АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 2, с. 249-253
АКУСТИКА СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ СРЕД, ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 550.832:552.5
ВЛИЯНИЕ МЕЖФАЗНОГО СКОЛЬЖЕНИЯ НА КИНЕМАТИЧЕСКИЙ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ УПРУГИХ ВОЛН В НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
© 2007 г. М. Г. Марков
Instituto Mexicano del Petróleo, Eje Central Lázaro Cárdenas 152, CP 07730, México, DF
E-mail: mmarkov@imp.mx Поступила в редакцию 16.03.05 г.
С использованием метода, предложенного Бедфордом, Костли и Штерном (Bedford, Costley, and Stern, 1984), получены выражения для коэффициента сопротивления и массовой связи в уравнениях акустики насыщенных пористых сред (НПС) с учетом проскальзывания фаз на границе. Подробно исследован случай заполненных газом пор, когда выражение для коэффициента изотермического скольжения может быть получено в явном виде из решения кинетического уравнения Больцмана. Показано, что для продольных волн первого рода и поперечных волн влияние межфазного скольжения на их скорости мало. Наличие межфазного скольжения ведет к увеличению коэффициентов затухания этих волн, однако рассчитанные значения остаются существенно меньшими, чем измеренные. Для продольной волны второго рода влияние межфазного скольжения на ее кинематические и динамические параметры достаточно велико и может быть оценено экспериментально.
PACS: 43.20.Jr, 47.27.Lx
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время акустика насыщенных пористых сред (НПС), теоретические основы которой были заложены в пионерских работах Френкеля и Био [1-2], относится к числу наиболее быстро развивающихся разделов механики многофазных систем. Основное положение теории Френкеля-Био о наличии в НПС двух типов продольных волн (первого и второго рода) получила убедительное экспериментальное подтверждение [3-4], а теоретические результаты получили дальнейшее развитие в ряде монографий [5-8] и огромном количестве журнальных публикаций.
Как правило, при построении уравнений НПС используется предположение о применимости на микроуровне уравнений теории упругости и Навье-Стокса с условием непрерывности скоростей фаз на межфазных границах с последующим осреднением. В работах [9-10] была предпринята попытка учета возможности проскальзывания на границах между твердой и жидкой фазами. Для скорости межфазного скольжения было предложено эмпирическое выражение, согласно которому эта скорость существенно зависит от частоты и стремится к нулю в области как малых, так и высоких частот. Наличие межфазного скольжения доказано экспериментально для жидкостей [11] и газов [12], однако есть основания считать, что это скольжение имеет место и в области низких частот, причем, по крайней мере,
для газов задача может быть решена с достаточной точностью с использованием методов статистической механики или молекулярной динамики. Режим течения со скольжением реализуется, например, при лабораторных исследованиях горных пород, коллекторов нефти и газа.
В нашей работе с использованием имеющихся теоретических результатов [13] для коэффициента изотермического скольжения рассчитаны коэффициенты сопротивления и массовой связи в уравнениях акустики НПС и оценено влияние межфазного скольжения на кинематические и динамические параметры упругих волн.
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ И МАССОВОЙ СВЯЗИ В УРАВНЕНИЯХ НПС
Для расчета воспользуемся методом, предложенным в [14-15]. Запишем уравнения динамики НПС в виде:
р,(1- ф)Ü = Э Д + b(Üf - Ii) + с(Üf - 1Ü),
рf( 1- ф^ = ЭхTf - b(Üf - Ii) - с(Üf - Ü),
где Ü, Üf - векторы смещений скелета и флюида в порах; р, - плотности упругого скелета и флюида; T, Tf - тензоры напряжений в упругом скелете и флюиде, ф - коэффициент пористости; b и с - соответственно коэффициенты сопротивления и массовой связи.
Рассмотрим теперь, следуя [14], гипотетический эксперимент, в котором твердая фаза совершает однородные пространственные колебания и = ехр(-/ю0. В результате жидкость тоже будет совершать пространственно-однородные колебания Uf = иуехр(-7ю0. Подставляя во второе уравнение системы (1) эти выражения, получим
ia>b(uf - 1) - сю2(1 - uf) = -ю2фруИ/ (2)
Решая комплексное уравнение (2) относительно вещественных коэффициентов Ь и с, получим:
(3)
b = Iml юфрf-—J-
V 1 - î
с = Rel фрf
1 - u
(4)
р f V f = - Vp + ^V2 Vf, div Vf = 0,
(5)
где р - давление; У у и ц - скорость и кинематическая вязкость флюида, с граничными условиями скольжения в виде [16]:
VfT - Vst = ôd„VfT,
ny ft>
(6)
Csi =
2-0.853 q
(7)
в котором д - коэффициент аккомодации тангенциального импульса, который показывает, какая часть молекул отразилась от стенки диффузно. Обычно значения этого коэффициента лежат в интервале [0.5, 1].
Решение уранений (5) с граничными условиями (6) имеет вид
J0 (вг)
Vf J( в « ) - CMJi (ва )'
(8)
где в = М м/V, а - радиус капилляра, V - кинематическая вязкость.
