МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 532.526.75
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЦИРКУЛЯЦИЮ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ
ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОРМОЗЯЩЕГО ТОРЦА
© 2015 г. Е. П. ПОТАНИН
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва e-mail: potanin_ep@nrcki.ru
Поступила в редакцию 13.03.2015 г.
В рамках магнитогидродинамического подхода исследуется вращательное течение электропроводящей жидкости внутри прямого кругового диэлектрического цилиндра при наличии асинхронно вращающегося верхнего торца и внешнего осевого магнитного поля B. Для приближенного расчета радиальных профилей азимутальной и осевой компонент скорости среды внутри ограниченного в осевом и радиальном направлениях вращающегося объема используются аналитические решения системы нелинейных дифференциальных МГД-уравнений движения в пограничных слоях на безграничном диске.
Ключевые слова: вращение проводящей жидкости, вязкость, МГД-пограничные слои, ядро потока.
Изучение вращательных потоков проводящих сплошных сред в первую очередь связано с задачей разделения изотопов элементов, не имеющих летучих соединений при нормальных условиях [1—3], которые нельзя получать на основе промышленных центробежных каскадов. Кроме того, остро стоит задача переработки отработавшего ядерного топлива, которая может быть решена на основе использования вращающейся плазмы [4]. Потоки вращающихся проводящих сред интенсивно исследуются, также, в связи с некоторыми астрофизическими проблемами (устойчивость аккреционных дисков [5, 6]).
Быстрое вращение жидкости или газа во вращающемся цилиндре или в пространстве между концентрическими вращающимися цилиндрами, а также в случае вращения при наличии притягивающего центра (кеплеровские диски), всегда представляет собой потенциальную возможность для развития неустойчивости, поскольку любая, даже незначительная осевая неоднородность плотности или скорости вращения среды приводит к нарушению равновесия центробежных сил и сил давления (центробежных сил и сил тяготения в случае астрофизических объектов) и развитию вторичных циркуляционных течений. Кроме того, неустойчивость может возникать и вследствие сдвига азимутальной скорости по радиусу, который способствует развитию возмущений, связанных со смещением элемента объема вращающейся среды в радиальном направлении. Классический пример такой неустойчивости — неустойчивость Куэтта— Тейлора в обычной непроводящей среде, связанная с радиальным сдвигом скорости вращения. В [5] было впервые показано, что в идеально проводящей жидкости, вращающейся в осевом умеренном магнитном поле возможен еще один тип неустойчивости, для возбуждения которой необходим как сдвиг окружной скорости, так и индуцированные магнитные поля, связанные с протеканием электрических токов в проводя-
щей среде. Следует отметить, что при попытках экспериментального наблюдения этой неустойчивости, а также других возможных неустойчивостей вращающейся среды в достаточно плотных средах возникают трудности, связанные с маскирующим действием торцевых поверхностей лабораторных устройств. При этом на неподвижных торцах образуются так называемые экмановские МГД-слои [7, 8], обусловленные действием сил вязкости и инерции, а в основном объеме — вторичные циркуляционные течения (вихри). Действие осевого магнитного поля должно способствовать уменьшению циркуляции. Это благоприятный момент с точки зрения подавления вторичных течений.
В настоящей работе в приближении слабопроводящей несжимаемой жидкости выполнены оценки влияния осевого магнитного поля на интенсивность циркуляционных течений в ограниченном торцами вращающемся цилиндре при наличии квазитвердого вращения среды в центральной части основного объема.
Возбуждение вихревого циркуляционного потока (в условиях действия торца в случае обычной непроводящей жидкости) может быть истолковано как своего рода потеря устойчивости вращательного движения при наличии осевой неоднородности центробежных сил вблизи тормозящей поверхности [9]. Аналогичные явления типа вторичных циркуляционных структур могут возникать и в условиях нестационарных вращательных потоков [10, 11]. Если имеет место вращение проводящей жидкости в магнитном поле, ситуация усложняется из-за действия электромагнитных сил. Магнитное поле стремится уменьшить радиальный поток в пограничном слое за счет электромагнитной силы, связанной с возбуждением вблизи тормозящего торца азимутального индукционного электрического тока [12]. Взаимодействие последнего с осевым магнитным полем приводит к уменьшению скорости радиального течения в экмановском МГД пограничном слое и к замедлению циркуляционного потока.
1. Общая формулировка проблемы. Рассмотрим изотермическое МГД-течение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в прямом круговом диэлектрическом цилиндре, вращающемся с постоянной угловой скоростью ю0 вокруг вертикальной оси, при наличии верхней тормозящей крышки и осевого однородного магнитного поля. Аналогичная задача в случае обычной непроводящей среды была аналитически рассмотрена в [9]. Теоретический анализ основывался на разбиении всей области потока на ламинарные пограничные слои на торцевых поверхностях и предположении о наличии квазитвердого невязкого ядра, вращающегося с некоторой, подлежащей определению, угловой скоростью шр и вязкого пограничного слоя на боковой поверхности.
