МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.526.013.4:538.4
© 2008 г. А. П. КУРЯЧИЙ
ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НА ПЛАСТИНЕ
В рамках линейной теории исследуется устойчивость униполярно заряженного электрогидродинамического пограничного слоя на плоской диэлектрической пластине, вдоль которой между расположенными на ней электродами протекает электрический ток. На основе ранее разработанной методологии получено решение стационарной задачи для типичных условий аэродинамического эксперимента при различных значениях электрического тока и разности потенциалов на электродах. В рамках локально-однородного приближения оценено влияние взаимодействия между возмущениями электрических и гидродинамических параметров течения на его устойчивость, которое для рассмотренных условий оказалось несущественным. Показано, что стационарное электрогидродинамическое воздействие на основное течение позволяет получать "разгонные" профили скорости с увеличенными значениями модуля их второй производной в поперечном направлении. Это обеспечивает значительное возрастание значений критического числа Рейнольдса потери устойчивости и сужение диапазона волновых чисел нарастающих возмущений.
Ключевые слова: диэлектрическая пластина, ламинарный пограничный слой, электрогидродинамическое взаимодействие, линейные возмущения, кривые нейтральной устойчивости.
В настоящее время ведутся интенсивные исследования электрогидродинамических исполнительных элементов, функционирующих на основе электрических разрядов, и их аэродинамических приложений [1]. Потенциально перспективной областью применения данных устройств в аэродинамике является затягивание ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое с целью уменьшения сопротивления трения [2-4].
Теоретические оценки влияния электрогидродинамического воздействия на устойчивость ламинарного пограничного слоя и ламинарно-турбулентный переход были получены ранее в рамках очень упрощенной физико-математической модели [3, 4]. Была предложена полуэмпирическая модель электрогидродинамического исполнительного элемента постоянного тока [5], позволяющая рассчитать результат его воздействия на основное стационарное течение в пограничном слое. Адекватность модели подтверждена ее верификацией на основе сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными [6]. Для организации современных экспериментов по исследованию ламинар-но-турбулентного перехода и анализа экспериментальных результатов важно знать, при каких значениях параметров электрогидродинамического исполнительного элемента (линейного размера, силы тока и разности потенциалов) его воздействие на устойчивость пограничного слоя будет оптимальным. Кроме того, остается открытым вопрос о влиянии возмущений электрических параметров на возмущенное течение газа. Настоящая работа посвящена ответам на эти вопросы.
1. Основное стационарное течение. Рассматривается обтекание плоской диэлектрической пластины с острой передней кромкой, имеющей относительную диэлектрическую проницаемость е№, однородным потоком газа со скоростью и0. Начало декартовой системы координат располагается на передней кромке пластины, ось х направлена па-
Фиг. 1. Схема моделируемого электрогидродинамического пограничного слоя
раллельно вектору скорости набегающего потока, ось у - перпендикулярно поверхности пластины (фиг. 1).
На расстоянии х. от передней кромки расположен линейный источник положительных ионов с заданной интенсивностью I, измеряемой в А/м. Область расчета электрического поля и заряда ограничивается плоскостями Га, ГЬ, Гс, Г^. Предполагается, что толщины пограничного слоя и ионной струи, распространяющейся от источника вдоль пластины, в рассматриваемой области течения много меньше расстояния между вертикальными плоскостями хь - ха = I. Также выполняется условие ха - х. < I. На плоскостях Га, Гъ задаются модельные распределения электрического потенциала в виде Ф(а, ъ)(у) = Фо(а, б)ехР(-^(а, б)У2/12). Коэффициенты А(а, Ь) определяют степень неоднородности электрического поля и являются параметрами полуэмпирической модели [5]. На плоскости Гс задается линейное по х распределение потенциала. Значение координаты ул плоскости Г задается достаточно большим, а потенциал этой плоскости равен нулю.
Ламинарное течение униполярно заряженной вязкой несжимаемой жидкости исследуется в рамках нестационарных двухмерных уравнений электрогидродинамики, имеющих вид [7]
ЭУ
УУ = 0, р + р( УУ) У = д Е - Ур + цАУ (1.1)
Дф = -3-, Дф„, = 0, E = - Уф, -- + (V + bE )V q +- q2 = DAq e0 oí eo
w • d . Э . „2
V = 1 =r + 1 =r, А = V
д x Jd y
(1.2)
Здесь ? - время, (1, j) - единичные векторы декартовой системы координат, V = (и, V) -вектор скорости газа, Е = (Ех, Еу) - вектор напряженности электрического поля, ф -электрический потенциал, р - плотность газа, р - статическое давление, д - плотность объемного заряда (д > 0), ц - коэффициент динамической вязкости газа, Ь и Б - коэффициенты подвижности и диффузии ионов, е0 = 8.85 ■ 10-12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума, нижний индекс ^ относится к пластине.
