АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 666-671
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.222
ВЛИЯНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ нелинеиности НА ХАРАКТЕР НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
© 2007 г. В. Е. Назаров
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 E-mail: nazarov@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 12.06.05 г.
Методом возмущений исследованы нелинейные акустические эффекты в твердотельных средах, обладающих различными видами нелинейности: упругой, гистерезисной и неупругой. Выявлены качественно отличающиеся закономерности проявления нелинейных эффектов в таких средах, способствующие их классификации по видам акустической нелинейности.
PACS: 43.25. Ba, 43.25.Dc
ВВЕДЕНИЕ
Распространение и взаимодействие интенсивных акустических волн в твердотельных средах сопровождается разнообразными нелинейными эффектами (генерацией высших гармоник и комбинационных частот, самодетектированием высокочастотных импульсов, самовоздействием, затуханием звука на звуке и т.д.). Закономерности проявления таких эффектов определяются (при прочих равных условиях - одинаковых амплитудах и частотах первичных волн, одинаковой геометрии их взаимодействия и т.д.) нелинейными свойствами среды, т.е. нелинейностью ее уравнения состояния. В акустике различают следующие типы нелинейности: геометрическую и физическую или материальную [1-9]. (Вообще говоря, в акустике имеет место и еще одна нелинейность -граничная [4-9]; по существу, она также является геометрической.) Геометрическая нелинейность отражает нелинейность уравнений движения (одинаковых для всех сред), а материальная -определяется физическими механизмами нелинейного деформирования твердого тела. Для различных твердых тел эти механизмы могут быть различными, поэтому и физическая нелинейность различных сред часто является различной и сугубо индивидуальной для каждой среды. Геометрическая нелинейность всех твердых тел является упругой (или реактивной) квадратичной нелинейностью - ее параметр равен 3/2 [1, 2]. Физическая нелинейность однородных твердых тел также является упругой и, в основном, квадратичной; ее параметр у (положительный для многих однородных сред, за небольшим исключением, например, стекла пирекс), не превышает 10 [1, 2]. Такая нелинейность связана с нелинейностью сил
межмолекулярного взаимодействия; она описывается 5-ти константной теорией упругости и для малых продольных напряжений а и деформаций £, характерных для акустических волн, определяется простым аналитическим выражением: а(е) =
= E
Y 2" р _ ± р
2 р
, где E - модуль упругости твердого
тела, |уе| < 1.
В микронеоднородных твердых телах, содержащих различные дефекты (трещины, зерна, дислокации и т.д.), нелинейные процессы проявляются более сложно и разнообразно - акустическая нелинейность таких сред определяется, в основном, их дефектами. Кроме упругой нелинейности (часто неаналитической), микронеоднородные среды могут обладать гистерезисной и неупругой (или диссипативной) нелинейностью, при этом эффективные упругие (квадратичные и кубичные) параметры нелинейности этих сред, как правило, на несколько порядков превышают соответствующие параметры однородных твердых тел [1, 2]. В связи с этим, основной вклад в акустическую нелинейность микронеоднородных твердых тел вносит структурная нелинейность содержащихся в них дефектов, при этом геометрическую нелинейность уравнений движения и нелинейность молекулярного взаимодействия однородной (бездефектной) части среды можно вообще не учитывать.
В экспериментах по исследованию нелинейных волновых процессов в микронеоднородных средах [10, 11] может проявляться (в зависимости от амплитуд и частот акустических волн) любая из отмеченных выше нелинейностей и всегда возникает задача определить, какой вид нелинейно-
сти исследуемои среды отвечает за проявление наблюдаемого эффекта. Каждая из этих нелинеИ-ностеИ принципиально отличается от другоИ, что, безусловно, проявляется в закономерностях наблюдаемых нелинеИных эффектов и позволяет, вообще говоря, решать обратную задачу, а именно по характеру и закономерностям нелинеИных эффектов определять вид нелинеИности исследу-емоИ среды.
