ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 2, с. 214-219
УДК 532.529
ВЛИЯНИЕ МЕЛКОДИСПЕРСНОЙ ФРАКЦИИ НА ДВИЖЕНИЕ КРУПНОЙ ЧАСТИЦЫ В СУСПЕНЗИИ
© 2015 г. Т. Р. Аманбаев
Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова, г. Шымкент
tulegen_amanbaev@mail.ru Поступила в редакцию 16.07.2013 г.
Рассмотрена задача о движении крупной частицы в суспензии мелких (броуновских) частиц в гравитационном поле. Проанализировано влияние концентрации мелкой фракции на установившуюся скорость крупной частицы. Построена диаграмма, изображающая характерные области различного поведения крупной частицы в суспензии. Отдельно рассмотрен случай движения крупной частицы в суспензии с неоднородным распределением мелких частиц по высоте. Показано, что в этом случае крупные частицы собираются на некоторой высоте, зависящей от определяющих параметров задачи.
Ключевые слова: суспензия, объемная концентрация, эффективная вязкость, седиментационно-диффузионное равновесие.
Б01: 10.7868/80040357115020013
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим движение крупной частицы в суспензии мелких частиц под действием силы тяжести. Подобные ситуации часто встречаются в различных областях химической технологии. Существует широкий класс бидисперсных суспензий, в которых частицы мелкой фракции можно принять за однородную среду, в которой размещены частицы крупной фракции (например, водоугольные суспензии двухстадийного помола, которые применяются в трубопроводном транспорте [1], двух-фракционные полимерные суспензии [2] и др.). В последнее время с появлением повышенного интереса к наножидкостям (жидкостям с нано-размерными частицами) ввиду их уникальных свойств этот вопрос становится достаточно актуальным. Связано это с тем, что наносуспензии недостаточно стабильны: в силу различных причин частицы могут коагулировать и при достижении некоторого критического размера начинают осаждаться (или всплывать). Процесс седиментации в суспензии разнородных частиц с сильно отличающимися размерами используют также для получения нанокомпозитных материалов. Би-дисперсные суспензии с разнородными частицами наблюдались еще при исследовании степени дисперсности торфа [3]. Процессы осаждения би-дисперсной суспензии обсуждаются в [4]. В [5] изучается скорость стесненного осаждения бимодальной смеси в ньютоновской жидкости, а в [6] построена математическая модель сепарации по-
лидисперсной суспензии. Диффузия и седиментация мелкодисперсной фракции частиц в отстойниках исследованы в [7].
Цель работы — изучение влияния концентрации мелкодисперсной фракции суспензии на движение крупной частицы в поле силы тяжести.
Примем следующие допущения. Пусть суспензия является ньютоновской (неструктурированной), т.е. ее реологические свойства определяются лишь гидродинамическими факторами. Условия существования таких суспензий подробно проанализированы в [1]. По отношению к крупной частице окружающая дисперсная система жидкость — мелкие частицы рассматривается как сплошная среда с эффективной вязкостью и приведенной плотностью. При этом влиянием броуновского движения мелких частиц на эффективную вязкость суспензии пренебрегается. Такой подход часто используется как один из способов описания процесса седиментации в суспензии [1, 8, 9].
Далее нижними индексами 1, I и р отмечены соответственно параметры суспензии, ее жидкой и дисперсной составляющих. Параметры без индекса отвечают крупной частице.
СКОРОСТЬ ДРЕЙФА КРУПНОЙ ЧАСТИЦЫ В СУСПЕНЗИИ
Предположим, что суспензия покоится, а крупная сферическая частица движется в стоксовом режиме в поле силы тяжести. Тогда установившаяся скорость (скорость дрейфа или витания) крупной
частицы и в суспензии удовлетворяет следующему уравнению, отражающему равновесие сил тяжести, Архимеда и Стокса:
(-р + р^ - Зл^и = 0. (1)
Здесь р, V, й — плотность, объем и диаметр крупной частицы, рь ^ — приведенная плотность и эффективная вязкость суспензии, g — ускорение силы тяжести. Из (1) следует выражение для и, которое в безразмерных параметрах примет форму
zr^ , u = uslu, P1
Pi =P 1/Pp = 1 + ap(p°p -1), P =p/pp , Pi = VilPi,
(2)
= Pp/
Pp, U = ppgd
где ар, р° — объемная концентрация и истинная
плотность мелкодисперсной фракции, р°, — истинная плотность и вязкость (динамическая) жидкости, рь ^ — приведенная плотность и эффективная вязкость мелкодисперсной суспензии.
Заметим, что установившаяся скорость частицы в чистой (без мелких частиц) жидкости определяется формулой и„ = 1 - р.
Для расчета эффективной вязкости суспензии целесообразно использовать формулу Муни, которая достаточно хорошо описывает многочисленные экспериментальные данные в широком диапазоне объемных содержаний дисперсной фазы ар и имеет вид [8—11]
/ „ л
- Ц1
ц1 = — = exp Vi
2.5а p
л max
V.1 — ар/ ар ,
(3)
г-» max и л
Здесь а p — объемная доля дисперснои фазы при наиболее плотноИ упаковке частиц (далее везде
а m" = 0.74 [12]). Коэффициент 2.5 обеспечивает переход формулы (3) к известной формуле Эйнштейна при малых объемных содержаниях дисперсной фазы [12]. Далее выражение для скорости дрейфа крупной частицы в суспензии (2) с учетом (3) удобно записать в форме
U = (р p - 1)А(а p, R),
с
А(аp, R) = (а. - R)exp
2.5а p
1 /ma
V 1 — а p / а p у
(4)
R =-Р-1
—о ,
Р, - 1
3.5
1.0
\ LM L0 /
\ \
\ \
\ \
\ \ / /'
\ \ \ \ в /
LE \ \ \ \ / / / / т max I / L°
\ \
\ \ / /
\ \ / /
\ \ / ✓ / /
\ \ / /
\ \ / ✓
\\ / /
\\ / ✓
\\ / ✓ / / //
// / / / / V \\
/ / \\
/ / \\
/ /а ✓ / \ \ \ \
/ / \ \
1 ij 1 - а„
Рис. 1. Диаграмма, схематично показывающая взаимное расположение характерных областей поведения скорости крупной частицы.
