М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 532.516.5
© 2014 г. В. К. АХМЕТОВ, Ю. В. МЕДВЕДЕВ, В. Я. ШКАДОВ
ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ЧЛЕНОВ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ОПОР СКОЛЬЖЕНИЯ
На основе полной системы уравнений Навье—Стокса проведено численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в опорах скольжения для четырех конфигураций. Получены различные режимы течения, в том числе с образованием рециркуляционных зон. Определен диапазон параметров, при котором происходит значительное отклонение от стоксовой модели течения.
Ключевые слова: уравнения Навье—Стокса, теория смазки, конечно-разностный метод, рециркуляционные зоны.
Опоры скольжения используются во многих технических приложениях (гидротурбинах, сепараторах, центрифугах, паровых и газовых турбинах, турбогенераторах) для повышения эффективности работы и обеспечения виброустойчивости, бесшумности, долговечности изделий. Конструктивно такие устройства характеризуются наличием двух плоскопараллельных вращающихся поверхностей, между которыми под большим давлением подается жидкая смазка. Формирующийся смазочный слой создает подъемную силу, уравновешивающую внешнюю нагрузку и обеспечивающую гидродинамический режим жидкостного трения.
В классической теории смазки для расчета гидродинамики течений используется модель Стокса, основанная на полном отбрасывании нелинейных членов в уравнениях движения. Современные технические устройства характеризуются большими скоростями вращения, поэтому, несмотря на малый размер толщины слоя смазки, число Рейнольдса может быть достаточно высоким, в особенности для газодинамических опор, и модель Стокса оказывается неприменимой.
В данном исследовании для расчета полей течения используется полная система уравнений Навье—Стокса и проводится сравнение полученных результатов с имеющимися аналитическими и численными решениями.
1. Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической области, верхнее и нижнее основания которой могут вращаться с угловыми скоростями шх и Ш2 соответственно как в одинаковых, так и в противоположных направлениях. Исследуются четыре схемы течения с подачей жидкости с постоянной скоростью Vчерез отверстие в нижнем основании (0 < г < Я0) и свободным (фиг. 1, а) или диафрагмированным со ступенькой высотой ^ (фиг. 1, б) выходом в радиальном направлении, осевым подводом жидкости через кольцевой канал (Я„ < г < Я0) в нижнем основании (фиг. 1, в), радиальной подачей жидкости через боковую поверхность (0 < I < Н) и вытеканием через нижнее основание (фиг. 1, г).
Осесимметричные ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости описываются системой уравнений Навье—Стокса, которую в цилиндрической системе координат г, ф, ^ относительно функции тока у, завихренности ^ и азимутальной скорости Vщ представим в виде
Я
П2
Я
H
н
Я
Я
п2
ЛХ
Я
Яо
Я
п2
н
н
Яо
п2
Я
Фиг. 1. Схемы течений
1 ^(1 =
г дг дг \т дг )
дП + д у п) + д (Уг п) =
д? дг дг Яе
^ + д (ГУ,) +1 д (УУ,)
д? дг
г д г
V =-1 дж V = 1 дж
г ^ ' 'г -л '
г дг г дг
дг2 дг2 дг(г '
УУ, = X г Яе
д У
+1 дУ!
г дг
д V,
дг
2 +1Щ г^
2 "дг I дг
О =
дК-дУг дг дг
(1.1) (1.2)
(1.3)
(1.4)
Система уравнений (1.1)—(1.4) записана в консервативной безразмерной форме. В качестве характерного линейного размера берется толщина слоя Н. Осевая V, радиальная Уг и азимутальная Уф скорости отнесены к величине Ж = щЯ, время — к величине Н/Ж. Параметры задачи — число Рейнольдса Яе = ЖН / V, в котором V — кинематическая вязкость, отношение толщины слоя к радиусу основания Н = Н/Я, отношение угловых скоростей вращения оснований цилиндра у = ю2/, относительная скорость подачи жидкости У0 = V / Ж, коэффициент в = Я/Я0, характеризующий относительный диаметр отверстия, безразмерные величины га = /Н, г^ = Яw / Н, описывающие геометрию конфигураций 2 и 3 соответственно.
ш
б
а
ш
ш
г
ш
в
Течение рассматривается в цилиндрической области D (0 < г < 1 гс < г < гк), гк = Я/Н, гс = 0 (фиг. 1, а, б, г), гс = г„ (фиг. 1, в). Граничные условия включают в себя задание на входе профилей скоростей, условия прилипания на твердых поверхностях, условий симметрии на оси г = 0 и мягких граничных условий в выходном сечении. Для течения, соответствующего фиг. 1, а, совокупность граничных условий имеет вид
¥ = А(г), ^ = 0, ^ = 0, 0 < г < Г0, г = 0 дг
V = VI, ^ = щг, ^ = 0, г0 < г < гк, г = 0 дг
¥ = 0, V, = Ю1г, ^ = 0, 0 < г < гк, г = 1 (1.5)
дг
—11 = — = —= 0, г = гк, 0 < г < 1
д г дг дг
у = 0, V, = 0, ^ = 0, г = 0, 0 < г < 1
где /1(г) = 0.5^,г2, = /Ы, г0 = ^ /Н.
Для численного решения краевой задачи (1.1)—(1.4) с граничными условиями (1.5) использовался конечно-разностный метод установления. Решение уравнения Пуассона (1.1) определялось по методу неполной редукции, а уравнения переноса (1.2)—(1.3) решались с помощью неявного метода блочной итерации. Аппроксимация диффузионных членов осуществлялась центральными разностями. При аппроксимации конвективных членов использовалась модифицированная схема Леонарда с квадратичными разностями против потока третьего порядка точности, в которой явным образом выделялась классическая противопоточная схема, а в источниковую часть уравнения добавлялись соответствующие корректирующие потоки. Для аппроксимации производных по времени использовалась схема Эйлера. При решении уравнения (1.2) относительно завихренности границы расчетной области, на которых формально не заданы условия для смещались на один шаг сетки внутрь расчетной области Б, а значения на них рассчитывались исходя из разностной аппроксимации уравнения (1.1) с использованием односторонней четырехточечной аппроксимации для ду/дп.