Усредняя выражение (8) по сечению капилляра, получаем выражение для среднего смещения жидкости Ыу
их (ра) 1
uf =
в а J0(e а ) - CsieXJi (в а )'
(9)
Рассмотрим теперь следующую модельную задачу: пусть поры представляют собой систему бесконечных цилиндрических капилляров кругового сечения, и пусть стенки цилиндров совершают продольные колебания с частотой ю. Запишем уравнения Навье-Стокса в виде:
откуда легко находятся выражения для коэффициентов Ь и с. В области малых частот (ю —► 0) эти формулы имеют вид
bo =
! v р f ф
co =
а + 4CslXa
р f ф
0 3( а + 4ед2'
(10)
(11)
где 5 - параметр с размерностью длины. Для жидкостей этот параметр составляет единицы и десятки нанометров [11-12], для газов его принято записывать в виде 5 = С¿.¡к, где к - длина свободного пробега молекул газа, С- коэффициент изотермического скольжения [16-17], зависящий от свойств твердой поверхности. Возможность применения уравнений несжимаемой жидкости (5) для описания нестационарных колебаний жидкости в капиллярах подробно обоснована в работе [18]. Для коэффициента изотермического скольжения с использованием модельного (модель БГК) интеграла столкновений в уравнении Больцмана было получено следующее аналитическое выражение [13]:
При CslX = 0 выражения (10) и (11) совпадают с полученными в работе [14]. Из выражения (10) для коэффициента сопротивления, который обратно пропорционален коэффициенту проницаемости,
нетрудно получить зависимость Kpr = K°pr (1 + + const/p), которая совпадает с эмпирическим законом Клинкенберга, полученным для фильтрации газа в пористой среде [19].
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Приведем примеры расчетов с использованием результатов, полученных в предыдущем разделе. Ограничимся ситуацией, когда флюид в порах - газ, поскольку для газовой фазы эффекты скольжения выражены значительно сильнее, чем для жидкости.
Результаты расчетов коэффициентов b и c в зависимости от безразмерной частоты в представлены на рис. 1. Расчеты приведены для разных чисел Кнудсена (Kn = À/а). Коэффициент аккомодации тангенциального импульса принят равным 1, радиус капилляров а = 3 х 106 м, кинематическая вязкость v = 0.12 см2/с, плотность газа pf = 1.2 х 103 г/см3. Как показали проведенные расчеты, учет скольжения ведет к заметному изменению коэффициентов b, и особенно с, хотя
Ь/Ь(ю = 0, Кп = 0), с/с(ю = 0, Кп = 0)
1М
Рис. 1. Зависимости коэффициентов сопротивления Ь и массовой связи с от безразмерной частоты.
Ь/Ь(д = 1), Ф(д = 1)
05 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Ч
Рис. 2. Зависимости коэффициентов сопротивления Ь и массовой связи с от коэффициента аккомодации тангенциального импульса д.
общий характер зависимости остается тем же самым, что и без учета скольжения (сплошная линия на рис. 1).
На рис. 2 представлены зависимости коэффициентов Ь и с от коэффициента аккомодации тангенциального импульса д. Расчеты выполнены для тех же параметров среды, что и для рис. 1.
Анализ полученных результатов свидетельствует о значительной зависимости коэффициентов сопротивления и присоединенной массы от коэффициента д, их возрастание с увеличением коэффициента аккомодации тангенциального импульса легко объяснимо: с ростом этого коэффициента большая часть тангенциальной компоненты импульса падающих молекул передается твердой стенке капилляра, что ведет к возрастанию сопротивления колебаниям.
Проведенный анализ показал, что в низкочастотной области (ниже критической частоты Био [2]) скорости продольной волны 1 рода и поперечной волны описываются классическими формулами Био [2]. Учет влияния межфазного скольжения для этих волн ведет в той же частотной области к увеличению коэффициентов затухания. В реальных пористых средах, например, горных породах, наблюдаются значительно большие, чем рассчитанные с использованием уравнений (1), затухания. Для объяснения этого расхождения следует, видимо, принимать во внимание другие возможные механизмы поглощения упругих волн в НПС, не связанные напрямую с межфазным скольжением. В противоположность этому эффект скольжения может оказать существенное влияние на кинематические и динамические параметры продольной волны 2 рода, поскольку в
Ур2, м/с
100
80
60
40
20
г-1
а, м 5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000 -
Кп = 0.25 Кп = 0.1 Кп = 0
(а)
Кп = 0.25 Кп = 0.1 Кп = 0
(б)
Ч
Рис. 3. Частотные зависимости скорости (а) и коэффициента затухания (б) продольной волны второго рода от коэффициента аккомодации тангенциального импульса д.
очень широком частотном диапазоне эта волна является диффузионной, и ее свойства очень сильно зависят от межфазного взаимодействия. На рис. 3 представлены результаты расчетов скорости и затухания этой волны как функций коэффициента аккомодации. Расчеты выполнены для параметра |ßa| = 1, скорости продольной и поперечной волн в веществе скелета равны 5.25 км/с и 3.10 км/с; плотность вещества скелета - 2.65 г/см3; скорость звука в газе равна 330 м/с; остальные параметры взяты теми же, что при расчетах графиков на рис. 1 и 2. Данные расчетов свидетельствуют, что скорость продольной волны второго рода может возрасти вдвое в режиме со скольжением, а ее затухание, соответственно, уменьшается во столько же раз. Полученные результаты, на наш взгляд, свидетельствуют о принципиальной возможности решения важн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.