ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 8, № 4, 2012, стр. 14-19
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ДИНАМИКУ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЫ
© 2012 г. М.О. Леви1, И.Е. Анджикович2, Е.И. Ворович3, К.Л. Агаян4
Рассмотрена связанная динамическая задача об установившихся гармонических колебаниях элек-тромагнитоупругого слоя. Колебания осуществляются под действием осциллирующей на ее поверхности нагрузки произвольного вида. Построена трехмерная функция Грина электромагнитоупругой среды, исследованы ее свойства. Изучено влияние различных граничных условий на динамику элек-тромагнитоупругого слоя, показана возможность управления волновым процессом за счет изменения магнитных условий на границах слоя.
Ключевые слова: динамика, краевая задача, функция Грина электромагнитоупругой среды, дисперсионные свойства.
ВВЕДЕНИЕ
В [1-3] приведен достаточно подробный обзор работ, посвященных динамике электромагнитоуп-ругих сред в связанной постановке. В [2] построена функция Грина для среды с фиксированным типом нагрузки и различной кратностью собственных чисел. В [3] исследованы дисперсионные свойства, а также смещения среды и распределения электрических и магнитных потенциалов двухслойной электромагнитоупругой среды для разных значений электромагнитного коэффициента g. Влияние различных типов граничных условий на динамические свойства электромагнитоупругой среды не рассматривалось. В данной работе рассмотрена возможность управления волновым процессом за счет изменения магнитных условий на границе среды, представляющей из себя слой из материала ромбической симметрии 2тт.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Краевая задача о колебаниях электромагнитоуп-ругой среды описывается уравнениями движения и квазистатическими уравнениями Максвелла
V ■ T = р
а2
u
dt2
(1.1)
V ■ D = 0,
V ■ B = 0.
(1.2) (1.3)
Здесь и - вектор перемещений среды, р - плотность материала, Т - тензор механических напряжений, Б и В - векторы индукции электрического и магнитного полей соответственно.
В матричном представлении уравнения движения (1.1)-(1.3), следуя подходам, изложенным в [4-7], можно записать в виде
c -e -f
e e g
fr g n
x
(1.4)
1 Южный научный центр РАН, 344006, Ростов-на-Дону, ул. Чехова 41; e-mail: levi@ssc-ras.ru
2 НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воро-вича Южного федерального университета, 344090, Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, e-mail: ocean_8@mail.ru
3 Донской государственный технический университет, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина 1, e-mail: belen@ssc-ras.ru
4 Институт механики НАН РА, Республика Армения, 375019, Ереван, пр. Маршала Баграмяна, 24 Б.
В уравнении (1.4) Т = Т Тъ, Т4, Г5, Т6} и 8 = {51, 52, 53, 54, 55, 56} - компоненты тензоров напряжения и деформации второго порядка в свернутом виде при использовании обозначений Фойгта, Б и В - векторы электрической и магнитной индукции, Е и Н -векторы напряженности электрического и магнитного полей, с, е, Г, 8, ц, g - соответственно тензоры упругих, пьезоэлектрических и пьезомагнитных констант, коэффициентов диэлектрической и магнитной проницаемости, а также магнитоэлектрических коэффициентов, имеющие размерность Су [Н/м2], ву [Кл/м2], / [Н/А/м], еу [Кл2/Н/м2], Му [Н • с2/Кл2], gij [Н • с/В/Кл] (/, у = = 1, 2, 3). Поскольку колебания предполагаются установившимися, происходящими по гармоническому закону, все функции представляются в виде Г = Г0в-~'. Далее экспоненты и штрихи опущены.
2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СЛОЯ
Введем в рассмотрение расширенные векторы перемещений ие = [их, и2, и3, и4, и5} и напряжений 4е = 4 42, 43, 44, Ч5}, где иь 4к (к = 1, 2, 3) - компоненты векторов механических перемещений и напряжений, и4, ч4 - электрический потенциал и плотность распределения электрического заряда, и5, ч5 - магнитный потенциал и плотность распределения магнитного заряда. Будем полагать, что электромагнитоупругий слой, занимающий область | х1 | < з, | х3 | < з, 0 < х2 < к, колеблется под действием обобщенной нагрузки qe(x1, х3, 0, распределенной в области X на поверхности среды. Вне этой области поверхность среды свободна от механических напряжений, свободные заряды отсутствуют (п - вектор нормали): при х2 = к
43}, х 1, хъ ! X,
10, х,, х3 Ь X,
n $T = |{q 1' q2'
[0, X1,.
q4, х1, •
n ■ D = *
[0, Xi,.
