т* + где Т* — время между окончанием некоторого предыдущего взаимодействия и началом последующего. В силу свойств пороговых функций из уравнения (7) находим
Н.
х (г) = -|х( г - 5){ХФ[х(5)]} ds = -1}Х[ г - ©( 0]. (11)
0
Причем при написании последнего равенства использовали теорему о среднем. Поэтому 0 < ©(?) < Ц,, а импульс взаимодействия
к
1Х = -|ХФ[х(5)]ds . (12)
0
Причем, как доказано в [1, 2], в случае, когда X —- да, ^ —- 0; 1Х —- J = 2тУ0, т.е. в пределе приходим к гипотезе о мгновенном ударе; сила ударного взаимодействия записывается через сингулярную обобщенную функцию. Решение задачи в этом случае имеет вид х(() = —J%(? — ф), где ф — произвольный момент удара.
В рассматриваемой системе, при необходимости учета конечности времени взаимодействия, следуя [6, 1, 2], можно приближенно записать
х(г) = -/х(г -1 г, - ф) . (13)
Таким образом, согласно сделанным допущениям эквивалентные удары происходят в моменты времени ? = 1/2?Х + ф. Далее совмещая начало отсчета времени с началом взаимодействия, произвольную фазу можно положить равной нулю.
Используемые определяющие величины были вычислены в работах [6, 1, 2]. Для распространенных в практических расчетах кусочно-степенных характеристиках х для больших импульсов взаимодействия имеем ХФ(х) = (х — А)ап(х — А), где п(х) — функция Хевисайда, а > 1:
y/2
x, = 1/2 t, = 1/2DJ m-Y/2, Dx = Ä-^ Г [ 1 / a + 1 1-,
(1 /а + 1 )1/(а +1) (а + 1 )Г[а + 3/2(а + 1)1
y = Ь-а, д = _j Х[Т,(J )i, J =—--А-, (14)
1 + а — л. Х( 1/2?,) х( 0)
+ 1/4D J m Y
1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.