№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 536.24:517.946:518.12
© 2008 г. ЮФЕРЕВА Л.М.*, ЛАВРОВ Ю.А.**
ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПЛАСТИН НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТЕПЛООТДАЧИ ОХЛАЖДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Рассматривается задача о влиянии формы пластин оребрения охлаждающих устройств типа "двухфазный термосифон" на эффективность отвода теплоты. Проведено сравнение пластин в форме прямоугольника, овала, эллипса. Найдены их оптимальные формы.
Реализованы численные решения задачи с применением метода конечных элементов и метода конечных разностей. Построено приближенное аналитическое решение. Сравнение результатов трех способов подтверждает верность каждого из них.
Введение. Теплопередающее устройство "двухфазный термосифон" (ДТС) [1, 2], предназначенное для охлаждения силовых полупроводниковых приборов, имеет, кроме других конструктивных элементов, несколько параллельных парожидкостных трубок (рис. 1). Применение общих для этих трубок пластин оребрения, улучшающих отвод теплоты в окружающую среду, делает конструкцию проще и придает системе механическую жесткость. Эффективность охлаждения при неизменном расходе металла может быть повышена удачным подбором формы пластины. При этом численные эксперименты предпочтительнее натурных ввиду более высокой точности результатов, получаемых с меньшими материально-техническими и временными затратами.
Цель настоящей работы - оценка эффективности действия общей для двух трубок конденсатора пластины охлаждающего устройства в условиях, когда зафиксированы: толщина, площадь основной тепловыделяющей поверхности, диаметр круглых отверстий под трубки. При этом варьируются форма пластины и расстояние между отверстиями. В качестве функции, которая подлежит минимизации, выбрано тепловое сопротивление пластины.
Постановка задачи. Теплоотводящая пластина, срединная плоскость которой совпадает с координатной плоскостью хОу, центр которой лежит в начале координат, представляет собой тело, объемлемое параллелепипедом {|x| < A, |y| < B, |z| < H}. Тело обладает геометрической симметрией и симметрией тепловых процессов относительно трех координатных плоскостей. Далее рассматривается 1/8 часть занимаемого пластиной объема - область Q, расположенная в первом октанте (см. рис. 2). Границами Q служат: основная поверхность теплоотдачи S1 (z = H), торцевая замкнутая цилиндрическая поверхность, состоящая из участков S2 (участок внешней торцевой поверхности пластины), S3 (x = 0), S4 (y = 0), S0 (r = P, 0 < ф < n, 0 < z' < < H), и срединная плоскость пластины S5 (z = 0). Здесь и далее используется местная цилиндрическая система координат {r, ф, z'}: r = V(x - C)2 + y2; si^ = y/r; соэф = = (x - C)/r; z' = z.
* Петербургский государственный университет путей сообщения.
Санкт-Петербургский государственный университет.
Рис. 1. Схема компоновки СПП-охладитель ДТС: 1 - силовой полупроводниковый прибор (СПП); 2 - испаритель ДТС; 3 - трубки конденсатора ДТС; 4 - пластины оребрения
В области О определяется избыточная температура Ф(х, у, г) = Т(х, у, г) - Т0 (Т0 -температура окружающей среды), удовлетворяющая уравнению Лапласа
? 2 ' д2
>2 \
х, у, г) = 0.
д х д у д г Подвод теплоты производится через поверхность £0
= 0,
(1)
(дд(х, у, г) _ Ц X
(2)
(х, у, г)е ^
ее отвод - с поверхностей 51 и Б2 = 0;
I + х'у,г) Сд1т + ^ х, у, г)
г = Н
0.
(3)
(4)
(х, у, г)е ^
Здесь X, а - коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи соответственно; ц -плотность входного теплового потока.
На всех прочих участках границы области О (53: х = 0, £4: у = 0, Б5: г = 0) на функцию Ф(х, у, г) накладывается условие Неймана, так как теплопередача через эти участки отсутствует.
