ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
681.516.7.015.2
Влияние классификационных характеристик случайных процессов на точность обработки
результатов измерений
А. М. ПРОХОРЕНКОВ, Н. М. КАЧАЛА
Мурманский государственный технический университет, e-mail: prohorenkovam@mstu.edu.ru, kachalanm@mstu.edu.ru
Проведен анализ влияния ошибочной классификации наблюдаемого случайного процесса на точность обработки результатов измерений с помощью оператора скользящего среднего. Предложена процедура обработки случайных процессов, повышающая точность.
Ключевые слова: случайный процесс, оператор скользящего среднего.
Wrong classification effect of an observable random process on accuracy of processing of measurement results using the moving average operator is analyzed. A procedure for processing random processes allowing to increase the accuracy is suggested.
Key words: random process, moving average operator.
В информационно-измерительных комплексах систем управления технологическими процессами приходится сталкиваться с измерением параметров зашумленных нестационарных процессов. При этом измерения выполняются по одной реализации случайного процесса в условиях отсутствия априорной информации о виде функциональной зависимости детерминированных составляющих, об источниках помехи и параметрах шума. Для выделения детерминированного сигнала на фоне помехи используют различные алгоритмы фильтрации и сглаживания шумов. Обычно наблюдаемый сигнал представляют в виде аддитивной модели
Х(0 = Щ + Е(0, (1)
где ф(?) — детерминированный сигнал, е(?) — случайный неавтокорреляционный процесс с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Модель (1) не всегда адекватна реальному процессу, что приводит к появлению дополнительной методической погрешности при измерениях полезного сигнала. В силу этого возникает задача анализа погрешности, вызванной ошибочной классификацией наблюдаемого процесса.
Постановка задачи. В общем случае влияние помехи на полезный сигнал может быть выражено оператором х(?) = Цф(?), £(?)), где ф(?) — полезный сигнал (сигналы); е(?) — стационарная помеха. В зависимости от вида оператора V различают следующие модели сигналов [1]: аддитивную (1), аддитивно-мультипликативную
х(0 = ф^) + Ф2(0 Е(0 (2)
и мультипликативную
х(0 = <Р2(0 Е(0, (3)
где ф1(?), ф2(?) — детерминированные функции времени; предполагается, что помеха Е имеет случайную природу с неизвестным законом распределения, нулевым математическим ожиданием, постоянной дисперсией и, кроме того, ее значения в разные моменты времени некоррелированы.
Необходимо исследовать влияние ошибочной классификации наблюдаемого процесса на точность оценки математического ожидания аддитивно-мультипликативного сигнала при использовании алгоритма скользящего среднего.
Оператор скользящего среднего. Математическое ожидание процессов, описываемых моделями (1) и (2), определяется функцией ф1(?). Цель использования алгоритма скользящего среднего состоит в получении оценки ), которая при переходе к дискретным отсчетам определяется в соответствии с одной из формул:
т-1
йО') = тр Е [ и - к); (4)
N = 0
т-1
йО') = тр Е [ (У+к); (5)
N = 0
1 £
ф1(Л = 2^+1 Е [ (У + кХ (6)
N = -р
где т, 2р + 1 — ширина окна усреднения.
Рис. 1. Сравнение операторов сглаживания при интервале усреднения m = 15:
а — наблюдаемый зашумленный сигнал х(у) = 1 + sin ^-Г + bj
+ехР| -1—Г ]£М' f = 1 Гц, Ь = 4, N = 200; б, в, г — применение соответственно операторов (4), (5), (6)
В (4) для расчета сглаженного значения сигнала в у-й точке используются предшествующие дискретные отсчеты наблюдаемого процесса, в (5) — последующие отсчеты; в (6) — как предшествующие у-й точке, так и последующие значения зашумленного сигнала. Во всех трех случаях для расчета выходного сигнала следует накопить число отсчетов наблюдаемого сигнала, равного ширине окна усреднения (т или 2р + 1), что приводит к потере ряда значений на концах интервала (рис. 1).
Представим выражения (4)—(6) в рекуррентной форме:
<р1(У)=<р1(У -1)+р[[(У) - [(У - т)]; <р1(У)=й(У -1)+р [[(У+т -1) - [ (У -1)]; Ф1(У)=Ф1(У -1) + [х(м+Р) -х (м -1-Р
Использование этих формул позволяет исключить зависимость скорости вычислений от ширины окна усреднения. Однако влияние размера окна усреднения на эффект сглаживания остается.
Анализ точности оператора скользящего среднего. В качестве меры точности определения оценки математического ожидания используем среднее значение квадрата погрешности [2]:
% = 0
= 0
( - Ф1,у)
=0
\2
2р + 1 1
N = -р
Е [ i + N - Ф1,
/- \2'
([У -Ф1, i) =0
= 0
( - 0 [[У ])
([у - 0[[у] + 0[[у]- Ф1,у)
( [] - Ф1,у)
0
Первое слагаемое в данном выражении равно дисперсии оценки выборочного среднего Dj и характеризует долю случайной составляющей погрешности. Второе слагаемое дает квадрат смещения оценки от истинного значения и определяет систематическую составляющую Ду. Таким образом, составляющие погрешности можно представить в виде
Dj = 0
( - 0 [[У ]f
Ду = 0
( [ ] - Ф1, У )
Тогда средняя квадратическая погрешность выражается формулой
S У =aÍ
= IDj +Ду .
