научная статья по теме ВЛИЯНИЕ КОНВЕКЦИИ, АНИЗОТРОПИИ И НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ НА СТРУКТУРНО-ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОЦЕССАХ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ Математика

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ КОНВЕКЦИИ, АНИЗОТРОПИИ И НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ НА СТРУКТУРНО-ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОЦЕССАХ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2010, том 434, № 3, с. 327-331

= ФИЗИКА =

УДК 536.421:532.785

ВЛИЯНИЕ КОНВЕКЦИИ, АНИЗОТРОПИИ И НЕОДНОРОДНОСТИ СРЕДЫ НА СТРУКТУРНО-ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОЦЕССАХ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ © 2010 г. Д. В. Александров, А. П. Малыгин

Представлено академиком Н.А. Ватолиным 24.03.2010 г. Поступило 09.04.2010 г.

Систематическое изучение фазовых превращений в системах жидкость—твердая фаза берет начало с конца XIX века с классических работ Стефана. В своих исследованиях Стефан использовал модель процесса, учитывающую перенос тепла и движение плоской границы раздела фаз— фронта кристаллизации. Предположение о существовании в системе четко выраженной границы фазового перехода выполняется далеко не всегда. Так, накопление примеси перед фронтом затвердевания, связанное с ее вытеснением при росте твердой фазы, приводит к возникновению перед границей жидкость—твердая фаза концентрационного переохлаждения [1]. Описание процесса затвердевания в последующие моменты времени с помощью фронтальной модели уже не применимо, поскольку появление переохлаждения создает преимущественные условия для роста выступов твердой фазы в глубь расплава и развития неустойчивости [2, 3]. Таким образом, перед фронтом появляется область смешанного фазового состояния, в которой претерпевают рост элементы твердого вещества. Если это происходит достаточно интенсивно, то концентрационное переохлаждение может быть практически полностью скомпенсировано выделяющейся скрытой теплотой фазового превращения. Такая двухфазная зона получила название квазиравновесной [4]. Далее процесс затвердевания протекает при наличии протяженной области фазового перехода, имеющей две подвижные границы.

При экспериментах было замечено (см., например, работы [5, 6]), что при достижении двухфазной зоной некоторой критической толщины Нс концентрация примеси в жидкой части системы существенно возрастает. Это обеспечивается притоком примеси из каналов, образующихся в двухфазной зоне (под каналами понимают свободные от твердой фазы протоки в двухфазной зоне, заполненные жидкостью). Такие каналы на-

Уральский государственный университет им. А.М. Горького, Екатеринбург

блюдаются в процессах затвердевания, вызванных охлаждением системы сверху или снизу. Так, например, в первом случае при накоплении примеси в жидкой фазе области фазового превращения увеличивается плотность жидкости, что приводит к возникновению конвективного течения в сторону расположенного ниже раствора или расплава [7]. При этом, чем ниже температура на границе охлаждения, тем толще слой hc и больше примеси выбрасывается конвективными струями в жидкость из каналов двухфазной зоны. Вытесненная таким образом масса замещается потоком жидкости, идущим в двухфазную область из раствора или расплава. Эта жидкость, протекая по двухфазной зоне, частично замерзает, уменьшая проницаемость зоны, и выделяет дополнительную скрытую теплоту, замедляющую скорость кристаллизации. Указанный механизм приводит к возникновению замкнутых линий тока, характеризующих конвективные течения жидкости в каналах [7, 8]. В качестве причины образования каналов можно назвать неустойчивость однородного роста и локальную анизотропию области фазового превращения. В работе [8] предложена простейшая модель, демонстрирующая механизм возникновения такой неустойчивости, без учета распределения доли твердой фазы и диффузионных процессов, которые являются главной причиной образования самой двухфазной зоны. Ниже показано, что учет конвективно-диффузионных процессов, сопровождающих фазовый переход, приводит к значительному (в разы) увеличению области параметров системы, отвечающей неустойчивому режиму.

Отметим, что согласно экспериментальным данным количество возникающих в двухфазной зоне каналов может быть от одного канала на весь слиток [5] до целой сети каналов, отстоящих друг от друга на расстоянии порядка 1 см [7]. Образование указанных каналов (см., например, фотографии в работах [5—8]) конвективного течения жидкости является весьма распространенным явлением. Так, при затвердевании сплавов их присутствие приводит к неоднородностям примесного распре-

328

АЛЕКСАНДРОВ, МАЛЫГИН

Область фазового перехода

г = 0-

4 г = С(0

Жидкость

г

Рис. 1. Схематическая диаграмма процесса. Течение в каналах области фазового перехода изображено стрелками.

деления [9], при замерзании льда они замедляют скорость его прироста [6], при кристаллизации магмы они влияют на отложения минералов [10]. Возможно, что они встречаются также на границе внутреннего и внешнего ядра Земли [11].

Течение жидкости в каналах двухфазной зоны будем описывать с помощью уравнения Дарси для пористой среды

И и = П (р, g - Ур), (1)

где и — скорость жидкости, р — давление, и — коэффициент динамической вязкости, р1 — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения, П = П(ф) — тензор проницаемости двухфазной зоны, зависящий от доли твердой фазы ф. Проницаемости в горизонтальном (ПА) и вертикальном (П) направлениях связаны посредством коэффициента анизотропии 0 < р < 1: Пь = р2П [8]. Изменение проницаемости с глубиной двухфазного слоя связано с наличием температурного градиента. Следуя работе [8], будем моделировать такую зависимость следующим образом:

П (г) = Пу (0) ехр (уг), ПА( г) = р2 Пу (г), (2) где у — параметр неоднородности.