, x3 ! X [0, x1, x3 b X
при x2 = 0
uk = 0 (k = 1, 2, 3, 4). Рассмотрим следующие задачи:
х2 = h: u5 = 0, |x1|,|хз | < 3,
(2.1) (2.2)
1. MO/MO ^
2. MC/MC ^
3. MO/MC ^
4. MC/MO ^
I х2 = 0: u 5 = 0, | x 1|,| x 3|< 3;
х2 = h: n ■ B = 0, |x1|,|x3 | < 3, [x 2 = 0: n ■ B = 0, | x 1|,| x 3|< 3;
|x 2 = h: u5 = 0, | x 1|,| x 3|< 3, [х2 = 0: n■ B = 0, |x1|,|x3 | < 3; |x2 = h: n■ B = 0, |x1|,|x3 | < 3, х2 = 0: u5 = 0, |x1|,|x3 | < 3.
Магнитные открытые и закрытые условия соответственно:
MC: f24(u2,3 + u3,2) - ?22u4,2 - ^22u5,2 = q5
MO: u5 = 0.
3. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ МАГНИТОЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Перемещение произвольной точки среды под действием распределенной на ее поверхности нагрузки определяется формулой [8]
3 3 5
ип(хЪ ^ х3) =-Х— | | / #
(2г)2 3 3 £
-3 -3 ^
(3.1)
X (а 1, а3, х2)е-'(а1 х1+а3х3) с1а1 ¿а3,
s = 1,2,3,4,5
Здесь
-¿а1
Kи(а 1, аз, х2) = —— / f1k(Ach(VkX2) + A 0
-¿а1
k=1
+ A +5sh(VkX2)),
5
(3.2)
K2j(а 1, аз, х2) = -1 / f2k(Ash(VkX2) ■
A0 k =1
+ A j.k+5ch( VkX 2)),
(з.з)
-¿аз
/ fzk(Aj.k ch(VkX2)-
Обозначения МО и МС соответствуют магнито-закрытой и магнито-открытой задачам на верхней/ нижней гранях.
В компонентной форме условия (2.1), (2.2) имеют вид: при х2 = к
с66 и 1,2 + с66 и2,1 = 41, с 12 и 1,1 + с22 и2,2 + с23 и3,3 + е32 и4,3 +./32 и5,3 = 42, С44 (и2,3 + и3,2) + е24 и4,2 +/24 и5,2 = 43, е24(и2,3 + и3,2) - е22 и4,2 - ,§22 и5,2 = 44;
при х2 = 0
и1 = 0, I = 1, 2, 3
Kzj(а Ъ а3, X2)
л0 k=1
+ A j.k+5sh(VkX 2)), z = 3,4,5. (3.4)
Участвующие в представлении (3.7)-(3.9) параметры определяются из уравнений
¿1k -ia 1 a kC1 -а1 аз с2 -а1 аз e1 -а 1 аз/1
Ш1 akC1 A2k -газ а^з —'а 3 а k«2 -¿аз af
"а1 аз c2 -газ akc3 A3k A4k A6k
-а1 аз e1 -г'азаke2 A4k A5k A7k
-а 1 азА - iаз Okf> ¿6k ¿7k Au
0,
(3.5)
где
c1 c 12+ c 66, c 2 c13 + c 55, c3 c 23+ c44, e1 = e 15+ e31, e 2 = e 24+ e З2^> f1 = f15 +f3i, f2 = f24 +fi2,
A 1k = -c 11 а2 - c55 аЗ + c66 + p~2, A 1k = -c 11 а2 - c55 аЗ + c66 +2,
16
М.О. ЛЕВИ и др.
A:
A 2k = - С 66 a? - С44 a3 + C22 v2 + рм2,
A3k = -С33 a2 + c44a2 - c55a 1 + рм2,
A4k = -e 15a2 + e24 v4 - e33a3,
A 5 k = eii a2- s 22 v2 + £33 a3, A6k = -/15 a? +/24vk - /33 a2,
A7k = g 11 a? - g22v2+ g33a3, A8k = П11 a2- n22Vk + n33a2,
A 1k = - c 11 a2- c 55 a3+ c 66 v 2 + рм2.