В настоящеИ работе проводится сравнитель-ныИ анализ и выявление отличиИ влияния различных видов структурноИ нелинеИности твердых тел (реактивноИ, гистерезисноИ и диссипативноИ) на проявления в них нелинеИных акустических эффектов, изучение закономерностеИ которых позволяет сделать вывод о виде нелинеИности ис-следуемоИ среды. Описание нелинеИных эффектов будет проводиться методом возмущениИ (в первом приближении), при этом будут исследованы самовоздеИствие гармоническоИ волны и генерация ее высших гармоник в безграничноИ среде, а также эффекты амплитудно-фазовоИ модуляции слабых высокочастотных (ВЧ) волн под деИствием мощноИ низкочастотноИ (НЧ) волны накачки в стержневом резонаторе.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СТРУКТУРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ МИКРОНЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Здесь будут рассматриваться наиболее простые виды реактивноИ, гистерезисноИ и диссипативноИ нелинеИностеИ, когда все они являются квадратичноИ функциеИ амплитуды деформации ет. (Для некоторых поликристаллических горных пород и металлов эти нелинеИности могут быть кубичными или даже дробно-степенными функциями амплитуды ет.) Здесь также будут рассматриваться безинерционные нелинеИности, проявляющиеся в области относительно низких частот акустических волн, существенно меньших релаксационных (и/или резонансных) частот дефектов микронеоднородных сред. В этом случае (для продольных напряжениИ а и деформациИ е) нели-неИное уравнение состояния твердого тела удобно представить в следующеИ форме:
стью, соответственно, функцию f (е, е) можно представить в виде [1, 12]:
с(е, е) = Е[е _ f (е, е)] + ар[ 1 + р|е|]ё,
(1)
f (е, е) = 2
п ■ \ 1 2
f(е, е) = 2уе ,
Y1 е , е> 0, е> 0;
(2)
- Y2е + (Yi+ Y2)ете, е> 0, е < 0;
2
-Y3е , е< 0, е < 0;
2
Y 4 е + (Y з + Y 4 )ете, е< 0, е > 0,
(3)
где /(е, е) - нелинеИная функция деформации и
скорости деформации е, определяющая упругую или гистерезисную нелинеИность, а - коэффициент линеИноИ вязкости, р - плотность, в - безраз-мерныИ параметр диссипативноИ нелинеИности,
|Де, е)| ^ |е|, р|е| ^ 1, ар|е |/С ^ 1, С0 = Е/р. Для сред с реактивноИ и гистерезисноИ нелинеИно-
где Ух_4 - параметры, определяющие гистерезисную нелинеИность твердого тела на различных стадиях его деформирования, |у| ^ 1, 4 | > 1, У1 + У2 > 0, Уз + У4 > 0. Следует заметить, что если упругая квадратичная нелинеИность (2) определяется однозначно, то выражения для гистерезисноИ и диссипативноИ нелинеИностеИ (также квадратичных по амплитуде деформации ет) могут быть и другими. Так, например, нелинеИная функция /(е, е) может описывать не только упругиИ гистерезис (3), но и гистерезис неупругиИ [13], а дис-сипативная нелинеИность арв|е|е может иметь вид арв|е |е (параметр в при этом будет размерным), однако принципиально это ничего не меняет. Здесь также следует отметить основные своИ-ства и отличия рассматриваемых нелинеИностеИ: упругая нелинеИность (2) - четная и аналитическая функция деформации е, гистерезисная нелинеИность (3) - неаналитическая функция общего вида, а неупругая нелинеИность - неаналитическая и нечетная функция скорости деформации е. Кроме того, упругая (2) и гистерезисная (3) нелинеИности не зависят от частоты ю акустическоИ волны, а диссипативная нелинеИность арв|е|е ~ ю.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДАХ С РАЗЛИЧНЫМИ ВИДАМИ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Рассмотрим сначала наиболее простые нелинейные эффекты, возникающие в средах, описываемых уравнением состояния (1), при возбуждении в них одномерной продольной гармонической волны. Граничное условие зададим в виде: е(х = 0, t) = е0 sin rot. Подставляя уравнение
состояния (1) в уравнение движения pUtt = сх(е, е), где U - смещение, е = Ux, получим:
д2е- C2ddj) = _ с?ЭУ(е, е )
2 C0 2 C0 2
д t д x dx
где 5 = ар.
sa2(|е|е), 5 v ' 2 ) + а д x
Э3 е д x2 д t
Уравнение (4) определяет нелинейное распространение волны с частотой ю и генерацию ее высших гармоник. Поскольку нелинейность этого уравнения мала, его решение можно искать методом возмущений, полагая, что:
e(x, 0) = ^en(x, 0) = ^£n(x) sin [n0 - фn(x)], (5)
n = 1 n = 1
где 0 = rot - kx, к = ю/С0, = 2 en(x, 0) < |e1 (x, 0)|, а en(x) и фи(х) - медленно-меняющиеся функции координаты x. В первом приближении теории возмущений, на небольших расстояниях (aro2x/2 C0 <§ 1, yte0kx <§ 1) при у C0 е0/аю > 1, когда линейное зату-
хание мало и слагаемое a
Э3е д x2d t
уравнении (4)
можно не учитывать, решение (5) для сред с различными видами нелинейности имеет вид:
уе00 кх
е(х, 0) = £0sin0 + —-—cos20,
е(х, 0) = £0(1 - a1 е0kx)sin(0 - Ь1о0кх) + + elkx ^ nja2n + b2nsin [n(0 - b 1 e0кх) + ],
^ m о m 2 Ô£o гокхЛ . 0 е(х, 0) = е01 1--— |sin0
(6)
(7)
3п С0
ôe0 гокх х-, + 0 - Х( 2 n +1 ) c2n +isin ( 2 n +1 )0,
(8)
2C0
'0 п = 1
где коэффициенты ап, Ьп являются линейными комбинациями параметров у1-4 [12], в частности
а1 = • Ь1 = - * + Тз - Г4 +
3^ I 4. Ui an
+ "8" (Yl + Y2 + Y3 + Y4 г, tg ^ = , C2n + 1 =
пространения волны, а также генерация высших (четных и нечетных) гармоник, амплитуды которых квадратично зависят от е0 и линейно растут с расстоянием х. В среде же с диссипативной нелинейностью имеет место амплитудно-зависимое затухание волны основной частоты и генерация только нечетных гармоник, также квадратично зависящих от е0 и линейно растущих с расстоянием х.
Можно привести и еще некоторые качественные отличия нелинейных акустических эффектов, связанных, например, с самодемодуляцией (или детектированием) ВЧ импульсов в средах с различной нелинейностью. Так при возбуждении в среде первичных ВЧ импульсов е2(х = 0, t) = = e0^(t)sinrot, A(t) - огибающая, roT > 1, T - длительность импульса, формы вторичных НЧ про-детектированных импульсов ейй(х, т) в средах с упругой и гистерезисной нелинейностью определяются следующими выражениями (в среде с диссипативной нелинейностью (1) - поскольку она нечетная, процесс детектирования не идет):
е detC^ т) =
2 -ч
Ye0х Э
8С0 Эт
A (т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.