Искомое - усредненное по поверхности £0 тепловое сопротивление
к = к (а) = -V Л х, у, г )|( х, у, г) е V (5)
N Ц Б0
где |5т| - площадь поверхности Бт. Математическая модель процессов линейна, поэтому тепловое сопротивление (5) от величины ц не зависит.
На рис. 2 при равных значениях площади лицевой поверхности пластины и равномерности входного теплового потока по поверхности £0 форма на рис. 2, г, соответствует наименьшему тепловому сопротивлению, но не обеспечивает надлежащей механической жесткости системы.
Рис. 2. Формы пластин: а - прямоугольник; б - округленный прямоугольник (овал), его меньшая сторона заменена полуокружностью; в - эллипс; г - два кольца
Численное решение. Приближенное решение задачи, получаемое методом конечных элементов, сводится к поиску кусочно-однородной функции Ф(х, у, г), доставляющей минимум функционалу
Ф(£) =
МЯЧГ ( э/' г})2 + Г ( У г})2 + Х' У' г)^2
д у ) V д г )
(X, У' г) е П
(6)
д11 йБ£ (х' У' г) I (X, у, г) е б0 + а X 11 Х' У' г)21(X' У' г) е SJ.
50 } = 1 Б]
Объем охватывающего область П параллелепипеда {0 < х < А, 0 < У < В, 0 < г < Н} разбивается на прямоугольные элементы размерами йх х йУ х йг. В процесс интегрирования по (6) включаются элементы, вершины которых лежат внутри области П или на ее границе. Таким образом, некоторые из приграничных элементов обрезаются до пяти-, четырех- и треугольных призм. Поверхность истинного среза аппроксимируется плоской гранью, поскольку радиус кривизны предполагается много большим, чем линейные размеры элемента. В качестве пробных функций служат трилинейные функции [3].
В разработанном автором образце ДТС [4] использованы прямоугольные медные пластины размерами (2А0) х (2В0) х (2Н0), А0 = 66 мм, В0 = 28 мм, Н0 = 0,25 мм. Указанные размеры выбирались для оптимального раскроя медного листа, остальные геометрические параметры - радиус отверстий Р0 = 7 мм и расстояние от их центров до центра пластины С0 = 17 мм определены размерами прочих конструктивных элементов ДТС.
В настоящей работе методом численного моделирования (рис. 3-6 и таблица) изучаются теплоотводящие свойства пластин, толщина, радиусы отверстий, площадь основной поверхности, теплоотдачи которых совпадают с таковыми для образца ДТС.
2
Это означает, что АВ = АоВ0; пВ2 + 4(А - В)В = 4А0В0; пАВ = 4А0В0; п Р1 /2 = А0В0 для прямоугольной, овальной, эллиптической и кольцевой (внешним радиусом Р1) форм соответственно, Н = Н0, Р = Р0.
п
2
Рис. 3. Зависимости теплового сопротивления от отношения длина/ширина при а = ^ (а-в) и а = а2 (г-е). Центры отверстий разнесены на расстояние 2С, С = 15, 17, 19, 21, 25, 30, 37 мм, 7-7 соответственно: а, г -прямоугольник; б, д - овал; е, е - эллипс
Образец [4] рассчитан на воздушное охлаждение пластин, при всех возможных разновидностях которого < а < а2; = 10 Вт/(м2 ■ °С), а2 = 100 Вт/(м2 ■ °С). Каким окажется на практике значение а, предсказать трудно, поэтому важно найти форму, приемлемую для всего промежутка [а!, а2].
На рис. 3, а, г, точками О], О" показаны тепловые режимы, соответствующие выбору параметров формы в [4], точки Е], Е]' - оптимальное отношение А/В при фиксированном С = С0, точки Е], Е]' соответствуют оптимальным сочетаниям параметров {А/В, С/В}.