Неизвестные коэффициенты Ск находятся из системы линейных алгебраических уравнений, которую можно записать в матричном виде:
A • C = Q, (3.6)
I11 S1 I12 S2 /13 S2 ¡14 S4 ¡15 S5 ¡11 c1 112 c2 113 c3 ¡14 c4 ¡15 c5
121 c1 /22 c2 ¡23 c3 ¡24 c4 ¡25 c5 ¡21 S1 ¡22 S2 ¡23 S3 ¡24 S4 ¡25 S5
¡31 S1 ¡32 s2 ¡33 s3 ¡34s4 ¡35 s5 ¡31 c1 ¡32 c2 ¡33 c3 ¡34 c4 ¡35 c5
¡41 S1 ¡42 s2 ¡43 s3 ¡44 s4 ¡45 s5 ¡41 c1 ¡42 c2 ¡43 c3 ¡44 c4 ¡45 c5
¡51 S1 ¡52 s2 ¡53 s3 ¡54 s4 ¡55 s5 ¡51 c1 ¡52 c2 ¡53 c3 ¡54 c4 ¡55 c5
У11 У12 У13 У14 У15 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 У21 У22 У23 У24 У25
У31 У32 У33 У34 У35 0 0 0 0 0
У41 У42 У43 У44 У45 0 0 0 0 0
У51 У52 У53 У54 У55 0 0 0 0 0
Q = {Q1Q 2 Q * Q * Q * 0 0 0 0 0}, Q 1 = (-i a1 c 66)-1 Q1, Q* = (-i a3)-1 Qk, k = 3,4,5,
C = {C 1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10} .
Участвующие в уравнениях (3.6) коэффициенты имеют представление (k = 1, 2, 3, 4, 5)
/ 1k = ^У 1k + У 2k,
/2k = -a2 c12У 1k + c22 VkУ2k -
- a3 (c23У3k + e32У4k +f32У5k\ / 3k = c 44 (У 2k + V уУ 3k) + e 24 VkУ 4k +f24 V kУ 5k, /4k = c24(У2k + VуУ3k) - s22 Vky4k - g22 Vky5k,
/5k = /24(y2k + Vky3k) - g22 Vky4k - П22 Vky5k . Решение системы (3.6) имеет вид
5
Ck = -D- / DjkQ*, k = 1,2, ...,10, (3.7)
о j =1
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Формула (3.1) описывает перемещения, электрический и магнитный потенциалы в произвольной точке среды и позволяет проводить полное исследование динамического процесса в электромагни-тоупругой среде. Рассмотрим частный случай кра-
5
евой задачи I u1 = u2 = 0;
dx3
0; a3 = 0 ). Среда
представляет из себя слой из материала 2mm с константами (табл. 1).
Все исследования проводились при фиксированных электрических открытых на верхней грани и электрически закрытых на нижней грани условиях.
Важным критерием для распространения акустических волн являются точки выхода полюсов. Ниже представлен график полюсов функции Грина под влиянием различных магнитных условий (рис. 1). Из рисунка 1 видно, что задача МО/МО имеет отличную от любой другой магнитной задачи частоту выхода полюса, при этом характер полюсов для задач MC/MC и MC/MO в точке выхода совпадает. В задаче MO/MC частота выхода полюса с увеличением частоты отклоняется от частоты выхода полюса задач MC/MC и MC/MO. Такая тенденция сохраняется и на более высоких частотах. Общий вид нулей и полюсов представлен на графике (рис. 2).
5. ВОЗМОЖНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ЗА СЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ МАГНИТНЫХ УСЛОВИЙ
Рассмотрим возможность управления динамическим процессом в среде с помощью изменения магнитных условий на ее границах. Графики механических смещений для первого полюса функции Грина при м = 1,628 и заданной в области [-1, 1] электрической нагрузке q4 изображены на рисунках 3-5. Из рисунков видно, что в случае задачи МО/МО волна под действием нагрузки не распро-
Таблица 1. Параметры материала
где Д0, Дд представляют собой определитель матрицы А и алгебраическое дополнение ее элемента с номером]к соответственно.
с55, Н/м2 40,5 • 109 с44, Н/м2 44,5 • 109 e15, Кл/м2 3,6 e24, Кл/м2 4,1
f15, Н/А/м 378,92 f24, Н/А/м 200,00 g11, Н • с/В/Кл -30,67 • 10-9 g22, Н • с/В/Кл -28,67 • 10-9
s11, Кл2/Н/м2 4,06 • 10-9 s22, Кл2/Н/м2 4,56 • 10-9 П11, Н • с2/Кл2 -410,05 • 10-6 n22, Н • с2/Кл2 -230,05 • 10-6
а
Рис. 1. Точки выхода полюсов первой моды
а
Рис. 2. Дисперсионные кривые
Щ
Рис. 3. Реальная часть смещений u3 на частоте м = 1,628
"3
Рис.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.