Поскольку р > 0, то очевидно, что для вычисления us по (4) значения R должны удовлетворять условию R(1 - р°) < 1.
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ МЕЛКОЙ ФРАКЦИИ НА СКОРОСТЬ КРУПНОЙ ЧАСТИЦЫ
Из (4) следует, что ситуация us = 0 может реализоваться двумя способами: при a p = R (если а p <
max max
< а p ) и при аp ^ аp , причем во втором случае плотности крупной частицы и дисперсной фазы суспензии не играют никакой роли, что физически вполне очевидно.
Для ситуации us = Us имеем следующее уравнение:
R = -а,
exp
2.5а p
л max
V1 — ap/ ap у
-1
-1
На рис. 1 представлена диаграмма, схематично показывающая на плоскости (р, р°) взаимное рас-
р
р
р
положение характерных линии, отвечающих ситуациям й s = 0 (линия L0) и й s = Us (линия LM), причем точки пересечения последней с осями определяются соотношениями
- 1 , ар 1 , Pi -1
Р* = 1 + , Рр* = 1 + --.
Pi -1 аp
Анализ показал, что штриховые линии р = 1 и Le соответствуют крайним положениям линии
Lmax
M при уменьшении ap от аp до малых значений ap < 0.05 (при которых справедливо уравнение Эйнштейна для эффективной вязкости суспензии [12]). Та же штриховая линия р = 1 и лит max
ния L0 отвечают крайним положениям линии
L0 при увеличении ap от 0 до аm™. Все перечисленные выше линии пересекаются в точке (1, 1) и разделяют область определения параметров р и
р° на характерные зоны поведения скорости крупной частицы. Например, область A, ограниченная слева линией L 0, а справа линией р = 1, соответствует всплытию крупной частицы в чистой жидкости и осаждению в суспензии, поскольку в этой области Us > 0, а us < 0. В области B крупная частица в чистой жидкости опускается, а в суспензии, наоборот, всплывает, так как здесь,
Us < 0, а us > 0. Важно отметить, что положения линий L 0 и LM зависят от величины a p, так что при одних и тех же фиксированных значениях плотностей р и р° поведение скорости крупной частицы в зависимости от значения a p может быть разным.
Применяя стандартную процедуру нахождения экстремальных точек, получим, что предельное значение объемного содержания мелкодисперсной
I max
фракции a p = a p отвечает точке экстремума зависимости (4). Причем скорость крупной частицы, соответствующая этому значению ap, очевидно, равна нулю. Вторая точка экстремума зависимости (4), удовлетворяющая очевидному условию a p < 1, выражается в виде
ющего ситуации a p = 0) до нуля (при a p = а max).
аp = q -л]q2 - 2.5R - 1, а
e _ а p
p max '
а p
(5)
0 л ___ т\ ___ max л , 1 nc max
.4 < R < ар , q = 1 + 1.25аp .
Если параметр R в (5) принимает значения вне указанного интервала, то вторая точка экстремума отсутствует, и скорость us при увеличении ap меняется монотонно от значения Us (соответству-
max\ vp ^ p
При изменении параметра R от —0.4 до amax без— e
размерная координата точки экстремума a p меняется от 0 до 1. Заметим, что при R = a ^ax первая и вторая точки экстремума совпадают. В частном
случае, когда R = 0 (но р° Ф 1), имеем a p = 0.21 независимо от р°.
Анализ показал, что экстремальное значение скорости крупной частицы йЦ (соответствующее значению a p) будет максимумом, если р° > 1 (при этом й1 > 0) и минимумом, когда р° < 1 (use < 0).
Когда R ~ —0.1, значения ap и А(аep, R) практически совпадают, поэтому в данном случае величину щ можно вычислять по формуле
й = (Рр - 1)ар = 0.1523(р° - 1),
где значение a p рассчитано при R = —0.1.
Полученные выводы можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграммы, приведенной на рис. 1, где предельным значениям R = —0.4
max
и R = a p соответствуют вышеупомянутые линии Le и Lmax. Указанные линии разделяют область
определения параметров р и р° на четыре характерные зоны, в которых скорость крупной частицы й с изменением объемной концентрации дисперсной фазы ap ведет себя качественно по-разному. В зонах между этими линиями выше и ниже точки их пересечения зависимость us от ap меняется немонотонно, причем в первом случае она проходит через максимум, а во втором — через минимум. В зонах слева и справа точки пересече-
max
ния линий Le и L 0 скорость крупной частицы с ростом ap соответственно монотонно уменьшается и монотонно увеличивается. Таким образом,
Lt max
E и L0 можно рассматривать как линии бифуркации исследуемой системы суспензия-крупная частица.
Зависимость A от ap при разных значениях параметра R графически представлена на рис. 2. Штрихпунктирная кривая показывает изменение максимального значения A, а штрихо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.