Рассмотрим случай проводящей жидкости и диэлектрического цилиндра с диэлектрической торцевой крышкой, вращающейся медленнее цилиндра с угловой скоростью ®2. Очевидно, что крышка оказывает дестабилизирующее влияние на вращательный поток, вызывая трехмерные вторичные циркуляционные течения, накладывающиеся на окружное движение. Оно уже не будет квазитвердым вращением с угловой скоростью ю0. При этом, в отличие от случая непроводящей жидкости, магнитное поле оказывает влияние на вторичные циркуляционные потоки в силу возбуждения индукционных токов, которые замыкаются внутри проводящей среды.
Воспользуемся упомянутой выше методикой разбиения всей области течения на пограничные слои и основной поток. В предположении об отсутствии в основном потоке радиальной компоненты скорости азимутальные (окружные) электрические токи могут протекать только в пограничных слоях на верхнем торце (диске) и дне цилиндра.
2. Постановка задачи в случае вращения бесконечно протяженного диска, основные уравнения и методика решения. Исследуем сначала трехмерный МГД пограничный слой на бесконечно протяженном диэлектрическом вращающемся с угловой скоростью ю0 диске при наличии внешнего потока, вращающегося с угловой скоростью
ю1 < ю0. В этом случае пренебрегается влиянием боковой поверхности цилиндра и верхнего торца. Внешнее однородное магнитное поле направим вдоль оси вращения. (Условия о>1 = 0, ю0 ^ 0 соответствуют вращению диска в неподвижной среде [13, 14].)
На первый взгляд может показаться, что рассмотрение такой задачи для безграничной области течения не имеет смысла. Однако в рамках инженерных расчетов характеристик ограниченных стенками вращательных потоков, решения для безграничного диска могут быть использованы при анализе характеристик пограничного слоя в области невязкого ядра потока [9, 15].
Воспользуемся однокомпонентным магнитогидродинамическим приближением [16]. Введем цилиндрическую систему координат г, ф, г, плоскость г = 0 которой совпадает с плоскостью диска. Как показано в [17], радиальный градиент давления в основном
потоке (йр/йг = рю^г) действует и в пограничном слое на диске. В пределе малых магнитных чисел Рейнольдса уравнения движения и неразрывности в пограничном слое на вращающемся диске сводятся к системе, впервые полученной в [18]. При этом предполагается, что радиальное электрическое Ег не изменяется с координатой внутри пограничного слоя на диэлектрическом диске и совпадает с полем Е™ = -ю1гБг во внешнем потоке
диг диг ит 2 иг —L + —L —- = _ю1 г + V дг дг г
2 /Л2 , Л Л ,,2
д иг + 1 диг _ Цт + д иг
ди. ди. иги.
иг —+ —+ —= V
дг дг г
дг2 г дг г2 дг2
(д2и. 1 ди. _ и. +дЧ^
ч дг2 г дг г2 дг2 J
аБ иг
(2.1)
2
+ ^ (Ю1г _ и.) (2.2)
^ + = 0 (2.3)
дг г дг
1 д Вч , дЕг /0 „ч
-—га(Ег - ЦрБ) + -г = Б—^ (2.4)
г дг дг дг
где иг, и — радиальная, азимутальная (окружная) и осевая компоненты скорости сплошной среды; Ег — осевая компонента напряженности электрического поля; Б — индукция магнитного поля; п = Ру — динамическая вязкость жидкости, р - ее плотность, а — проводимость.
Система (2.1)—(2.4) не содержит уравнения движения в проекции на ось г, так как последнее служит лишь для определения зависимости давления от осевой координаты в пограничном слое [18]. Эта система отличается от исследованной в [9] для гидродинамического потока непроводящей среды наличием дополнительных членов в уравнениях (2.1), (2.2), характеризующих электромагнитные силы, связанные с взаимодействием электрического тока и внешнего магнитного поля. Уравнение неразрывности электрического тока (2.4) — вспомогательное и может служить для определения распределения компоненты электрического поля Ег по известному профилю азимутальной скорости и^. В общем случае следует потребовать прилипания жидкости на твердых поверхностях и непрерывности скорости на границе внешнего потока. Тогда граничные условия задачи для гидродинамических параметров принимают следующий вид:
г = 0: иг = 0, = ®0г, uz = 0 (2.5)
г ^<х:ог ^ 0, = ®1г (2.6)
В публикации [17] на основе использования процедуры сведения системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в автомодельном случае получено численное решение задачи. К сожалению, при анализе течения в ограниченном цилиндре, необходимо иметь аналитические зависимости для профилей скорости в пограничных слоях на торцах. Поэтому воспользуемся приближенным аналитическим методом усреднения инерционных членов по толщине пограничного слоя (Слезкин—Тарг, [17]), впервые предложенным применительно к магнитогидродинамическим задачам в [14]. Введем величины
и
и,
/1 , /2 , /3 = ^
Г Г
Определим вели
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.