ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 8, с. 3-13
УДК 550.312
ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СВЯЗИ ЯДРА С МАНТИЕЙ НА НУТАЦИЮ ЗЕМЛИ. 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
© 2004 г. С. М. Молоденский
Институт физики Земли им. Г.А. Гамбурцева РАН, г. Москва Поступила в редакцию 30.03.2004 г.
Погрешности современных наблюдений амплитуд вынужденной нутации (порядка 20 микросекунд дуги) значительно меньше не только динамических эффектов жидкого ядра Земли, но и эффектов неупругости мантии, динамических эффектов твердого внутреннего ядра и возможных эффектов вязкой и электромагнитной связи между жидким ядром, внутренним твердым ядром и мантией. Это открывает новые возможности исследования механических свойств, а также электропроводности мантии и твердого внутреннего ядра в диапазоне сверхнизких частот по астрометрическим данным. Интерпретация современных данных об амплитудах и фазах вынужденной нутации Земли не может быть вполне однозначной, т.к. (1) неизвестно, какова роль электромагнитной связи между ядром и мантией по сравнению со связью, обусловленной вязким трением в ядре на границе с мантией, и (2) неизвестна зависимость функции крипа мантии от частоты в области низких частот. Эффекты электромагнитной и вязкой связи можно в значительной степени разделить, если привлечь высокоточные данные о приливных изменениях силы тяжести в близсуточном диапазоне и учесть различия во влиянии вязкой и электромагнитной связи на амплитуды и фазы вынужденной нутации и на приливные изменения силы тяжести. Ниже получены основные соотношения, определяющие влияние электромагнитной связи между мантией, внешним жидким ядром и внутренним твердым ядром на амплитуды и фазы вынужденной нутации. Во второй части статьи построены области возможных значений функции крипа нижней мантии в диапазоне периодов от часа до суток и эффективных динамических сжатий границ жидкое ядро-мантия и жидкое ядро-твердое внутреннее ядро (характеризующих эллиптичность границ внутреннего ядра, внешнего ядра и мантии, а также величину электромагнитной связи между жидким ядром, мантией и твердым внутренним ядром), которые не противоречат всей совокупности имеющихся данных о вынужденной нутации Земли.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах [Молоденский, 2000а; Мо1оёешку, вго1еп, 2001] было показано, что современные ас-трометрические данные накладывают наиболее жесткие (из числа тех, которые основаны на данных наблюдений) ограничения на возможные пределы турбулентной вязкости жидкого ядра: V < 102 Пуаз. При вязкости жидкого ядра такого порядка величины ее влияние становится заметным лишь при рассмотрении динамической связи жидкого ядра с мантией Земли; влияние же вязкости на величину динамической связи жидкого ядра с твердым внутренним ядром пренебрежимо мало.
Что касается эффектов электромагнитной связи, то здесь ситуация иная. Поскольку мантия состоит из силикатов с низкой электропроводностью, а твердое внутреннее ядро - металлическое и имеет весьма высокую электропроводность, нельзя исключить ситуацию, когда электромагнитная связь жидкого и твердого ядер приводит к динамическим эффектам, значительно превосходящим эффекты их инерциальной связи (обусловленной эллиптичностью внутреннего твердого ядра).
До настоящего времени вопрос о том, соответствует ли динамическое сжатие твердого внутреннего ядра величине, предсказываемой теорией гидростатического равновесия вращающейся планеты, также не исследован (погрешности сейсмических данных - порядка нескольких километров [Masters, Shearer, 1995]), поэтому разделить эффекты электромагнитной и инерциальной связи твердого ядра невозможно. Можно лишь ввести величину "эффективного динамического сжатия твердого ядра" e(solid), определяющего величину динамической связи системы твердое ядро-жидкое ядро, имея при этом в виду, что основной вклад в эту величину может вносить эффект электромагнитной связи, и поэтому реальное (геометрическое) сжатие твердого ядра может быть значительно меньше величины e(solid).
Решение обратной задачи о возможных пределах величины эффективного сжатия твердого ядра e(solid) значительно осложняется из-за отсутствия достаточно точных данных о неупругих свойствах мантии в диапазоне колебаний близсу-точного периода, о величине эффективного динамического сжатия границы жидкое ядро-мантия
e(liq) и о величине вязкости жидкого ядра. Фактически все эти сведения можно получить лишь из анализа тех же данных об амплитудах вынужденной нутации и приливных изменениях гравитационного поля, которые несут информацию о величине e(solid).
