научная статья по теме ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЦИРКУЛЯЦИЮ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОРМОЗЯЩЕГО ТОРЦА Физика

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЦИРКУЛЯЦИЮ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОРМОЗЯЩЕГО ТОРЦА»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015

УДК 532.526.75

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЦИРКУЛЯЦИЮ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЦИЛИНДРЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОРМОЗЯЩЕГО ТОРЦА

© 2015 г. Е. П. ПОТАНИН

Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва e-mail: potanin_ep@nrcki.ru

Поступила в редакцию 13.03.2015 г.

В рамках магнитогидродинамического подхода исследуется вращательное течение электропроводящей жидкости внутри прямого кругового диэлектрического цилиндра при наличии асинхронно вращающегося верхнего торца и внешнего осевого магнитного поля B. Для приближенного расчета радиальных профилей азимутальной и осевой компонент скорости среды внутри ограниченного в осевом и радиальном направлениях вращающегося объема используются аналитические решения системы нелинейных дифференциальных МГД-уравнений движения в пограничных слоях на безграничном диске.

Ключевые слова: вращение проводящей жидкости, вязкость, МГД-пограничные слои, ядро потока.

Изучение вращательных потоков проводящих сплошных сред в первую очередь связано с задачей разделения изотопов элементов, не имеющих летучих соединений при нормальных условиях [1—3], которые нельзя получать на основе промышленных центробежных каскадов. Кроме того, остро стоит задача переработки отработавшего ядерного топлива, которая может быть решена на основе использования вращающейся плазмы [4]. Потоки вращающихся проводящих сред интенсивно исследуются, также, в связи с некоторыми астрофизическими проблемами (устойчивость аккреционных дисков [5, 6]).

Быстрое вращение жидкости или газа во вращающемся цилиндре или в пространстве между концентрическими вращающимися цилиндрами, а также в случае вращения при наличии притягивающего центра (кеплеровские диски), всегда представляет собой потенциальную возможность для развития неустойчивости, поскольку любая, даже незначительная осевая неоднородность плотности или скорости вращения среды приводит к нарушению равновесия центробежных сил и сил давления (центробежных сил и сил тяготения в случае астрофизических объектов) и развитию вторичных циркуляционных течений. Кроме того, неустойчивость может возникать и вследствие сдвига азимутальной скорости по радиусу, который способствует развитию возмущений, связанных со смещением элемента объема вращающейся среды в радиальном направлении. Классический пример такой неустойчивости — неустойчивость Куэтта— Тейлора в обычной непроводящей среде, связанная с радиальным сдвигом скорости вращения. В [5] было впервые показано, что в идеально проводящей жидкости, вращающейся в осевом умеренном магнитном поле возможен еще один тип неустойчивости, для возбуждения которой необходим как сдвиг окружной скорости, так и индуцированные магнитные поля, связанные с протеканием электрических токов в проводя-

щей среде. Следует отметить, что при попытках экспериментального наблюдения этой неустойчивости, а также других возможных неустойчивостей вращающейся среды в достаточно плотных средах возникают трудности, связанные с маскирующим действием торцевых поверхностей лабораторных устройств. При этом на неподвижных торцах образуются так называемые экмановские МГД-слои [7, 8], обусловленные действием сил вязкости и инерции, а в основном объеме — вторичные циркуляционные течения (вихри). Действие осевого магнитного поля должно способствовать уменьшению циркуляции. Это благоприятный момент с точки зрения подавления вторичных течений.

В настоящей работе в приближении слабопроводящей несжимаемой жидкости выполнены оценки влияния осевого магнитного поля на интенсивность циркуляционных течений в ограниченном торцами вращающемся цилиндре при наличии квазитвердого вращения среды в центральной части основного объема.

Возбуждение вихревого циркуляционного потока (в условиях действия торца в случае обычной непроводящей жидкости) может быть истолковано как своего рода потеря устойчивости вращательного движения при наличии осевой неоднородности центробежных сил вблизи тормозящей поверхности [9]. Аналогичные явления типа вторичных циркуляционных структур могут возникать и в условиях нестационарных вращательных потоков [10, 11]. Если имеет место вращение проводящей жидкости в магнитном поле, ситуация усложняется из-за действия электромагнитных сил. Магнитное поле стремится уменьшить радиальный поток в пограничном слое за счет электромагнитной силы, связанной с возбуждением вблизи тормозящего торца азимутального индукционного электрического тока [12]. Взаимодействие последнего с осевым магнитным полем приводит к уменьшению скорости радиального течения в экмановском МГД пограничном слое и к замедлению циркуляционного потока.

1. Общая формулировка проблемы. Рассмотрим изотермическое МГД-течение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в прямом круговом диэлектрическом цилиндре, вращающемся с постоянной угловой скоростью ю0 вокруг вертикальной оси, при наличии верхней тормозящей крышки и осевого однородного магнитного поля. Аналогичная задача в случае обычной непроводящей среды была аналитически рассмотрена в [9]. Теоретический анализ основывался на разбиении всей области потока на ламинарные пограничные слои на торцевых поверхностях и предположении о наличии квазитвердого невязкого ядра, вращающегося с некоторой, подлежащей определению, угловой скоростью шр и вязкого пограничного слоя на боковой поверхности.