(7)
Математическое ожидание выборочного среднего для аддитивной и аддитивно-мультипликативной модели с использованием формулы (6) запишем как
М [ху ] = М
1 Е х
2р +1 , Е ХУ + N
N = -р
=2S+T ЕФ1,у+N ■ (8)
N = -р
Чтобы рассчитать систематическую составляющую погрешности для рассматриваемых моделей (1), (2), используем соотношение
\2
Д 2¡ = М
( [ху]-Ф1_у) = 2S+T ЕФ1,У + N -Ф1,У "I V N = -р
(9)
При принятых условиях для шумовой составляющей е дисперсию выборочного среднего в случае аддитивной модели представим в виде
D [у ]= М (ху - М [у ]
= DE/(2р +1),
(10)
для аддитивно-мультипликативной модели
' [у ]
DP
(2р + 1)2 N=-
2 Е ф2, У + N ■
(11)
Выражения (8)—(11) для операторов (4) и (5) будут аналогичными, за исключением интервалов суммирования. Таким образом, систематическая составляющая погрешности
в оценке <р1; у зависит от детерминированной аддитивной
составляющей ф1 у наблюдаемого процесса Ху и интервала сглаживания. Случайная составляющая погрешности для аддитивной модели определяется дисперсией стационарной составляющей е и интервалом сглаживания, а для аддитивно-мультипликативной модели зависит также от мультипликативной детерминированной составляющей ф2 у.
Для оценки малости средней квадратической погрешности (7) представим ее в долях оцениваемого параметра: 8у = £у / ф1 у. Нормированная средняя квадратическая погрешность (НСКП) в зависимости от ф1 у изменяется в широ-
б,
8, % 60
Рис. 2. Зависимости максимальной по длине реализации нормированной средней квадратической погрешности от интервала усреднения для операторов (4), (5), (6) — соответственно кривые 1, 2, 3
ких
пределах до 8у = ~ при ф1 j = 0. Поэтому при нормировании будем использовать максимальное значение истинного математического ожидания, взятого по модулю |ф1 х|:
1/ я.=_к
S i =7 i 1 №lmaxl
S i =7 , 1 №lmax!
100.
(12)
Чтобы сравнить значения НСКП оценок математического ожидания, полученных при применении операторов сглаживания (4)—(6), проводили моделирование процесса
[ (Í) = 1 + sin С 2 nf 1 + expí- b 1-jJe (j).
При этом длина реализации N составляла 200 отсчетов, интервал усреднения изменялся в пределах 3—199, интервал дискретизации Af = 0,005 с, f = 1 Гц и b = 4. Результаты моделирования приведены на рис. 2.
Из анализа полученных зависимостей следует, что меньшие значения НСКП получаются при использовании оператора скользящего среднего (6), в котором оценка ф^ ¡ рассчитывается для точки, расположенной в середине интервала усреднения. Поэтому для последующих исследований использовался именно этот оператор.
Анализ результатов ошибочной классификации случайного процесса. Пусть относительно исследуемого процесса выдвинута гипотеза о принадлежности его к классу аддитивных процессов (1), тогда как в действительности процесс относится к классу аддитивно-мультипликативных (2).
Для оценки влияния ошибочной классификации наблюдаемого процесса и вида детерминированных составляющих на НСКП (12) проводили моделирование процессов при ранее принятых условиях. При этом рассматривали следующие законы изменения аддитивной и мультипликативной составляющих:
«i(W) = 1 + sin; ф2(í) = 2-exp fi-ij; Фз(j)=.
На рис. 3 приведены зависимости максимальной по длине реализации НСКП 8 (12) от интервала усреднения для различных комбинаций детерминированных составляющих. Анализ полученных результатов показывает, что НСКП оценки математического ожидания для аддитивной модели процес-
100 150 т 50 100
в г
Рис. 3. Зависимости нормированной средней квадратической погрешности от интервала усреднения для аддитивной модели (1) и аддитивно-мультипликативной модели (2):
а) 1 -
б) 1 -в) 1 -г) 1 -
j + еУ
: Ч>1
: ф2,У + £j,
: <Pi,j + еУ
= фз,У +
2 -2 -2 -2 -
: + ^2,. : ^2, j + Ф1, . : ^1, j + Фз, .
= фз, j + чу .
са меньше, чем для аддитивно-мультипликативной. При этом разность в значениях погрешности колеблется от 3 до 30 % в зависимости от интервала усреднения. Погрешность результатов измерений влияет на качество управления технологическими процессами. Неучтенная погрешность, вызванная ошибочной классификацией наблюдаемого процесса, будет снижать эффективность работы информационно-измерительных и управляющих систем. Отсутствие обоснованных рекомендаций по выбору окна усреднения ограничивает применение оператора скользящего среднего в системах управления технологическими процессами.
Из рис. 3, а, в следует, что для процесса, математическое ожидание которого изменяется по периодическому закону, можно указать оптимальный интервал сглаживания. Если изменение математического ожидания наблюдаемого процесса происходит монотонно (рис. 3, б, г), то НСКП уменьшается с увеличением интервала сглаживания. Таким образом, рекомендации по выбору окна усреднения могут быть даны исходя из вида аддитивной детерминированной составляющей наблюдаемого процесса. Для исключения погрешностей результатов измерений, вызванных ошибочным предположением о виде исследуемого процесса и необосн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.