Как отмечалось ранее во многих работах (см., напр., [Jeffreys, 1978; Smith, 1974; Aldridge, 1972]), наиболее сложной задачей является построение достаточно точных решений в жидком ядре. Связано это с тем, что при периодах колебаний, превосходящих половину звездных суток, уравнения движения (см. уравнение Пуанкаре [Lamb, 1932; Melchior, 1986]) - гиперболического типа с одним краевым условием (непрерывности нормальной компоненты смещений) на замкнутой поверхности; по классификации Адамара, граничные задачи такого типа относятся к классу некорректных (ill-posed) граничных задач. Использование стандартных методов их численного интегрирования (таких, как метод разложения решений в ряды векторных сферических гармоник с последующим интегрированием редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений весьма высоких порядков, не содержащих малых параметров; см. [Smith, 1974]) приводит к неустойчивым результатам (по мере увеличения числа удержанных членов и роста порядка уравнений n разность решений порядков n и n + 1 неограниченно возрастает; см., напр., [Dehant, 1987]). Спецификой рассматриваемой задачи является то, что представляющие наибольший геофизический интерес эффекты диссипативной связи ядра с оболочкой и эффекты неупругости оболочки примерно на два порядка меньше динамических эффектов жидкого ядра, поэтому корректная интерпретация приливных и VLBI-данных без построения достаточно точных (и, конечно, устойчивых) решений в жидком ядре невозможна.
Силы вязкого и электромагнитного трения существенны лишь в весьма тонком погранслое на границе с мантией (где дифференциальное вращение жидкого ядра велико), поэтому для их учета мы будем использовать сшивание решений, полученных без учета вязкости и сил электромагнитного происхождения в жидком ядре с решением в тонком слое. При этом, чтобы избежать указанной выше неустойчивости решений, мы будем использовать метод численного интегрирования уравнений движения в основной части жидкого ядра, основанный на разложениях в ряды по степеням малого параметра к, равного отношению периода суточного вращения Земли к периоду вынужденной нутации в пространстве (важным преимуществом этого метода является быстрая сходимость последовательных итераций для всех главных компонент нутации [Molodensky, Groten, 1998]).
Вопрос о правомерности операции сшивания решений в погранслое с решениями в нижних слоях ядра также требует отдельного рассмотрения. Поскольку уравнения колебаний вязкой либо проводящей жидкости в магнитном поле - не второго, а четвертого порядка, классификация Адамара, строго говоря, к ним не относится, поэтому сделать какие-либо заключения общего характера о корректности либо некорректности рассматриваемой задачи крайне затруднительно. Для оценки устойчивости результатов численного интегрирования мы использовали следующую процедуру: (1) после получения устойчивых решений уравнений колебаний ядра без учета сил вязкого и электромагнитного трения рассчитывались коэффициенты разложения тангенциальных компонент смещений на границе ядро-мантия; (2) строились решения в погранслое, удовлетворяющие условиям непрерывности всех компонент смещений на его верхней границе (с мантией) и непрерывности нормальной компоненты смещений на нижней границе; (3) из условия непрерывности в по-гранслое (с достаточной точностью его можно считать несжимаемым) вычислялась нормальная компонента смещений на нижней границе вязкого слоя. Поскольку для реальных значений вязкости и электромагнитной связи толщина погран-слоя весьма мала по сравнению с радиусом ядра (порядка нескольких десятков или сотен метров), его момент инерции пренебрежимо мал по сравнению с моментом инерции ядра, и условие самосогласованности построенных численных решений сводится к тому, что (1) члены, содержащие высшие степени малого параметра к, должны достаточно быстро убывать и (2) суммарный момент приложенных к верхней границе слоя сил вязких и магнитных напряжений и силы действующего на его нижнюю границу гидродинамического давления (рассчитанного на основе упрощенных уравнений, не содержащих вязкости и магнитного поля) должен быть равен нулю.
Ниже будет показано, что для всех основных приливных компонент, кроме двухнедельных (для которых параметр к = ±1/13.7 не является достаточно малым), эти условия выполняются с весьма высокой точностью; этим и оправдывается применение предлагаемого ниже метода. Для двухнедельных компонент эффект жидкого ядра играет относительно малую роль, поэтому некоторая неопределенность наших оценок для этих компонент не имеет значения.
Во второй части статьи приводятся результаты численных расчетов среднеквадратических отклонений теоретических и наблюденных данных для весьма большого (~104) количества пробных моделей Земли, различающихся значениями е^оНф, е(Нд) и безразмерного "коэффициента неупругости нижней мантии" Кт, определяющего отношение величины коэффициента эффектив-
ной жесткости мантии (к воздействию объемных сил приливного типа) для колебаний с периодом в одни сутки к значению того же коэффициента для колебаний с периодом 200 с. На основе такого сопоставления выделяются области возможных значений исследуемых параметров, в которых различия теоретических и наблюденных амплитуд нутаций не превосходят ошибок наблюдений.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Запишем уравнения малых приливных колебаний сжимаемой однородной по составу вращающейся гравитирующей вязкой жидкости, находящейся в магнитном поле напряженности H0 (см., напр., [Melchior, 1978]):
v + 2[wv] = - gradW + vAv + 1(H0, V)h. (1)
4 П
Здесь v = u - ве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.