научная статья по теме ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕЛА НА КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ НА ПОВЕРХНОСТИ Химия

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕЛА НА КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ НА ПОВЕРХНОСТИ»

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2015, том 34, № 2, с. 43-48

ГОРЕНИЕ, ВЗРЫВ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

УДК 536.46

ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕЛА НА КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

НА ПОВЕРХНОСТИ © 2015 г. В. Г. Крупкин*, Г. Н. Мохин**

Институт химической физики им. Н.Н. Семенова Российской академии наук, Москва

*Е-таИ: krupkin@chph.ras.ru **Е-таИ: mokhin@gmail.com Поступила в редакцию 08.11.2013

Рассмотрена задача о влиянии геометрических параметров образца на критические условия теплового взрыва в веществе произвольной формы, на поверхности которого поддерживается постоянная температура. Проанализированы геометрические факторы, влияющие на расположение очага воспламенения и критические условия. Показано, что расположение очага связано в основном с размерностью задачи и может быть с хорошей точностью определено для любой формы тела. Вводятся понятия эквивалентного эллипса или эллипсоида, обладающие большей точностью по сравнению с применяемым в инженерных расчетах понятием эквивалентной сферы. В качестве примера применения данного подхода приведены выражения для критических условий теплового взрыва двух- и трехмерных тел эллипсоидальной формы и некоторых других конфигураций.

Ключевые слова: очаговый тепловой взрыв, геометрические эффекты, теория зажигания, воспламенение конденсированных веществ, тело произвольной формы.

БО1: 10.7868/80207401X15020065

1. ВВЕДЕНИЕ

Задача о тепловом взрыве в неподвижном веществе является классической в теории горения. В основополагающих работах Д.А. Франк-Каме-нецкого [1, 2] были найдены критические условия теплового взрыва в одномерной постановке (пластина, цилиндр, шар). В дальнейшем были получены выражения для тел более общей формы с высокой степенью симметрии (квадрат, куб, цилиндр конечной длины [3]). В этих случаях в силу симметрии задачи можно заранее предсказать расположение очага воспламенения — в режиме теплового взрыва очаг совпадает с центром симметрии тела.

Для тел произвольной формы были получены некоторые общие свойства решений уравнений. В частности, было доказано, что в достаточно малых сосудах решение всегда существует и устойчиво [4]. Для тел, обладающих центром симметрии, задача рассматривалась в работе [5], где использовались эмпирические понятия эквивалентных сфер Семенова и Франк-Каменецкого и форм-фактора [6, 7]. В некоторых работах использовалось понятие среднего диаметра по Заутеру [8]. Однако в работе [8] отмечено, что область применимости данных подходов для тел произвольной формы ограничена телами,

форма которых не слишком отличается от сферической, и даже для тел удлиненной формы, не говоря уже о телах невыпуклой формы, эти подходы не могут считаться обоснованными. Сама постановка задачи для тела произвольной формы затруднена тем, что неизвестно, как определить характерный размер, входящий в критические условия воспламенения, и как найти местоположение очага воспламенения.

Образование очагов воспламенения в реальных условиях нагрева может быть связано с такими факторами, как неоднородность источника тепла, неоднородность структуры вещества и неравномерность нагрева из-за выступов, трещин и шероховатостей поверхности или вследствие механического воздействия. Эта задача важна для целого ряда приложений, где требуется исключить самопроизвольное воспламенение вещества из-за геометрических неоднородностей поверхности [9]. Поскольку геометрические характеристики образца в практических приложениях могут быть произвольными, а возможности аналитического решения для тел сложной формы сильно ограничены, закономерности теплового взрыва для тел произвольной формы в общем виде до сих пор не найдены.

Задача об очаговом тепловом взрыве изучалась в работах [10, 11]. Было показано, что в случае высокой симметрии системы реакция в окружающей среде практически не влияет на условия воспламенения. Даже если вместо очага рассматривать сосуд с термостатированными стенками, характеристики воспламенения мало отличаются от таковых для пластины, цилиндра или шара. В работе [12] изучались особенности очагового теплового взрыва при различных начальных распределениях температуры. Однако во всех этих исследованиях высокая симметрия задачи подразумевает, что расположение очага заранее известно. Разумеется, расположение очага зависит от геометрии задачи и в общем случае должно определяться в ходе решения задачи. Однако в литературе практически отсутствуют исследования, в которых изучаются геометрические факторы, влияющие на местоположение возникающего очага воспламенения.

В настоящей работе изучается воспламенение конденсированных веществ произвольной формы с граничными условиями первого рода (постоянная температура). Анализируется поведение решения в окрестности очага, что позволяет установить геометрическую форму изотерм и выделить факторы, влияющие на расположение очага воспламенения в двух- и трехмерном случае. Вводится понятие эквивалентного эллипса (для двумерного случая) или эллипсоида (для трехмерного случая), которое позволяет с хорошей точностью учесть влияние формы образца. В качестве примера применения данного подхода находятся критические условия теплового взрыва двух- и трехмерных тел эллипсоидальной и прямоугольной форм.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную односвязную область ^размерности п = 2 или п = 3 с границей S, поддерживаемой при постоянной температуре Т3.