Тестирование реализованного авторами алгоритма минимизации Ф(Ф) проводится с использованием известного точного представления для осесимметричного теплового поля Ф0(г, Т) [5] и теплового сопротивления Я0 кольцевого охладителя, который принимает равномерный тепловой поток своей внутренней цилиндрической поверхностью (рис. 2, г)
А> (гт) = | X ап сш (Рпт' )(СЛ( Рпг)- ^к 0 (Рпг)); (7)
п = 0
" (РпН)
п
п=0
1 81П ( Р Н )
*0 = Ло(а) = 3^ X ап^Рг-^(ШРп^о) - №(Рп^о)); (8)
A/B 2,15
2,05
1,95
0 10
50
R(a)/Ro(a) б 1,
1,04
F2
F' F2'
2
F1 3 F3'
I
1 F1'
1,00 100 0 10
R(a)/R,(a) 1,008
1 *
УХ^ E 2 3 2, 3 2, 3
E1, 2, 3
1,004
1,000 100 0 10
50 100
a, Bt/(m2 • °C)
F 3'
3 F1
F3 jX p" 1 2F 2
/ 2
F1
50 100
a, Bt/(m2 • °C)
Рис. 4. Зависимости оптимального отношения длина/ширина (а, в) и теплового сопротивления (б, г) от коэффициента теплоотдачи; а, б - фиксированное расстояние между центрами отверстий С = С0; е, г - свободное: 1, 2,3 - прямоугольник, овал, эллипс соответственно
4sin (pnH)
n (Ui( PnPo) + ^ i (PnPo)) p; n sin (2 pnH) + 2 pnH'
^n = 70(pnP1 )a^ + pn'l(pnP1 ); Cn = K0(pnP1)a^ - pnK 1 (pnP1) .
Здесь pn (n = 0, 1, 2, ...) - n-й положительный корень уравнения cos(pnH)aA -- pnsin(pnH) = 0; /ш(у), Km(í) - модифицированные функции Бесселя порядка m.
При радиусе полукольца тестовой задачи Px = 34,3 мм, размерах конечных элементов dx = dy = 1,35 мм, dz = 0,125 мм, максимальное относительное отклонение результатов применения аналитического (7), (8) и численного (6) методов в узловых точках конечных элементов (всего 3351 точка) составляет <0,16% при a = a^ <0,24% при a = = a2. Логично предполагать, что для других форм (при сохранении названных размеров конечных элементов) погрешность вычислений сохранит этот порядок. Дальнейшее измельчение элементов затруднительно из-за возрастания продолжительности счета.
Дополнительный косвенный контроль верности численного решения состоит в проверке теплового баланса
Qo = Q1 + Q2,
где Q0 - мощность входного теплового потока через поверхность S0,
Q0 = Ш dSd ú ( x y' z -dns„
(x, y, z)e So
o
n = 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95
П = 0,93
= тах ф (х, у, г): а, б - расчетные варианты (10), (15) соответственно (см. таблицу)
(х, у, г) е П
Qm (т = 1, 2) - мощности выходного потока через поверхности £т,
ат = а[[ ^(х, у, г)|(х, у, г) е ^
^т
В случае малых значений коэффициента теплоотдачи разогрев пластины близок к равномерному (рис. 5, а), поэтому при постоянном значении площади тепловое сопротивление зависит не только от формы пластины, но и от длины контура ее границы. При а = а1 лучшей из трех форм, как следует из рис. 3, а - рис. 3, в, рис. 4, оказывается, с небольшим преимуществом, прямоугольник, так как он обеспечивает наименьшее тепловое сопротивление при оптимальном сочетании {А/В, С/В}.
При средних и больших значениях коэффициента теплоотдачи (рис. 3, г - рис. 3, е, рис. 4), когда градиенты температур высоки, лучший охлаждающий эффект обеспечивает овал (рис. 5, б).
Получисленный алгоритм. Второе решение задачи отыскивается в виде
х, у, z) = q X bn cos (pnz)0„ (x, у),
n = 0
функция 0n(x, у) - есть решение двумерной краевой
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.