Процессы тепло- и массопереноса в двухфазной зоне будем описывать с помощью конвективных уравнений теплопроводности, диффузии и уравнения ликвидус, следующего из фазовой диаграммы:

д Т

ртст -Т + р,с,и У Т = У( ктУ Т) + р дф, (3)

'д г

д г

(1 - ф)^ + и У С = У(БтУС) + (1 - к) А (4)

Т = Т* - тС, (5)

где Т — температура, С — концентрация примеси, Ь — скрытая теплота кристаллизации, к — коэффициент распределения примеси, т — коэффициент наклона линии ликвидус, Т* — температура

фазового перехода чистого вещества, — плотность твердой фазы, рт, ст, кт и Бт — плотность, теплоемкость, теплопроводность и коэффициент диффузии примеси, зависящие от доли твердой фазы ф. Коэффициенты переноса в двухфазной

зоне определяются через коэффициенты переноса в твердой и жидкой фазах согласно правилу смесей [12]

РтСт = Р,С, ( 1 - ф) + рА ф ,

(6)

кт = к,( 1 - ф) + кф , Бт = Б, ( 1 - ф) ,

где индексы ж и I обозначают соответствующие величины, определенные для твердого и жидкого состояния.

На границе области фазового перехода и жидкости выполняются условия баланса тепла и массы:

р,Ьфь¥ = кт(фь)(|Т) - к,(|Т) , (7)

(1 - к)СьфьУ = Бт(фь)(|) - Б,(дС) +, (8)

где V — скорость движения межфазной границы, а индекс Ь обозначает соответствующую величину на границе.

Течение жидкости со скоростью и (рис. 1) возмущает межфазную границу из положения г = 0, соответствующего равновесию, в некоторое новое положение г = С(х, ?) = С ехр(/ах + а?). Здесь С — амплитуда возмущений, а и а — волновое число и параметр скорости роста возмущений (параметр неустойчивости), I — мнимая единица. Будем считать, что движение жидкости безвихревое, тогда потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа ДФ = 0 (и = УФ). Пренебрегая скоростью течения жидкости в двухфазной зоне по сравнению со скоростью течения жидкости в области г > 0, на межфазной границе имеем пограничное условие непротекания жидкости. С учетом этого потенциал скорости в жидкости принимает вид

Ф = их - ехр (-аг). (9)

Давление на межфазной границе, определяющее течения в каналах двухфазной области, находится из уравнения Бернулли с помощью (9) и имеет вид

р = -р,а и2С. (10)

Принимая во внимание уравнение неразрывности Уи = 0 для потока жидкости в каналах (здесь мы считаем малыми изменения доли твердой фазы в двухфазной зоне вследствие активной циркуляции жидкости в области, занимаемой каналами), из уравнений (1) и (2) получаем уравнение для определения давления в зоне фазового перехода

д2 /~\2 р _р-удр + др =

дх2 дг дг2 решение которого имеет вид

0,

р = -р, аи2 С ехр (дг), * = * + £±55. (11)

х

Отметим, что на поверхности z = 0 выражение (11) переходит в (10). Для простоты изложения здесь мы пренебрегаем действием силы тяжести и охватываем ситуации охлаждения сверху и снизу.

Поскольку время релаксации температурного поля намного меньше всех остальных характерных времен процесса, температуру в зоне фазового превращения можно считать линейной функцией пространственной координаты z:

Т(х, г, 0 = Ть + Ог + 0(г) ехр(Iах + а?)

(при этом концентрация примеси определяется уравнением (5)), где Ть — температура на межфазной границе, О — температурный градиент. Амплитуда возмущений температуры 0 находится из системы уравнений (3)—(5) с учетом выражения (11), зависимостей коэффициентов переноса от доли твердой фазы ф (выражения (6)) и ее возмущений

ф(х, г, ?) = фо(х, г) + Ф(г)ехр(/ах + а?).

Здесь ф0 и Ф — невозмущенное значение и амплитуда возмущений доли твердой фазы. Принимая во внимание квазистационарное приближение

д

— ^ 0, его применимость показана в работе [13]

и исключая из системы (3)—(5) группу слагаемых, содержащих ф0, получаем следующее уравнение:

СС2 0 2

—2 - а 0(г) = А ехр (у + д)г, Сг

= (1 + к (К - 1 ( 0) аи2 дО0 V КО, ) КУ ,

(12)

где к = — , К = — , V = ^ — кинематическая вяз-

РС

Р1

кость.

Учитывая ограниченность 0 при z ^ —^ и граничное условие 0 (0) = —О0 , следующее из температурного распределения, находим решение уравнения (12) при р Ф 1 и у Ф 0

0 (г) = -0 0ехр (аг) +

[ ехр((д + у)г) - ехр(аг)]. (13)

(д + у)2 - а2

В случае изотропной (р = 1) и однородной (у = 0) структуры области фазового перехода решение записывается в виде

0 (г) = - 00 ехр (аг) + ехр (аг). (14) 2 а

и, 10-3 м/с

10

20

30

а, м

Рис. 2. Влияние параметра анизотропии на кривые нейтральной устойчивости: в = 0.1 (1), 0.5 (2), 1 (3). Области неустойчивости и устойчивости находятся выше и ниже соответствующих кривых. Сплошные линии построены на основе соотношений (16), штриховые — на основе упрощенной модели [8]. Параметры раствора [8]: V = 1.07 • 10-6 м2/с, к = = 1.33 • 10-7 м2/с, Б1 = 10-9 м2/с, V = 10-6 м/с, Пу(0) = 10-8 м2, К = 3.8, к = 0, у = 10 м-1.

Исключая из граничных условий (7) и (8) долю фь с использова

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком