ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 9, с. 3-13
УДК 550.348
ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СВЯЗИ ЯДРА С МАНТИЕЙ НА НУТАЦИЮ ЗЕМЛИ. 2. СРАВНЕНИЕ С ДАННЫМИ НАБЛЮДЕНИЙ
© 2004 г. С. М. Молоденский
Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 16.02.2004 г.
Приводятся результаты численных расчетов среднеквадратических отклонений теоретических и наблюденных амплитуд нутаций для весьма большого (~104) количества пробных моделей Земли, различающихся величиной электромагнитной связи твердое ядро-жидкое ядро-оболочка и величиной безразмерного "коэффициента неупругости нижней мантии" Кт, определяющего отношение величины коэффициента эффективной жесткости нижней мантии Х2 (к воздействию объемных сил приливного типа) для колебаний с периодом в одни сутки к значению того же коэффициента для колебаний с периодом 200 с. Найдены области допустимых значений параметров, для которых невязки теоретических и наблюденных амплитуд нутаций не превосходят ошибок наблюдений.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как отмечалось в первой части статьи [Молоденский, 2004], решение обратной задачи о возможных пределах величины электромагнитной связи между внутренним твердым ядром, жидким внешним ядром и мантией значительно осложняется из-за отсутствия достаточно точных данных о неупругих свойствах мантии в диапазоне колебаний близсуточного периода, о величине эллиптичности границы жидкое ядро-мантия и о величине вязкости жидкого ядра. Поскольку сейсмические данные и данные о собственных колебаниях Земли относятся к диапазону значительно более высоких частот и не обладают чувствительностью, достаточной для определения границы жидкого ядра с мантией и вязкости ядра с достаточной точностью, все эти сведения можно получить лишь из анализа тех же данных об амплитудах вынужденной нутации и приливных изменениях гравитационного поля, которые несут информацию о величине электромагнитной связи.
Ниже (в п. 2) приводятся результаты численных расчетов среднеквадратических отклонений теоретических и наблюденных данных для весьма большого (~104) количества пробных моделей Земли, различающихся значениями эффективных динамических сжатий твердого внутреннего ядра е^оМ), внешнего жидкого ядра е(Нд) и безразмерного "коэффициента неупругости нижней мантии" Кт, определяющего отношение величины коэффициента эффективной жесткости мантии Х2 (к воздействию объемных сил приливного типа) для колебаний с периодом в одни
сутки к значению того же коэффициента для колебаний с периодом 200 с.
Сравнение допустимых значений Кт с их теоретическими значениями, рассчитанными для различных видов функций крипа нижней мантии в диапазоне периодов от 200 секунд до одних суток, будет дано в п. 3.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Поскольку полные величины эффектов внутреннего твердого ядра весьма малы по отношению к амплитудам основных компонент нутаций (порядка 4 х 10-5 от амплитуды обратной компоненты основной 19-летней компоненты), физически значимые результаты могут быть получены лишь в том случае, когда относительные ошибки теоретических расчетов нутации для реальной модели Земли с неоднородным жидким ядром и с упругой мантией не превосходят относительных ошибок современных VLBI наблюдений (составляющих около 2 х 10-6 для той же компоненты).
Как известно, [Stewartson, Rickard, 1969; Ald-ridge,1972; Stewartson, Rickard, 1969; Jeffreys, 1978; Melchior, 1986] задача о колебаниях вращающейся неоднородной и самогравитирующей жидкости с периодами, превосходящими половину периода вращения, сводится к плохо обусловленной в смысле Адамара граничной задаче (гиперболического типа, но лишь с одним граничным условием, заданным на замкнутой поверхности).
Вопрос об устойчивости решений задач подобного типа до настоящего времени остается открытым, поэтому при получении оценок их реальной точности можно ориентироваться лишь на результаты численных экспериментов. При этом оказывается, что устойчивость результатов существенно зависит от применяемого численного метода. В частности, прямое численное интегрирование двумерных уравнений в частных производных методами конечных элементов либо конечных разностей оказывается неэффективным из-за того, что соответствующая матрица (определяющая значения искомых функций в узлах сетки) не удовлетворяет критерию Гаусса-Зей-деля (диагональные элементы матрицы не превосходят сумму недиагональных элементов, расположенных в той же строке либо в том же столбце).
В работе [Wahr, 1981] решение задачи о приливных колебаниях жидкого ядра искалось в виде бесконечных разложений поля смещений и приливных вариаций гравитационного поля в ряды векторных (сфероидальных и тороидальных) и скалярных сферических гармоник. Подстановка этих разложений в уравнения движения приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, сильно связанных между собой. Численное интегрирование редуцированных систем разных порядков указывает на то, с увеличением количества удержанных гармоник погрешности вычислений не уменьшаются, а, наоборот, растут [Dehant, 1987]. В связи с этим в работах [Mathews, et al., 1991] для оценок эффектов внутреннего ядра использовалось простейшее представление поля смещений в виде суммы одной тороидальной гармоники первого порядка и одной сфероидальной гармоники второго порядка (аналогичного тому, которое использовалось ранее в работах [Jeffreys, 1957; Молоденский М.С., 1961; Sasao et al., 1980]. Очевидный недостаток такого подхода связан с невозможностью оценить точность полученных результатов.