Рассмотрим случай проводящей жидкости и диэлектрического цилиндра с диэлектрической торцевой крышкой, вращающейся медленнее цилиндра с угловой скоростью ®2. Очевидно, что крышка оказывает дестабилизирующее влияние на вращательный поток, вызывая трехмерные вторичные циркуляционные течения, накладывающиеся на окружное движение. Оно уже не будет квазитвердым вращением с угловой скоростью ю0. При этом, в отличие от случая непроводящей жидкости, магнитное поле оказывает влияние на вторичные циркуляционные потоки в силу возбуждения индукционных токов, которые замыкаются внутри проводящей среды.

Воспользуемся упомянутой выше методикой разбиения всей области течения на пограничные слои и основной поток. В предположении об отсутствии в основном потоке радиальной компоненты скорости азимутальные (окружные) электрические токи могут протекать только в пограничных слоях на верхнем торце (диске) и дне цилиндра.

2. Постановка задачи в случае вращения бесконечно протяженного диска, основные уравнения и методика решения. Исследуем сначала трехмерный МГД пограничный слой на бесконечно протяженном диэлектрическом вращающемся с угловой скоростью ю0 диске при наличии внешнего потока, вращающегося с угловой скоростью

ю1 < ю0. В этом случае пренебрегается влиянием боковой поверхности цилиндра и верхнего торца. Внешнее однородное магнитное поле направим вдоль оси вращения. (Условия о>1 = 0, ю0 ^ 0 соответствуют вращению диска в неподвижной среде [13, 14].)

На первый взгляд может показаться, что рассмотрение такой задачи для безграничной области течения не имеет смысла. Однако в рамках инженерных расчетов характеристик ограниченных стенками вращательных потоков, решения для безграничного диска могут быть использованы при анализе характеристик пограничного слоя в области невязкого ядра потока [9, 15].

Воспользуемся однокомпонентным магнитогидродинамическим приближением [16]. Введем цилиндрическую систему координат г, ф, г, плоскость г = 0 которой совпадает с плоскостью диска. Как показано в [17], радиальный градиент давления в основном

потоке (йр/йг = рю^г) действует и в пограничном слое на диске. В пределе малых магнитных чисел Рейнольдса уравнения движения и неразрывности в пограничном слое на вращающемся диске сводятся к системе, впервые полученной в [18]. При этом предполагается, что радиальное электрическое Ег не изменяется с координатой внутри пограничного слоя на диэлектрическом диске и совпадает с полем Е™ = -ю1гБг во внешнем потоке

диг диг ит 2 иг —L + —L —- = _ю1 г + V дг дг г

2 /Л2 , Л Л ,,2

д иг + 1 диг _ Цт + д иг

ди. ди. иги.

иг —+ —+ —= V

дг дг г

дг2 г дг г2 дг2

(д2и. 1 ди. _ и. +дЧ^

ч дг2 г дг г2 дг2 J

аБ иг

(2.1)

2

+ ^ (Ю1г _ и.) (2.2)

^ + = 0 (2.3)

дг г дг

1 д Вч , дЕг /0 „ч

-—га(Ег - ЦрБ) + -г = Б—^ (2.4)

г дг дг дг

где иг, и — радиальная, азимутальная (окружная) и осевая компоненты скорости сплошной среды; Ег — осевая компонента напряженности электрического поля; Б — индукция магнитного поля; п = Ру — динамическая вязкость жидкости, р - ее плотность, а — проводимость.

Система (2.1)—(2.4) не содержит уравнения движения в проекции на ось г, так как последнее служит лишь для определения зависимости давления от осевой координаты в пограничном слое [18]. Эта система отличается от исследованной в [9] для гидродинамического потока непроводящей среды наличием дополнительных членов в уравнениях (2.1), (2.2), характеризующих электромагнитные силы, связанные с взаимодействием электрического тока и внешнего магнитного поля. Уравнение неразрывности электрического тока (2.4) — вспомогательное и может служить для определения распределения компоненты электрического поля Ег по известному профилю азимутальной скорости и^. В общем случае следует потребовать прилипания жидкости на твердых поверхностях и непрерывности скорости на границе внешнего потока. Тогда граничные условия задачи для гидродинамических параметров принимают следующий вид:

г = 0: иг = 0, = ®0г, uz = 0 (2.5)

г ^<х:ог ^ 0, = ®1г (2.6)

В публикации [17] на основе использования процедуры сведения системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в автомодельном случае получено численное решение задачи. К сожалению, при анализе течения в ограниченном цилиндре, необходимо иметь аналитические зависимости для профилей скорости в пограничных слоях на торцах. Поэтому воспользуемся приближенным аналитическим методом усреднения инерционных членов по толщине пограничного слоя (Слезкин—Тарг, [17]), впервые предложенным применительно к магнитогидродинамическим задачам в [14]. Введем величины

и

и,

/1 , /2 , /3 = ^

Г Г

Определим вели

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»