Основное стационарное течение в электрогидродинамическом пограничном слое описывается системой уравнений, следующих из (1.1)—(1.2) при сделанных выше предположениях, и граничных условий:
Э и д V п ггд и ..д и д2и 1 ,, + = 0, и т— + V --г- = V —т + - дЕх
дх ду д х ду д у Р Х
(и + ЬЕх) дХ + (V + ЬЕу) * + Ъ.1 = „Ь, = _____ (1.3)
д -
е0 йх
Еу = о
у = е 0
у = 0: и = V = 0, Шуд - „= 0, Ф = Фк, Еу = О - е^
у = уе:и = и 0, д = 0
Здесь V = ц/р - коэффициент кинематической вязкости, уе - внешняя граница пограничного слоя, о = £д(х, 0) - плотность поверхностного заряда на пластине, £ - коэффициент, зависящий от адсорбционных свойств диэлектрической поверхности, а также температуры и массы ионов [8].
Для задачи параболического типа (1.3) в начальном сечении х = ха задается профиль скорости Блазиуса и "диффузионное" приближение для плотности объемного заряда [9]. Распределения компонент напряженности поля Ех и д ф„,/ду находятся из решения уравнений Лапласа внутри пластины и в невязкой незаряженной области течения. Подробно метод решения описан в [5].
Были проведены расчеты для типичных условий экспериментальных исследований ламинарно-турбулентного перехода в дозвуковой аэродинамической трубе. Скорость набегающего на пластину потока и0 = 30 м/с, давление в потоке р = 750 Тор, температура Т = 290 К, координата начального сечения расчетной области ха = 0.5 м, расстояние между вертикальными плоскостями расчетной области I = 0.04 м. При этих параметрах потока значение числа Рейнольдса, соответствующего начальному сечению, составляет Яеа - и0ха/у ~ 106, и весь рассматриваемый промежуток электрогидродинамического воздействия на пограничный слой находится в области линейного нарастания возмущений типа волн Толлмина-Шлихтинга.
Также были фиксированы следующие параметры задачи: ус = 0.5/, уй = 21, Аа = 20, АЬ = 5, £ = 10-3, = 2.5. Рассмотрено три варианта. В вар. 1 и 2 задавались различные значения интенсивности ионного источника I = 0.05 и 0.1 мА/м при фиксированных потенциалах ф0а = 15 и ф0Ь = -5 кВ. В вар. 3 при интенсивности источника I = 0.1 мА/м разность потенциалов была увеличена в 1.5 раза: ф0а = 22.5 и ф0Ь = -7.5 кВ.
Оценим относительное значение скорости газа и/и0, индуцированной электрогидродинамическим воздействием на участке хь - ха = /, при указанных выше параметрах задачи. Предположим, что средняя толщина ионной струи между электродами близка к толщине пограничного слоя, которая оценивается как 5 — 6ха Яе^172 = 3 ■ 10-3 м. Характерное значение продольной компоненты напряженности электрического поля Ех — — (ф0а - фоь)/1 = 0.75 ■ 106 В/м. Подвижность положительных ионов при атмосферном давлении Ь = 1.4 ■ 10-4 м2/(Вс). Так как электрическое число Рейнольдса Яее = и0/ЬЕх — 0.3 мало, в суммарном электрическом токе, текущем в пограничном слое, преобладает дрейфовая составляющая, и для плотности объемного заряда при I = 10-4 А/м получаем оценку д — 1/(ЬЕх5) — 3 ■ 10-4 К/м3. Согласно уравнению сохранения импульса (1.3)
и дЕх\т I/
-2
ип РТ72 0 Ритт2 5
N0 — 10 (1.4)
Р и 0 р Ьи
0
Фиг. 2. Распределения вдоль пластины максимума относительной индуцированной скорости газа в пограничном слое при ф0а - ф0Ь = 20 кВ, I = 0.05 (1) и 0.1 (2) мА/м и ф0а - = 30 кВ, I = 0.1 мА/м (3)
Как показали проведенные расчеты, максимальное значение относительной индуцированной скорости газа в пограничном слое, действительно, достигает нескольких процентов (фиг. 2). Вследствие существенной неоднородности разгоняющей компоненты напряженности поля Ех распределение вдоль пластины максимума индуцированной скорости немонотонно. Согласно расчетам, увеличение силы тока в пограничном слое в 2 раза при фиксированной разности потенциалов ф0а - ф0Ь ведет к незначительному изменению продольной компоненты напряженности поля. Поэтому интегральная объемная сила в каждом сечении пограничного слоя возрастает также примерно в 2 раза. Вместе с тем, как видно на фиг. 2, максимальное значение индуцированной скорости возрастает лишь в 1.5 раза в сечении х' = (х - х)1 = 0.2 и в 1.4 раза в сечении X = 1. И только одновременное увеличение силы тока в 2 раза и разности потенциалов в 1.5 раза приводит к двукратному возрастанию ит.
Расчеты показали, что увеличение интегрального тока не приводит к заметному возрастанию плотности объемного заряда в основной части ионной струи, но сопровождается увеличением поперечного размера струи в каждом ее сечении. Вследствие этого среднее по сечению значение объемной силы почти не меняется, а увеличивается поперечный размер области силового воздействия. Поэтому, согласно (1.4), индуцированная скорость не пропорциональна силе тока вследствие зависимости 5 от I. Существенно, что при чрезмерном увеличении электрического тока толщина ионной струи по мере ее распространении вниз по потоку может достаточно быстро превысить толщину пограничного слоя, что будет приводить к ненужным энергетическим затратам на воздействие в области невя
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.