В работах [Молоденский, Сасао, 1995; Moloden-sky, Groten, 1998] было обращено внимание на то, что значительная часть трудностей интегрирования редуцированных систем связана с большими значениями коэффициентов, определяющих связи обыкновенных дифференциальных уравнений соседних порядков между собой (при редуцировании бесконечной системы и замене ее системой конечного порядка один из этих коэффициентов приходится положить равным нулю). Ситуация кардинально меняется, когда вместо разложений решений по сферическим гармоникам используется метод численного интегрирования обобщенных приливных уравнений Лапласа (описывающих колебания вращающейся неоднородной и гравитирующей жид-
кости в тонких концентрических сферических слоях) с последующим сшиванием этих решений. Поскольку обобщенные приливные уравнения Лапласа являются обыкновенными (относительно единственного аргумента - широты), проблем их численного интегрирования с любой точностью не возникает. При сшивании решений в тонких сферических слоях разных радиусов проблема редуцирования бесконечных систем по-прежнему остается, но она теряет свою остроту из-за того, что связи уравнений соседних порядков оказываются достаточно малыми (порядка отношения угловой частоты вынужденной нутации в пространстве к угловой скорости суточного вращения Земли). Для основных компонент нутаций этот коэффициент - порядка 1/14, 1/183, 1/366 и 1/6800 (для двухнедельных, полугодичных, годичных и 19-летних компонент, соответственно), и решение соответствующих задач с вполне приемлемой для практических приложений точностью может быть осуществлено методом возмущений по степеням этих малых параметров (для всех основных компонент кроме двухнедельных достаточно точным оказывается использование второго приближения в том виде, как они представлены в работе [Мо1оёешку, Ого1еп, 1998]). При рассмотрении эффектов внутреннего твердого ядра поправки третьего порядка для двухнедельных компонент можно не учитывать (т.к. само влияние твердого ядра на эти компоненты весьма мало), и на них мы останавливаться не будем.
На рисунке представлены среднеквадратиче-ские отклонения а рассчитанных во втором порядке теории возмущений главных теоретических и наблюденных амплитуд вынужденной нутации при разных значениях параметров Кт, е(^), е(во1) (поскольку значения а для малых компонент нутаций почти не зависят от значений исследуемых здесь параметров, нами учитывались лишь прямые и обратные девятнадцатилетние и годичные, а также прямая полугодичная компоненты).
Эффекты океанических приливов и неупругости мантии нами рассчитывались для простейшей модели приливных течений в жидком ядре в том виде, как они были представлены в работе [Молоденский, 1980]. Поправки за океан к числу Лява ЪН были взяты из работы [Перцев, 2000]. Поправки за океан к амплитудам нутаций (в микросекундах дуги) представлены в табл. 1.
Отметим, что разрешение как наземных, так и спутниковых альтиметрических данных не позволяет пока напрямую определить значения Ък для малой волны В то же время, поскольку частота этой волны весьма близка к частоте близсуточного резонанса, возбуждаемая ей обратная годичная компонента вынужденной нутации несет основную информацию об эллиптич-
Кт = 1.031
Кт = 1.035
55 50 45 40
§ 35 0
Е 30
"о
£25 20 15 10 5
55
50
Г100
-95 45
-90 40
-85 0 35
0 0
-80 0
-75 х 30
о
-70 е( 25
-65 20
-60
15
-55
10
5
г100 -95 -90 -85 -80 -75
170 65 60 55
50 45
40 35 30
2.71 2.72 2.73 е(Ия) х 1000
2.715 2.725 2.735 еШф х 1000
Кт = 1.038
Кт = 1.040
55 50 45 40
§ 35 0
х) 1 30
13
£25 20 15 10
5
2.715
100
95 90 85 80 75 70 65 60 55
60
55
50
45
0 0 0 0
х
13
е(
40
35
30
25
20
15
98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70
2.725 2.735 е(Ия) х 1000
2.720 2.725 2.730 2.735 2.740 2.745 е(Ия) х 1000
Среднеквадратические отклонения теоретических и наблюденных амплитуд шести главных компонент нутации (в микросекундах дуги) для разных значений эффективного динамического сжатия жидкого ядра е(Иф, эффективного динамического сжатия твердого внутреннего ядра е^о1) и коэффициента неупругости нижней мантии Кт.
Km = 1.042
Km = 1.0435
60 55 50 45
0
1 40
x
13 35 30 25 20 15
-70 -65 -60 Г55 Г50
,45 U"40
60
55
50
45
0
75 § 40
-95 -90 -85 -80
0
х "о
35
30
25
20
15
2.720 2.725 2.730 2.735 2.740 2.745 e(liq) х 1000
2.720 2.725 2.730 2.735 2.740 2.745 e(liq) х 1000
Km = 1.045
Km = 1.047
60 55 50 45
0
1 40
х
13
e(
35 30 25 20 15
2.720 2.725 2.730 2.735 2.740 2.745 e(liq) х 1000
-95 -90 -85 -80 -75 -70
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.