Для каждого шага по времени сначала решалось уравнение (1.1) относительно у, далее рассчитывались значения V, Vr по формулам (1.4), затем решалось уравнение (1.3) для V,, после чего определялось поле завихренности из (1.2). Критерием окончания расчета служило условие
тах
г,у
0.п+1 -Пп-
"г, у "г, у
"г,У
< Б
в котором параметр £ = 5 • 10 3.
Изложенный метод успешно применялся в [1] для расчета закрученных течений различных типов. Результаты тестовых расчетов и сравнение с численными [2, 3] и экспериментальными [4] исследованиями для случая течения в цилиндре с вращающимися основаниями представлены в [5].
После решения краевой задачи (1.1)—(1.5) по найденному полю скоростей распределение давления в потоке может быть определено из следующего уравнения Пуассона:
д2р+д2р+1 = +^^ | (1.6)
дг2 дг2 гдг дг дг дг дг г дг
Граничными условиями для него служат условия Неймана, которые получаются из уравнений нормальной составляющей импульса и в безразмерной форме имеют вид
0 < г < гк, г = 0, г = 1: & = -±№ + 2
дг Яе \дг г
2 2
0 < г < 1, г = 1: д-Р = + ^ + (1.7)
д г Яе дг г г
0 < г < 1, г = 0: ^ = 0 дг
Для решения краевой задачи (1.6), (1.7) применялся тот же метод, который использовался при решении уравнения Пуассона (1.1) относительно у.
По найденному распределению давления на нижнем основании при г = 0 подъемная сила Р определяется в виде
P = 2п | prdr
2. Результаты расчетов полей течений. Расчеты течений, определяемые краевой задачей (1.1)—(1.5) проводились в диапазоне параметров 0 < Re < 2000, 0.05 < h < 0.2, -1 < у < 1, 0.05 < V0 < 0.3, 1 < P < 20. Для большинства расчетов использовалась равномерная сетка размером 300 х 64, шаг по времени составлял At = 0.01—0.05.
Характерные картины линий тока у = const для конфигурации 1 (фиг. 1, а) представлены на фиг. 2. При низком числе Рейнольдса Re = 10 течение имеет безотрывную структуру (фиг. 2, а). Расчет течения для аналогичной схемы в гидростатическом упорном подшипнике с центральной камерой без учета инерционных сил представлен в [6]. Для распределения скорости получены следующие выражения:
Vr(z) = i(z -H)zdp, dp = -Щ: (2.1)
2ц dr dr nrH
где Q — расход, ц — динамическая вязкость жидкости. С учетом введенных безразмерных переменных выражение (2.1) для Vr (z) примет вид
Vr(z) = -3 V) r02(z -1)z (2.2)
Профили осевой скорости для течения, изображенного на фиг. 2, а, полученные решением краевой задачи (1.1)—(1.5) в различных поперечных сечениях потока, показаны на фиг. 3, а. Во всех случаях зависимости Vr(z) близки к параболическому распределению Пуазейля. На выходе из канала при r = rk численное решение (кривая 5) достаточно точно соответствует теоретическому решению (2.2) (кривая 6). В частности, максимальные значения скорости Vr при rk = 10, z = 0.5 составляют 0.1703, 0.1875 для расчета и теории соответственно. Зависимости распределения азимутальной скорости Vp(z) во всех сечениях близки к линейным (фиг. 3, б).
Рассмотрим задачу о нахождении распределения давления в исследуемой области и определения величины подъемной силы смазочного слоя. Для конфигурации 1 решение в стоксовом приближении имеет вид [6]
R0 < r < R: p(r) = p1 ln(R/r) , 0 < r < P = P\ ln(R/R0)
0
10
0 2 4 б г
Фиг. 2. Линии тока при к = 0.1, У0 = 0.1, у = 0, р = 2, Яе = 10 (а), р = 5, Яе = 50, 100 (б-в), у = 1, в = 10, Яе = 100 (г), к = 0.14, К0 = 0.26, Яе = 1000 (д), данные [9] (е)
6 Цб, Я Р1 = -£Ч 1п —, лН3 Я0
Р = Р1
п (Я2 - Яр) 21п(Я/Я0)
(2.3)
где р1 — давление на входе в камеру.
2 2
Введем безразмерный коэффициент подъемной силы Фр = Р/(Я р^ ). С учетом принятых в уравнениях (1.1)—(1.4) характерных величин решение (2.3) представим в виде
Р(г) = Р!1^, Р1 = -6 V) г021п р, Фр = ±У0 г02п|1 - X 1п р Ке Ке ^ р2
(2.4)
Теоретическое распределение давления (2.4) для безотрывного течения (фиг. 2, а) представлено на фиг. 4 (кривая 1). Сравнение с численным решением (кривая 2) краевой задачи (1.6), (1.7) показывает, что характер распределения различается в области входа в камеру (0 < г < г0) и совпадает на остальной части поверхности z = 0. Вычисленные значения коэффициента подъемной силы Фр для численного и точного решения (2.4) близки между собой и составляют 1.788 и 1.767 соответственно. Для течений с другими значениями Р также имеется хорошее соответствие между рассчитанными и теоретическими значениями Фр при Яе = 10 (фиг. 5).
г
г
г
г
Фиг. 3. Профили
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.