Пусть в начальный момент времени I = 0 температура вещества равна Т0 (Т0 < Т). В веществе может протекать химическая реакция нулевого порядка.

Вследствие выделения тепла в химической реакции температура внутри области рано или поздно превышает Т3, а граница является стоком тепла. В случае баланса между скоростью отвода тепла через границу и скоростью тепловыделения в химической реакции в веществе может устанавливаться стационарное распределение температуры. Если скорость теплоотвода в стенки недостаточна, то тепловое равновесие между источниками и стоками тепла невозможно, и происходит воспламенение.

Таким образом, в задаче могут иметь место как стационарные, так и нестационарные режимы. Граница существования стационарных режимов определяет критические условия воспламенения, и необходимо определить, как они зависят от параметров задачи.

В данной работе основное внимание уделяется определению зависимости критических условий воспламенения от формы тела и геометрических параметров. Поэтому для моделирования химической реакции в веществе применяется простая кинетическая схема тепловой теории зажигания с нулевым порядком реакции.

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В обычных предположениях твердофазной теории зажигания [13] запишем двумерное или трехмерное уравнение теплопроводности с объемным источником тепла — гомогенной химической реакцией. Используя разложение температуры по Франк-Каменецкому в окрестности Т3, запишем уравнения для распределения температуры в веществе в безразмерном виде:

д0 = А0 + ехр дт 41+ Р0

(1)

Начальные и граничные условия следующие: 0 = 00 при т = 0, (2)

е|5 = 0. (3)

Здесь введены следующие безразмерные переменные и параметры: 0 = Е(Т — Т5)/(ЯТ^) — безразмерная температура, т = !/!а(Т5) — безразмерное время, где

(а(Т3) = еЯТэ2 ехр(Е/КТь)/Еа1

— период индукции теплового взрыва при температуре Т3. Для безразмерных координат используется масштаб длины

Ха = (^а/ф)0'5 = [^ЯТ2 ехр(Е/ВДЛЕШ05,

00 = Е(Т0 — Ту)/(ЯТ/) — безразмерная начальная температура, в = КТ3 /Е — малый параметр. В этих выражениях Т — температура, I — время, с — теплоемкость, р — плотность, X — коэффициент теплопроводности, Q — тепловой эффект химической реакции, г — предэкспонент, Е — энергия активации, Я — универсальная газовая постоянная.

Решением системы (1)—(3) является функция от времени и координат, зависящая также от безразмерных параметров. В дальнейшем считается, что зависимостью от в можно пренебречь.

Критические условия существования стационарного решения могут быть записаны в общем виде как некоторая функция от безразмерных параметров и зависят от формы границы S. Трудность постановки задачи заключается в том, что тело произвольной формы не может быть описано с помощью какого-либо конечного набора параметров, и при анализе формы тела необходимо уточнить, какие именно ее параметры играют ключевую роль в определении критических условий зажигания. Как будет показано ниже, число этих параметров зависит от размерности задачи: для двумерного случая удается выделить два, а для трехмерного — три параметра, позволяющие с хорошей точностью оценить критические условия для тела произвольной формы на основе вводимого далее понятия эквивалентного эллипса или эллипсоида.

Если стационарное решение невозможно, то возникает горячий очаг, в котором температура начинает быстро возрастать и за конечное время уходит в бесконечность (с учетом сделанных допущений о нулевом порядке реакции и при пренебрежении зависимостью от в). Известно, что при приближении к критическому условию "сверху", т.е. из области, где стационарное решение не существует, это время существенно возрастает [2].

4. КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ВОСПЛАМЕНЕНИЯ ТЕЛ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМ

Для анализа геометрических факторов теплового взрыва рассмотрим сначала задачу о тепловом взрыве в области эллипсоидальной формы. Для простоты изложения будем вести рассуждения для двумерной области, и в дальнейшем обобщим их для трехмерной задачи.

Пусть Ь1 и Ь2 — полуоси эллипса и е = Ь1 / Ь2 — их отношение. Считаем, что Ь1 < Ь2, т.е. е < 1. Предположим, что для заданных значений параметров существует стационарное решение системы (1)—(3). Совместим начало координат с точкой максимума температуры (9 = 9т) и рассмотрим свойства решения в области этой точки. Разложение решения уравнения (1) в ряд ранее использовалось для приближенного определения критических условий теплового взрыва в одномерном случае [14]. Эта методика является частным случаем активно развивающихся методов приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений, таких как метод декомпозиций Адомяна и метод гомотопического возмущения [15—17

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Химия»